数学因抽象而数学，数学因抽象而精彩——浅谈小学低年级数学抽象思维的开发和培养

安徽省滁州市来安县施官镇中心学校 詹玉富

从2007年新课标试验版的出台到如今新课程标准2011年版（以下简称“新课标”）的出台及运行，最直白地见证了我们对于教育之社会适应性与社会促进性的思索和转变历程。此于数学学科而言体现尤为突出！经过多年的改革和实践，我们终于明确了我们的教育培养之终极培养目标（也是可持续培养目标）的定位——“培养学生的创新意识和实践能力！”此字句于数学新课标中只字不缺，只字不差，就于“课程性质”章节明确提出，此点共识毋庸置疑，也无需赘述。但是细心研读发现：这句话并非孤立存在，而是处于“培养学生的抽象思维和推理能力”之后。其既是书面排版之顺序，更是科学认知后的严谨且不可颠倒的理论顺序：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。”历史上曾出现过某位伟大的自然科学家得出了自己的惊世理论却无法用语言加以归纳描述和论著急得几近抓狂，最终请教了数学家好友后用数学的逻辑思维和语言得以迎刃而解的故事。至于现代，数学引入其他领域解决难题的例子更是数不胜数。“数学”何以重要如斯？究其根源——数学有着高度的“抽象”能力，而“抽象”则是分析和诠释万物的终极利器，只有它才能将万物线条化、轮廓化、元素化以返璞归真，到达本源。先有抽象，才会有推理，才会有后面的创新和实践！综上而言之，抽象——永远是数学教育不可弱视或忽略的根本目标。所以，对于急需创新意识和实践能力的当下时代而言，在小学数学教学中培养和提升学生的抽象能力至关重要。实际上，孩子们与数学打交道的第一天就与抽象开始了交融之旅（抽象无处不在，抽象更是一个不断递进的持续过程）。所以，于低年级开始，着手开发和培养孩子们的抽象思维能力应是我们当前小学数学一切持续和后续工作的战略前提！

结合本人实践尝试，在小学低年级数学中开发和培养学生的抽象思维可从如下步骤着手：

一、直观，抽象永远不可逾越的物质基础

直观与抽象——肉与灵之系，物与神之联。无直观之基础和经历，便不会有成功的抽象，抽象不可能逾越或脱离于直观而存在。为什么我们的学生甚至成人数感薄弱，只知代号却难体其意、其值？因为他们的学习过程中少了或弱了直观的基础环节。这不正说明了这点吗？所以，于低年级教学中重视、落实直观是必须的！如在小学一年级开始学习的“10以内的分与合”，常规教学（尤其是农村条件下）中，学生们总是要花很长时间去记忆还记不太好，准确的说是背诵教学。研究后我发现了问题的根源：学生们对于10以内的抽象的数的物质感、形象感薄弱。如“9”的分与合：教学情境图是并列的9个小棒或圆片，随后依次拨拉一个到左边，依次分与合。细想之：让一年级的孩子在脑中想象并列的9根小棒并依次划分，可能吗？不可能！唯有死记硬背！对此，教材的设计安排是失败的，或者编者根本就不想让学生们知道“9”这个数具体表示量的多少，只要学生会记分与合就可以了。

这就是只重结果不重过程，只重机械记忆不重形象直观！孩子们从一年级进入数学开始，就把“9”的分与合背得当当响却不知道、感觉不出“9”到底有多少，这不是天大的悲哀吗？为此，我反对且着手改变：2～10的认识，我让孩子们用圆片（小棒不易表象）先排列再画图表加以构建。并设计如下：

如上所示，针对2-10每个数，我先让孩子们用圆片反复摆出有趣易记的形象，随后再用画一画的方法，针对不同的数，先画出总体的空白圆圈图，然后有次序地将一个白圆递加涂成黑圆，每多涂色一个就随后据图写出两种分与合。这样，分与合记忆的难题解决了，更重要的是孩子们的头脑中深深记住了每一个“数”的“样子”——多少，有质感量感的多少！若再加上联系生活让每一个同学用自己的生活原型个性定位每一个数，如“3”——我家有3口人，“4”——我们的教室有4扇窗户，“5”——一片梅花有5个瓣……效果自然更上一层楼！提起“45”哪怕对我们的高年级学生而言，他们头脑里的印象只是一个数字代号而没有具体内涵，假如他们曾经有过“一个班级的学生是45人”的直观经验，那么“45”便是清晰有感可估的。厘米、米、千米、克、千克……不同样如此吗？无直观何以抽象？脱离了直观的抽象还叫抽象吗？那只是一个答案和一个代号，于考试有用，于生活无用，于创新呢？——无门！

二、本质，抽象成功与否的核心标线

教学——一份不容含糊的严谨工作，尤其是小学低年级数学！不少人长大后的某一天因某一个特殊的原因才发现，原来自己从小学到现在写了几十年的某一个字竟然写错了，因为……有这样经历的人比比皆是。那数学呢？相伴且支撑其一生，融入支持各个领域的数学呢？若发生了这样的事，或这样的事发生的过多，那后果如何？所以，小学低年级数学的教学真的不是闹着玩的！——作为启蒙人，我们帮助孩子们建立的认知或表象及至依赖这些持续生成的数学概念、数学理念、数学眼光、数学思维方式等将影响其一生：或是促进，或是制约。为此，小学低年级数学教学中，我们丝毫马虎不得。而其自翻开数学课本第一册第一页的时候，其抽象之旅就已经开始了，何以使之科学正确认知之？何以奠定支撑之后可持续的抽象成功深入之旅？唯有抽象之本质！不容误解或错解的本质！

1.认知至本质

关于平面图形的认知，就如长方形吧，我们绝大多数的高年级学生都一直认为：长方形就是4条框，4条框2相对长边和短边各自平行且相等，外加4个直角，对，就这些。其实不然，边框只是边框，它代表不了长方形，加上边和角的特征也不够！边框只是长方形的自身所属、划分于外界的界线。长方形，它是一个面，除了外围的4条框更应包括其内框住的“那块土地”！框，只是为了表示出“那块土地”有多大，不至于糊涂地抢占到别人的地头了。框与角的辅助是为了“面”的大小与形状的划分和界定，合起来才是完整的——长方形。长方形不是空心的！（在此，建议教师日后板演长方形等平面图形时将面涂成彩色以明确。）再如，低年级时我们告诉学生“这张纸就是长方形”也不合适，我们的小朋友可不懂得忽略不计。“这张纸的表面是长方形的。”（因为本质地说，那张纸是一个长方体。）对于小学低年级数学教学而言，必要严苛的啰嗦是必须的！

2.抽象至本质

在二年级数学开始学习的《乘法的初步认识》，要学习一种新的方法，为什么必须要学？学了能解决什么问题？这是我们一开始就要考虑好的。高年级有的学生为什么解决问题是乘法和除法总是混淆不清？根源就是开始对意义和本质认知抽象不到位。为此我将此课一分为二：第一课为《特殊的加法》，第二课为《解决特殊加法的简单新方法》。重点教学《特殊的加法》，将与普通加法对比区分后的“几个几相加”的直观夯实到位。落实到明确“什么样的加法才叫几个几相加”，并能举例，且能逆推。这时抛出“全班共45人，每人有2支铅笔，请用加法列式计算一下全班一共有多少支铅笔？”孩子们头疼了，有的干脆不干！有的干了一会也不干了！这时我再加把料，“假如算每个学生都有2支铅笔，全校700名学生一共有……全县的小学生……”孩子们强烈呼吁新方法！我先让他们将加法说成45个2，随后出示45×2……乘法，什么是乘法？孩子的真实回答是：“乘法是解决复杂加法问题的简单新方法。”“你能提一个用乘法才能简单解决的问题让我们解决吗？”更是将孩子们的积极性和想象性推向了巅峰。这，就是乘法！乘法是解决这种问题的！好！

三、建模，抽象生成提升的必备环节

抽象之为推理推广和应用，乃至创新实践。而真正做到这些，最终，抽象必须从直观的具体情境中升华概括出来，图形、代号或字母化，以建立模型，以推广应用。其实这些，低年级数学已经可以开展，也应该适时深入开展。因为，虽然他们还在低年级，但他们已经开始学习数学并将一直学习下去，那初级的建模就应开发相随。如在教学小学二年级《乘法的初步认识》部分时，学生们已经知道求“3个2相加的和”可以写成“3×2”，那么我们何不顺势深入“我们班有45个人，每个人有3支铅笔，全班一共有多少支铅笔呢？”要求学生只列式不计算。事实证明，学生们能轻松说出“45×3或3×45”，可行！“那我们学校有800名学生，每人有3支铅笔，全校同学一共有多少支铅笔呢？”仍然可行。“有1000个小朋友，每人吃5块饼干，一共需要多少块饼干呢？”依然可行。“6+6+6……+6+6=（）×（），学生们依然轻松写出。“a+a+a+…… +a+a=（ ）×（ ）”孩子们依然能够一口答出！“请你用喜欢的图形或拼音字母像老师一样造一个加法改乘法的算式。”要求一出，孩子们更高兴了，自然，有趣的答案层出不穷。再如还是二年级的《口诀求商（一）》学习后，孩子们大呼“乘法与除法有联系！”捂都捂不住。第一个孩子就告诉我：“它们是除减的关系！”我说：“什么意思？”他说：“除法和乘法的关系就像加法和减法的关系一样！”还有说：“数字调换位置的”……随后我给出了“a×b=c”让他们据此写出2道除法算式，ok！没问题！但是他们还不过瘾，吵着还要出题目，没办法，用老招数“自己选出自己最喜欢的3个图形或拼音字母，用它们写出2道乘法和2道除法算式。”结果更是百花齐现！尝试过，“m+n=f假如，m=8，f=15，n=？”这样的题目，孩子们更感兴趣。既然如此，何乐而不为呢！

数学，初次相遇，我们便已不可分离；数学，相伴相知，我们渐渐如胶似漆！谁也比不了你那抽象的美！谁也剪不断我那抽象的魂！情牵于卿，思动于卿，青梅竹马，缘定三生，执子之手，与子偕老！