培养小学生数学思维变通能力的实践与探索

浙江省温州市永嘉县黄田小学 朱林益

《义务教育数学课程标准》指出：“数学课程要使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理思维，培养学生的创新意识和实践能力。”数学能力是以思维力为核心，思维力又以思维的敏捷、灵活和变通为重要标志。因此，在数学教学中培养学生思维的变通性显得尤为重要。思维的变通性是思维的一种形势，在思考问题时，当一条路走不通或付出劳动太大，不妨改变一下原来思路，善于根据题设的相关知识,转化条件或问题，提出灵活的设想和解题方案。变通思维体现出思维的灵活性。

调研我校学生数学作业本时，发现学生对变式题目困难重重。例如：一个等腰梯形的周长是60厘米，一条腰长10厘米，高8厘米，它的面积是多少平方厘米？结果大部分学生都被难住了，我问学生：“你们哪里难住了？”学生说：“这里上底、下底的长度都没有告诉我们，那怎么能求出它的面积呢？”

原来我发现教师在教学《梯形的面积计算》时，过分强调了“必须要知道上底、下底和高这三个条件，才能求出梯形的面积，这三个条件缺一不可。”学生思维受此定势干扰，变通能力很差，对稍有变式的题目就束手无策了。听了数学老师的课，并与数学老师交流后，发现我校数学老师在课堂上缺乏变式教学，其实，这样教学仅仅停留在模仿层面，学生知其然，而不能知其“所以然”。这样会阻碍学生的思维能力发展。

我校学生思维变通能力严重缺乏，影响学生的数学学习，也制约了我校数学教学质量的提升，那么如何提升小学生的思维变通能力呢？这是摆在我校数学老师面前的急需解决的实际问题。下面，就谈谈本人的实践与感悟。

一、调查分析学生解决问题的思维变通能力的现状

（一）调查问卷

针对我校3个六年级班级进行调查数学思维变通能力的现状，发放调查试卷125份，收回有效问卷125份。调查问卷内容设计如下：

2017年（下半年）六年级学生数学变通思维能力调查问卷

班级： 姓名：

1.用简便方法计算：

（1）7777×8+4444×11

2.已知图中正方形的面积是20平方厘米，求阴影部分的面积是（ ）平方厘米。

3.甲、乙两数的平均数是45，甲、乙两数的比为2∶3，甲、乙两数各是多少？

4.甲乙两地相距2400米，小亮带着小狗从甲地出发到乙地，小军同时从乙地出发到甲地。小亮每分钟走65米，小军每分钟走55米，小狗每分钟跑100米。当小狗遇到小军后立即返回，当小狗遇到小亮后又立即返回跑向小军，小狗这样来回不停地跑，直到小亮与小军两人相遇。这时，小狗一共跑了多少米？

5.一池水，甲乙两管同时开，要5小时注满；乙丙两管同时开，4小时注满。现在先开乙管 6小时，还需甲丙两管同时开2小时才能注满。乙单独开几小时可以注满？

6.兄弟三人合伙出资开了一家公司，老大出了其余兄弟出资和的1/2，老二出了其余兄弟出资和的1/3，老三出了60万元，这家公司一共投资多少万元？

（二）调查结果分析与结论

调查全校六年级学生125人，解题正确情况统计如下：

做对的人数 做错的人数 放弃的人数 正确率第1题 第（1）小题 28第（2）小题 2 72 102 25 21 22.4%1.6%第2题 43 65 17 34.4%第3题 42 77 6 33.6%第4题 33 66 26 26.4%第5题 1 89 35 0.8%第6题 4 103 18 3.2%

具体分析如下：

第1题，用简便方法计算：第（1）小题7777×8+4444×11

许多学生不知拆数法，不会变通，找不到相同因数，就以为这道题没有什么简便计算，无法利用乘法分配律进行简便计算。第（2）小题

学生的做法说明了学生灵活应用乘法分配律进行简便计算的能力还不够。

其实学生还仅仅停留在模仿的层面上，不能知其“所以然”，为什么要这样做才简便呢？学生还是比较模糊的，不知其中奥秘。学生还不会变通，不会根据数据特征进行调整，然后进行简便计算。

第2题，多数学生由于求不出正方形的边长，就无法知道圆的半径，也就没办法求出圆的面积，有的只好选择放弃，有的随便写上一个答案。说明学生还不会灵活运用圆的面积计算公式，学生的思维受到定势干扰，不会变通。

第3题，多数学生写成：45×2/5=18，45×3/5=27。他们认为把“45”这个数按照2：3分配，其实，他们还没有抓住本质特征，思维仅仅停留在模仿层面上，这里分配的总量并不是“45”。

第4题，这道题直接看是难以解答的，学生思维是按照习惯思路去考虑，不会转化问题。其实这里小亮与小军相遇的时间就是小狗跑的时间，若转化成求小亮与小军相遇的时间问题就能迎刃而解了。

第5题，这道题学生不会转化条件，找不到解题突破口。如果把条件转化成：将乙管独开2小时与甲管独开2小时看作“甲乙两管同时合作开2小时”；将乙管独开2小时与丙管独开2小时看作“甲丙两管同时合作开2小时”，剩下乙管还要单独开6-2-2=2小时才能注满。这样就找到解决方案了。

第6题，学生的思维也是肤浅的，只看到表面现象，多数学生这样做：60÷（1-1/2-1/3）。其实这里“老大出了其余兄弟出资和的1/2”与“老二出了其余兄弟出资和的1/3”的单位“1”发生了变化，并不相同的。这里需要转化条件，关键是先求出老大与老二分别占兄弟三人合伙出资总额的几分之几。

由此可见，我校学生数学思维变通能力严重缺乏，遇到稍微灵活的题目，就困难重重，解决问题的思路狭窄，思维定势，不会变通。

二、探索培养思维变通能力的策略

在平时的教学中，我们努力探索“培养学生思维变通能力”的策略，总结教学经验，制定多种富有成效的教学对策。

1.新课教学加强变式训练，培养思维的变通能力

教了《圆的面积》一课后，给学生设计一道题目：已知图中正方形的面积是40平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？

要求圆的面积，一般先要知道半径，但是这题无法知道圆的半径，就要另辟途径，才能解决问题。引导学生从圆的面积计算公式上去观察，发现“如果知道r2等于多少，就能直接求出圆的面积。”于是，将正方形边长设为2r，利用2r×2r=40，得知r2等于10，就可以直接求出圆的面积了。通过这样变式练习，能够突破思维的定势干扰，学会灵活应用圆的面积计算公式求圆的面积，从而培养学生的思维变通能力。

2.转化条件找到解题途径，锻炼思维的灵活性

例如：一池水，甲乙两管同时开，要5小时注满；乙丙两管同时开，4小时注满。现在先开乙管 6小时，还需甲丙两管同时开2小时才能注满。乙单独开几小时可以注满？

这道题如果把条件转化成：将乙管独开2小时与甲管独开2小时看作“甲乙两管同时合作开2小时”；将乙管独开2小时与丙管独开2小时看作“甲丙两管同时合作开2小时”，剩下乙管还要单独开6-2-2=2小时才能注满。这样就找到解决方案了：（1-1/5×2-1/4×2）÷（6-2-2）=1/20,1÷1/20=20 小时。如此调整已知条件，进行变通，把隐蔽的条件显露出来了，从而找到解决途径，让学生思维变得灵活而深刻。

3.转化问题找到突破口，提高思维变通能力

数学家G·波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。

例题：甲乙两地相距2400米，小亮带着小狗从甲地出发到乙地，小军同时从乙地出发到甲地。小亮每分钟走65米，小军每分钟走55米，小狗每分钟跑100米。当小狗遇到小军后立即返回，当小狗遇到小亮后又立即返回跑向小军，小狗这样来回不停地跑，直到小亮与小军两人相遇。这时，小狗一共跑了多少米？

这里要引导学生求出“小亮与小军相遇的时间”就是“小狗跑的时间”，若转化成求小亮与小军相遇的时间问题就能迎刃而解了，即2400÷（65+55）×100=2000米。从而让学生体验到转化问题就能找到解题突破口，使自己思维变得灵活。

4.一题多解拓宽思路，增强思维变通能力

一题多解对训练学生的思维变通能力很有帮助，训练学生从不同角度、不同层面去考虑问题，这样能够拓宽思路，不会只局限于一种解法，思维活跃起来，发散开来，灵活应对问题，提高思维变通能力。

例如：哥哥与弟弟体重之比是5∶2，已知哥哥体重是60千克。弟弟体重是多少千克？(你能想出几种不同的解决方法？)

学生想出许多方法：

（1） 60×2/5=24（千克）；

（2） 60÷5×2=24（千克）；

（3） 60÷（5÷2）=24（千克）；

式中：Vc为泥石流流速，m/s；Ic为泥位纵坡率，以沟道纵坡率代替；1/n为泥石流沟床糙率系数，查水文手册；Φ为泥石流泥沙修正系数，取1.919-1=0.919；γH为泥石流固体物质重度，t/m3；φ为泥石流泥沙修正系数，取1.919-1=0.919；Hc为平均泥深，m；

（4） 5+2=7，60÷5/7-60=24（千克）；

（5） 5+2=7，60÷5/7×2/7=5+2=7,60÷5/7；

（6）设弟弟体重是x千克，

60∶x=5∶2，求得 x=24。

5.思维变通专项训练，促进思维能力发展

（1）拆数法

a.把一个数拆成两个数的乘积

例如，灵活计算：

b.把一个数拆成两个数的差

例如，写出计算过程：

（2）设定数据法

例题：有一条山路，冬冬上山每分钟走40米，按原路返回下山每分钟走60米，冬冬来回平均速度是每分钟走多少米？

分析：这题路程不知道，有的学生就无法动笔，如果用到设定数据法，设定路程，就不难了。假如上山下山的路程都是600米，那上山就有 600÷40=15（分钟），下山 600÷60=10（分钟），接着用总路程除以总时间：

利用设定数据法，路程有具体数据，学生就可以按常规思路去解题，找到解题途径，从而让学生感到解题要突破习惯思维的束缚，学会灵活变通。

（3）添加辅助法

例如，正方形ABCD的边长是8厘米，AE长10厘米，F是AE的一点，DF与AE相互垂直，求DF的长度是（ ）厘米。

分析：这道题需要添加辅助成分，否则难以解决。连接DE，三角形 AED的面积 =8×8÷2=32平方厘米，DF=32×2÷10=6.4厘米。

当然，思维变通专项训练的策略是多种多样的，这里不能一一列举。

总之，上述教学策略是富有成效的，也是平时课堂教学中常用的。我们还需要进一步深入研究有效策略，提升学生数学思维变通能力，使学生获得解决问题的新方法，积累解题经验，体验创新经历。让学生在思维的撞击中，迸发出绚丽的火花！让我们的数学课堂生机勃勃，充满希望！