归一法在计数原理中的运用

徐涛

计数原理这一章的某些问题，诸如：分组问题和环排问题和恒等证明问题，不少同学感到甚是棘手，其实教材已给出了解决之道：归一法.

研究组合数Cm n的公式，教材的处理如下：

考查模型（Ⅰ）：从n个不同的元素中任取m个元素可组成多少个排列？

法一：由排列知识可知：从n个不同的元素中任取m个元素可组成Am n个排列;

法二：第一步：从n个不同的元素中取出m个元素，共有Cm n种取法，第二步：将取出的m个元素做全排列，共有Am m种排法，由分步乘法计数原理得：从n个不同的元素中任取m个元素可组成Cm n·Am m个排列.

因法一、法二都解决了模型（Ⅰ），故有：Am n=Cm n·Am m，解得：Cm n=Am nAm m.

一、分组问题

例1有9本不同的书，将其分成如下3组，各有多少种分法？

（1）每组3本;

（2）一组5本，另两组各2本;

（3）一组2本，一组3本，一组4本.

解：（1）考查模型（Ⅱ）：将9本书平分给甲、乙、丙三人，共有多少种分法？

法一：第一步：甲分3本书，有C3 9种分法，第二步：乙分3本书，有C3 6种分法，第三步：丙分3本书，有C3 3种分法.由分步乘法计数原理得：甲、乙、丙各得3本，共有C3 9·C3 6·C3 3种分法.

法二：第一步：将9本书分成3组，每组3本，设有x 1种分法;第二步：将这3组分给甲、乙、丙3人共有A3 3种分法.由分步乘法计数原理得：甲、乙、丙各得3本，共有x 1·A3 3种分法.因法一、法二都解决了模型（Ⅱ），故有：C3 9·C3 6·C3 3=x 1·A3 3，解得：x 1=C3 9C3 6C3 3A3 3.

（2）考查模型（Ⅲ）：将9本书分给甲、乙、丙三人，甲得5本，乙、丙各得2本，共有多少种分法？

法一：第一步：甲分5本书，有C5 9种分法;第二步：乙分2本书，有C2 4种分法;第三步：丙分2本书，有C2 2种分法.由分步乘法计数原理得：甲得5本，乙、丙各得2本，共有C5 9·C2 4·C2 2种分法.

法二：第一步：将9本书分成3组，一组5本，另两组各2本，设有x 2种分法;第二步：将这3组分给甲、乙、丙3人共有A2 2种分法.由分步乘法计数原理得：甲得5本，乙、丙各得2本，共有x 2·A2 2种分法.因法一、法二都解决了模型（Ⅲ），故有：C5 9·C2 4·C2 2=x 2·A2 2，解得：x 2=C5 9·C2 4·C2 2A2 2.

（3）考查模型（Ⅳ）：将9本书分给甲、乙、丙三人，甲得2本，乙得3本、丙得4本，共有多少种分法？

法一：第一步：甲分2本书，有C2 9种分法;第二步：乙分3本书，有C3 7种分法;第三步：丙分4本书，有C4 4种分法.由分步乘法计数原理得：甲得2本，乙得3本、丙得4本，共有C2 9·C3 7·C4 4种分法.

法二：第一步：将9本书分成3组，一组2本，一组3本，一组4本，设有x 3种分法，第二步：将这三组分给甲、乙、丙三人共有1种分法，由分步乘法计数原理得：甲得2本，乙得3本、丙得4本，共有x 3·1种分法.

因法一、法二都解决了模型（Ⅳ），故有：C2 9·C3 7·C4 4=x 3·1，解得：x 3=C2 9·C3 7·C4 4.

评析：解决分组问题，可构建一个组合模型，用归一法解決.

二、恒等证明

例2证明：（C0 n）2+（C1 n）2+（C2 n）2+…+（Cn n）2=Cn 2n.

证明：考查模型（Ⅵ）：某校高一年级1班和2班各有n个同学，从这两个班选出n个同学去养老院为老人打扫卫生，共有多少种选法？

法一：第一类：1班选0个同学，2班选n个同学，有C0 n·Cn n=（C0 n）2种选法，第二类：1班选1个同学，2班选n-1个同学，有C1 n·Cn-1 n=（C1 n）2种选法，第三类：1班选2个同学，2班选n-2个同学，有C2 n·Cn-2 n=（C2 n）2种选法，…，第n+1类：1班选n个同学，2班选0个同学，有Cn n·C0 n=（Cn n）2种选法，由分类加法计数原理得：共有（C0 n）2+（C1 n）2+（C2 n）2+…+（Cn n）2种选法.

法二：两班共计2n个同学，从这2n个同学选出n个，共有Cn 2n种选法.

因法一、法二都解决了模型（Ⅵ），故有：（C0 n）2+（C1 n）2+（C2 n）2+…+（Cn n）2=Cn 2n.

评析：解决恒等证明问题，可构建一个排列或组合模型，用归一法解决.