表达开平方的代数式

田载今

同学们已经知道，当n是正整数时，矿既表示乘方运算（即n个a相乘），又表示乘方的结果（即a的n次幂）.乘方是由底数a与指数n求幂的运算;开方是由幂与指数求底数的运算.乘方与开方互为逆运算.

一般地，形式为n√a的式子叫作n次根式，它表示对a开n次方，其中a叫作被开方式，n叫作根指数，当根指数n为2，3，4，…时，相应的n次根式分别叫作二次根式、三次根式、四次根式……各次根式统一简称为根式.

由上可知，在实数范围内，形如√a（a≥0）的式子叫作二次根式，√a（a≥0）有两重含义：它既表示对a进行开平方，并且取算术平方根的运算，又表示运算的结果，即a的算术平方根，因为任何数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根.√a中a≥0的条件必须被满足.

一般地，凡涉及开平方运算的数学表达式，都离不开二次根式.彳艮多重要的公式也是二次根式的形式，例如同一平面上两点间的距离公式，如图1.在平面直角坐标系中，任意取两点A（m，n）与B（p，q），则这两点之间的距离为AB= √（m-p）2+（n-q）2.这是解析几何中一个很常用的公式，由它还可以扩展到三维空间两点间的距离公式，即空间中任取两点A（m，n.s）与B（p，q，t），则它们之间的距离AB=√（m-p）2+（n—q）2+（s一t）2.这也是一个二次根式.

大家已经熟悉的运算有加、减、乘、除、乘方和开方，它们统称为代数运算.表示字母或数的代数运算的式子，统称为代数式.整式、分式和根式都属于代数式，在整式和分式中，字母与数一样可做加、减、乘（含乘方）、除四则运算，但不包括带有字母的开方运算.根式表示开方运算，其中根号下可以含有字母.这样的根式已经超出整式和分式的范畴.

二、二次根式的支运算

二次根式的加减运算，主要是合并同类二次根式（即根号内完全相同的根式，比如√3ab与5√3ab），为此通常要先把參与运算的二次根式化简，发现其中的同类二次根式后再合并.

例3 一个物体从4 m高处自由下落着地.它下落过程中经过前Im和后3m所用的时间相同吗？为什么？

（提示：从静止开始的自由落体运动规律为h=1/2 gt2，其中h，t分别表示下落距离和下落所用的时间，g为重力加速度，是一个常数）

二次根式的乘除运算，类似于整式的乘除运算，两者的运算律与公式基本通用.二次根式乘除运算中常运用二次根式的性质，

例4 两个正方形的面积分别为S.与S2（SI>S2）.-个长方形的长和宽分别等于这两个正方形的边长之和与边长之差.（1）求长方形的长宽比;（2）比较长方形与小正方形的面积的大小，

二次根式与同学们后面将要学习的勾股定理、一元二次方程和二次函数等有着密切的联系，希望同学们学好它.