学“三数”，用“三数”

朱亚邦

“三数”即平均数、中位数和众数，“三数”在现实生活中应用十分广泛，因此要重视对“三数”的学习.

一、理解“三数”特征

學习“三数”时，要弄清“三数”的特征和应用范围.

1.平均数

一般地，如果有n个数x1，x2，x3，…，xn，那么x=1/n（x1+x2+x3+... +xn）叫作这n个数的平均数，

简化的平均数公式：

如果一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，则另——组数据x1+a，x2+a，x3+a，…，xn+a的平均数为x+a.

应用此公式的场合是一组数据中的数据都接近某个数.

2.中位数

一般地，将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处在中间位置的数（或处在中间位置的两个数的平均数）叫作这组数据的中位数.

3.众数

一般地.一组数据中重复出现次数最多的数据叫作这组数据的众数.要注意的是，一组数据中可能没有众数或者有不止一个众数.

二、掌握“三数”的解法

例1 已知一组数据3，5，7，m，n的平均数是6.求m，n的平均数，

例3 一组数据由小到大排列为-1，0，4，x，6，8，且其中位数为5.求这组数据的众数，

解析：数据的个数为偶数，故中位数5为4和x的平均数，即4+x/2=5，得x=6.

这组数据中的6出现最多，故众数为6.

例4 一组数据2，6，7，8，0，3，x的平均数为4，中位数为a，众数为b.求a和b.

解析：由平均数公式得2+6+7+8+0+3+x/ 7=4，故x=2.

此组数据按由小到大顺序排列为0，2，2，3，6，7，8，可知中位数为3，即a=3;众数为2.即b=2.

三、渗透到“三数”中的数学思想

1.筛选思想

例5 已知5个从小到大排列的正整数的中位数为3，其唯一众数为8.求这5个数的和.

解析：设5个从小到大排列的正整数为a，b，c，d，e.

由中位数为3.得c=3.

又它们是从小到大排列的正整数，中位数为3，唯一众数为8，故a=1，b=2，d=e=8.

这5个数的和为：1+2+3+8+8=22.

2.整体思想

例6 已知a，b，c三数的平均数为6，求2a+3，2b-2，2c+5的平均数x.

3.方程思想

例7已知两组数据3，a，26，5和a，b，b的平均数都是6.若将两组数据合并成一组，求这组数据的中位数和众数.

解析：由已知条件可得3+a+2b+5/4=6.

a+6+b /3=6.解得a=8.b=4.

故合并后的数据由小到大排列为3，4，5，6，8，8，8，可知中位数为6，众数为8.

四、巧解“三数”应用题

例8 某农户种了100棵果树，成熟后随意采摘5棵，得到的产量（单位：kg）如下：35，35，34，39，37.请估计一下该农户种的100棵果树的总产量.若该种果子每千克售价为10元，则该农户的收入为多少元？

解析：5个数都接近35，可把这5个数都减去35，得0，0，-1，4，2.则采摘的5棵果树的产量的平均数为

x=1/5 （0+0-1+4+2）+35=36 （kg）.

∴估计总产量为lOOx36=3 600 （kg），收人为3 600x10=36 000（元）.

例9某公司有销售人员15人，公司为了制定某种商品的月销售量，统计出这15人某月的销售量如下：

（1）求这15名销售人员该月销售量的平均数、中位数和众数.

（2）如果公司把每个销售人员的月销售量定为320件，你认为是否恰当？为什么？如果不恰当，请你制定一个比较合理的月销售量，并说明理由，

解析：（1）平均数是320件，中位数和众数均为210件.

（2）不恰当，因为15人中有13人的月销售量不到320件，320件不能反映销售人员的一般水平，销售量定为210件较合理，因为210件既是中位数又是众数，是大部分人都能完成的，