运用方差细掂量

张发光

方差是统计知识中的重要内容，解决有关的题目通常不难.但如果同学们概念模糊，掌握知识不牢，考虑问题不周全.也会出现错误，下面举例分析.

一、对概念理解不全面

例1 省射击队为了从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩（单位：环）如下：

（1）根据表中的数据，计算出甲的平均成绩是____环，乙的平均成绩是___环;

（2）根据（1）中的计算结果，你认为推荐谁参加全国比赛比较合适？请说明理由，

解：（1） x甲=x乙=9环.

（2）甲、乙兩人的平均成绩相同，推荐甲或乙参加比赛都行，又因乙有3次10环.甲有2次10环，故推荐乙参加比赛比较合适，

剖析：上述解法不妥当，分析数据不应该只从平均数上分析，应该结合方差来判断.

正解：（1）同上.

（2）由公式可算得s甲=2/3，s乙=4/3.

推荐甲参加全国比赛比较合适，理由如下：两人的平均成绩相同，说明实力相当;但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较稳定.故推荐甲参加比赛.

方法指导：运用平均数和方差进行决策时，通常的方法是：①在平均数相同的情况下看成绩的稳定性;②考察取得高分的可能性;③多元化的选拔标准.总之，选拔的标准不同.则得出的结论也可能不同.

二、解决问题时未顾及实际情况

例2 某学校欲从甲、乙两人中选出一人参加市中学生运动会的100 m短跑比赛，体育老师组织他们两人进行集训，并把10天的训练成绩用折线图进行了记录（如图1所示）.那么，学校选谁去参加比赛较合理？

解：从折线图中可以知道，甲10次的成绩（单位：s）分别是18，17，16，16，15，14，14，13，14，13，平均成绩是15 s;乙10次的成绩（单位：s）分别是17，16，15，15，14，15，14，14，15，15，乙的平均成绩也是15 s.

因两人的平均成绩相同，所以需再比较他们的方差，看谁比较稳定.根据方差计算公式易知，甲10次成绩的方差是2.6，乙是0.8.因为甲的方差比乙大，所以甲的成绩的波动大，不稳定;乙的方差小，成绩较稳定.因此，选乙参加比赛较合理.

剖析：上述解法是不妥当的，从折线统计图可以发现，10天的训练成绩中，甲虽然不太稳定，但可能是因为在训练的头几天成绩较差.经过几天训练后甲的成绩有明显提高，说明他进步快，很有潜力.而乙的进步较慢，到后几天就停滞不前了，甚至退步.另一方面，在10次训练成绩中，甲有5次的成绩在15 s内（不到15 s），而乙却只有3次.

正解：如果学校想求稳，应选乙，因为在平均成绩相同的情况下乙的成绩比甲稳定;如果学校想争夺冠军，应选甲，因为甲有2次的成绩达到了13 s，有夺冠的可能.

方法指导：方差是反映一组数据波动大小的一个统计量，方差只反映一组数据的波动大小.至于波动大好还是波动小好，即方差大好还是方差小好，那要看所研究的实际问题，认为方差小的数据“较好”，其实是对方差的一种片面性的理解。