关注概念的生长发展让数学抽象落地生根

黄宜凯

摘 要：数学核心素养是新课程修订工作的重大突破，促使数学教学体系和内容更加完善，除了培养能力、传授知识、领悟思想外，还需要培养学生的核心素养。在六大数学学科核心素养中，数学抽象占据首位，而数学概念教学是培养学生抽象能力的关键。该如何有效地揭示概念的本质与外延，关注概念的生长发展，是当下数学教学活动的难点。现以人教版高中数学必修一“函数的概念”为例进行探索，分别从基础准备、系统知识、反思感悟等方面，全面探讨如何有效地培养学生的数学抽象思维能力，确保在教学活动中学生的核心素养能够逐步养成。

关键词：数学抽象；函数的概念；概念教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 收稿日期：2019-12-18 文章编号：1674-120X（2020）13-0072-02

一、问题的提出

在高中数学教学活动中，教师对概念知识教学的认知存在较大的差异。大部分教师认为，概念知识教学比较简单，即在课堂上直接引出概念内容，并告诉学生所需要注意的知识点。这种灌入式教学不仅忽视了概念的生长发展过程，还忽视了学生思维和知识的自我构建过程，因此不利于学生更好地领悟概念中的数学思想和本质，并让学生对数学知识学习产生了抗拒心理。那么在这种背景下，该如何让学生通过数学概念的学习，掌握其中的抽象思维，并形成数学抽象素养。从多年来的教学经验来看，只有关注学生、关注数学抽象的发展规律、关注数学概念的落地生根、关注数学概念的发生发展，才能有效地帮助学生养成数学抽象素养。

二、课堂教学活动——以“函数的概念”为例

（一）复习回顾，导入新知

教师让学生回顾初中阶段“函数的概念”，接着以此为话题，让学生谈谈自己对函数概念的理解，然后以实例的方式研究函数的概念。例1 ：一辆汽车以30m/s的速度在路上行驶，且加速度为10m/s，那么汽车速度与时间是怎样的函数关系？问题一：用函数的概念解释一下题目中的问题；问题二：用集合知识罗列速度和时间的变化过程；问题三：用集合知识描述速度和时间的关系；问题四：验证集合A（时间）中任意一个数在集合B（速度）中有唯一确定的数与其对应。教师通过讲解上述四个问题，让学生按照此步骤和方法自主合作解答教材中的实例。

（二）讨论思考，生成新知

通过例1和教材中的三个案例，找出这四个例子之间的共同点和不同点；接着运用集合知识和对应的语言自主定义函数的概念，此时教师对学生进行引导，根据前面问题的探索，学生很容易归纳出函数的概念；然后，用数学符号表述数学概念；最后，教师和学生共同生成函数的概念认识。设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A。我们把x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x的值相对应的值叫作函数值，函数值的集合{ f（x）| x∈A }叫作函数的值域。

（三）比较反思，感悟抽象

问题：初中阶段的函数概念与高中函数概念，有什么区别和联系？让学生以小组的形式进行分组讨论。经过学生间的讨论，学生很容易发现高中函数概念与初中函数概念之间的差异：初中函数比较简单，高中函数具有三个要素、对应关系突出、定义实质一致。然后结合函数的发展史，让学生感受函数的抽象性。

三、教学思考

（一）掌握数学抽象需要有基础准备

数学是一门抽象性的学科，对学习者提出了更高的要求。如果在新课开始前直接导入新概念，那么学生不仅难以接受和理解新概念，更无法有效地运用数学概念，所以在新课开始前必须结合学生的认知水平和数学知识基础做好充分的准备工作。在课堂上为学生创设有效的教学环境，激发学生的学习兴趣，调动学生的思维，这样不仅可以有效地消除学生的思维、知识障碍，还能消除学生的抗拒心理，从而为新概念学习作好充分的心理准备。在本次教学中，通过回顾初中阶段“函数的概念”，为学生创设了熟悉的教学环境，并明确了新课的教学内容，实现了消除学生紧张情绪的目的。通过提前准备的教学例题，引出了速度和时间变量之间的关系，让学生真实地感受了函数的例子，让学生明白了新概念知识并非那么抽象；再通过三个问题的提出，加深学生对函数概念的理解，对学生的抽象思维发展具有促进作用。另外，还使整个课堂学习显得比较轻松，课堂氛围活跃，对后面的函数概念形成的教学奠定了基础。

（二）掌握数学抽象需要有系统知识

数学抽象核心素养的培养，是一个缓慢的、渐进的、分层次的系统性工程，且以数学知识为载体。对数学概念学习而言，必须有系统的知识体系结构，从概念的出现到最后的形成，每一步发展轨迹都蕴含什么样的数学抽象，只有掌握来龙去脉，摸清发展轨迹，把握发展节奏，同时了解数学概念新旧知识的内容和关系，以及认识到新概念知识的地位，从整体上把握知识体系和每个知识点的发展特点，这样才能逐层、逐步地理解数学抽象的内涵，掌握数学抽象知识，更好地运用数学知识。简约、符号、谱适是数学抽象的三个层次，这说明我们在数学抽象过程中，必须将纷繁复杂的数学问题简化原始概念，最后使数学概念更更容易理解。概念的抽象过程，是为了更好地准确表达数学概念的本质，也是为了使概念的使用范围更广、适用性更强。

（三）掌握数学抽象需要有反思感悟

开展教学活动的目的主要是激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性和主动性，并构建自己的知识体系。学生在学习活动中不断地进行反思和感悟，这样才能有效地构建自己的思维体系。数学知识具有抽象性特征，而数学思维在数学抽象过程中占据重要地位，对抽象过程具有促进作用。所以数学思维与数学抽象之间具有密切的联系，需要教师在教学活动中，为学生创设反思情境，引导学生对数学概念进行反复推敲，感悟数学抽象过程，提高对数学概念的理解，形成自己的数学抽象思维，并构建自己的思维体系。在本次教学中，教师通过对比初中阶段的函数概念和今天所学的函数概念，让学生思考新概念的形成过程，凸显函数的核心属性，揭示函数变量间的对应关系，感受数学抽象的过程，感悟数学抽象的普适性，最终形成数学抽象素养。

综上所述，数学抽象是数学教学的重中之重，需要不断地对数学研究对象进行观察、比较、分析、概述，最终形成数学抽象结果。在数学抽象过程中，逐步凸显数学本质属性，提高数学研究对象的抽象程度。另外，在数学教学活动中，数学抽象还需要在其他知识体系中体现，如数学解题、数学推理、数学命题等。只有创设合理有效的环境，明确教学内容和教学方法，坚持以学生为中心，并及时有效地反思数学抽象，这样才能实现数学抽象落地生根的目的。

参考文献：

[1]潘慧敏.在概念教学中渗透对学生抽象思维的培养——以几个典型概念教学为例[J].數学教学通讯，2019（25）：31-32.

[2]楚秉晶.基于数学抽象能力培养的数学概念教学初探——以浙教版八年级下册“6.1反比例函数”教学为例[J].中学数学，2017（12）：12-15.