生活中的二次函数

文/邓革周

生活中的二次函数

文/邓革周

二次函数是初中数学的核心内容，它在生活中的应用非常广泛，涉及到桥梁建筑、市场经济、体育竞技等方面.请看下面的例子.

一、喷泉、桥梁

例1小明家附近的广场中央新修一个圆形喷水池（如图1），在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管.它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．

（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的解析式；

（2）求出水柱的最大高度是多少.

图1

图2

解：（1）如图2所示，以水管与地面交点为原点，以原点与水柱落地点所在直线为x轴、水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.

由已知，可设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+h，

评注：利用二次函数解决喷泉、桥梁和拱门等建筑设计类问题时，要把数据转化为抛物线上的点，从而确定解析式，利用二次函数的性质解题.

二、市场经济

例2某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元.经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）设销售该商品每天的总利润为W（元），求W与x的函数表达式（利润=收入-成本）；

（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？

解：（1）设y=kx+b，由已知得

∴y=-2x+200.

（2）由题意可得，W=（x-40）（-2x+200）=-2x2+280x-8000，

即W=-2x2+280x-8000.

（3）∵W=-2x2+280x-8000=-2（x-70）2+1800，40≤x≤80，

当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小，

∴当x=70时，总利润W取得最大值，此时W=1800.

答：每千克售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．

评注：二次函数在市场经济中的应用，可分为投资策略、销售定价、货物存放等方面.它们的共同点就是要求利润最大化，需要建立函数关系，运用函数的性质求解.

三、体育竞技

例3甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图3，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a（x-4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．

①求h的值；

②通过计算判断此球能否过网．

（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离点O的水平距离为7m，地面高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．

将点P（0，1）代入，得

图3

②把，得

∵1.625＞1.55，

∴此球能过网.

评注：篮球、排球、羽毛球的运动路径就是抛物线.在运动过程中，运动员对球落点的预判离不开二次函数.

四、共享单车

例4随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择.李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家.设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：

地铁站x（千米）y1（分钟）A 8 1 8 B 9 2 0 C 1 0 2 2 D 1 1.5 2 5 E 1 3 2 8

（1）求y1关于x的函数表达式；

（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用来描述.请问：李华应选择在哪一站出地铁，他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.

解：（1）设y1=kx+b，将（8，18），（9，20），代入得

∴y1=2x+2.

（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则

∴当x=9时，y有最小值，最小值为39.5.

答：李华在B站出地铁，从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．评注：在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围.

五、判断说理

例5某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知建筑材料可建围墙的总长为50m．设饲养室长为x（m），占地面积为y（m2）．

（1）如图4，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？

（2）如图5，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了.”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．

图4

图5

解：（1）因饲养室长xm，则它的宽为

∴当x=25时，占地面积最大，即饲养室的长为25m时，占地面积y最大.

（2）饲养室长xm，中间位置留2m宽的门，则饲养室的宽为

∴当x=26时，占地面积最大，即饲养室的长为26m时，占地面积y最大.

∵26-25=1≠2，

∴小敏的说法不正确．

评注：用自变量表示矩形的长和宽，从而得出函数关系式是解题的关键.

王二喜