浅谈高中数学新教材人教A版例题的教学

陈小强

【摘 要】结合近几年来对新课标教学的一些研究，本文从以下几个方面进行说明。首先，课本例题是解题规范参照的最佳样本；其次，课本例题是将设问引申的最理想起点；第三、课本例题是一题多解的最佳展示台。

【关键词】课标；课本例题；规范；引申；一题多解；变式

《普通高中数学课程标准》指出：教师不仅是新课程的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量。《普通高中课程标准实验教科书—高中数学人教A版》，即通常所说的教材，具有完备的知识体系，又具有权威性，是教师进行数学教学的主要依据，也是学生学习数学基础知识的重要依据。而课本例题更是经过编者反复论证精心设计的，具有典型的范例作用，蕴含着基本的解题思想和方法，具有很高的教学价值。

但是对课本例题的教学，我们很多老师有时会照本宣科，或认为课本例题太过一般或简单，不值得花费时间讲解，一带而过，而改用自己在其他参考书上找来的例题。事实上，这正是教师对课程、教材研究不深入的表现。只要教师认真钻研教材，深刻理解例题的用意，充分挖掘例题的价值，结合学生的实际情况和教学的实际需要，进行适当的引申和拓展，就可以满足不同层次教学的要求。下面就新教材中课本例题的教学，谈一我的想法。

一、课本例题是解题规范参照的最佳样本

解题是深化知识、发展智力、提高数学能力的重要手段。规范的解题能够养成良好的学习习惯，提高思维水平。语言（包括数学语言）叙述是表达解题程式的过程，是数学解题的重要环节。因此，语言叙述必须规范。规范的语言叙述应步骤清楚、正确、完整、详略得当，言必有据。数学本身有一套规范的语言系统，切不可随意杜撰数学符号和数学术语，让人不知所云。在高中数学的学习中，有些题目的解答过程是有严格的规范和要求的，比如函数单调性的证明，立体几何证明等等。

例1.物理学中的玻意耳定律p=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大。试用函数的单调性证明。（人教A版高中数学《必修1》第29页例2）

例2.如图1所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′。

（1）要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？

（2）所画的线与面AC是什么位置关系？

（人教A高中数学《必修2》第59页例3）

通过例1，教师应要求学生掌握解题的基本步骤是：①设所证区间内任意两个变量x1

课本例题已经为学生的解题规范作了最好的示范，而重视解题的规范化将对学生的数学学习带来积极的影响。新课程中加入《算法》的内容，流程图，也从一个方面说明了新课程强调数学解题要步骤清晰，规范到位。

二、课本例题是将设问引申的最理想起点

课本例题的最大特点是针对性强，基础性强，但大多数课本例题是一题一问，给学生的思维空间较小。尽管和老教材相比，新教材在部分例题解答后面安排了“思考”这个环节，对例题进行了一些挖掘，但大多数例题仍缺乏纵向和横向的引申。为了培养思维的深刻性和广阔性，激发学生的学习积极性，结合教学的实际情况，适当地对课本例题的设问进行引申是非常必要的。

例1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1、C1、P三点所确定的平面与长方体表面的交线。

例2.求函数y=在区间[2，6]上的最大值和最小值。（人教A版高中数学《必修1》第31页例4）

在解决了书中提出的设问后，针对例1，可以再提问学生：平面A1PC1与平面ABCD有没有公共点？事实上，部分空间想象能力较弱的学生会因为一时的表面现象而给出“平面A1PC1与平面ABCD无公共点”的错误答案，经同学和老师指正后，回忆起了“平面是无限延展的”这一性质，明确了平面A1PC1与平面ABCD应该也有一条交线。教师这时可适时提问：“如何作出这条交线？”一下子激发起学生强烈的探究欲望。通过和原题的比较，学生就会类似地利用所学的公理去寻找两个平面的公共点，从而得到答案。这样的设问引申可以极大地调动广大学生课堂思考的积极性，再次巩固了前面所学的公理并能更好的运用，也为后续的学习打下一个良好的注脚。

针对例2，可以再提问学生：如何更改（1）中函数（保持解析式不变），可以使得该函数只有最小值或最大值？又如何进行更改可以使得该函数的最小值保持不变？学生通过思考后能说出若干不同的答案，并明确：保持解析式不变，虽然改变了函数的定义域，但最值、值域仍然可能相同。这样的引申能使学生更好的把握函数定义域与值域的关系，以及函数定义域对值域的影响。

以上两题的解决过程并不困难，大多数学生很快就能得出答案。但若在教学过程中就题讲题，不再引申，就会丧失拓展学生创新思维的大好时机，很难激发学生的学习兴趣，造成教师、学生争相“扔掉”课本而投身到大量写板书抄笔记的运动中去，这是完全和新课程的理念背道而驰的。

三、课本例题是一题多解的最佳展示台

课本例题大部分是一题一解，目标明确，且解法的基础性强，符合大多数学生的认知要求。但这样做不利于发散性思维的培养，不利于求异思维和创新能力的培养，同样也不利于知识的融会贯通和综合解题能力的提高。一题多解的思想具有对所学知识加以融会贯通的作用，不仅体现了解题能力的强弱，更重要的是其具有开放式思维特点，是一种培养创新能力的重要思维方法。因此，一题多解应当成为教师和学生掌握数学知识和探索数学思维规律的重要手段。

例已知椭圆的焦点F1（―3，0）、F2（3，0）且与直线x―y+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程。

解法1：设椭圆为=1与直线方程x―y+9=0联立并消去y得：

（2a2―9）x2+18a2x+90a2―a4=0，由题设△=（18a2）2―4（2a2―9）（90a2―a4）≥0

?a4―54a2+405≥0?a2≥45或a2≤9。∵a2-9>0，∴a2≥45，

故amin=3，得（2a）min=6，此时椭圆方程为。

解法2：设椭圆=1与直线x―y+9=0的公共点为M（，），

则―+9=0有解。

∵=-9?，

∴||≤1?≥9?a2≥45，

∴amin=3，得（2a）min=6，此时椭圆的方程。

解法3：先求得F1（―3，0）关于直线x―y+9=0的对称点F（―9，6），设直线x―y+9=0与椭圆的一个交点为M，则2a=|MF1|+|MF2|=|MF|+|MF2|≥|FF2|=6，于是（2a）min=6，

此时易得：a2=45，b2=36，于是椭圆的方程为。

以上是针对本题的3种解法，从代数、三角、几何三种途径寻求解决。由不同角度进行分析和处理，有利于打开眼界，拓宽思路，训练思维的发散性。相信对于此题，很多老师在教学中都会介绍除书本解法外的其他解法。这样做，使学生既加深了对各部分知识的理解，又找到了各部分知识之间的联系，积累了研究问题的经验，提高了解决问题的能力。

总之，在课改的道路上，我们需要认真研读课程标准，用科学的理念武装我们的头脑，用好、用活现行的课标人教A版实验教材，一分为二地看待各种问题，学习他人的先进经验，施展自己的教学魅力，形成个人的教学风格。