浅谈数学中辅助函数的构造与应用

徐秋仓

【摘 要】本文简要论述了辅助函数在解决数学中利用辅助函数来解决数学问题的作用。

【关键词】高等数学；构造；辅助函数

在解决数学问题的时候，辅助函数是一种常用且很重要而又很巧妙的一种方法，它的主要思维方式是：利用条件与结论的特殊性，构造出一个新的辅助函数，架起条件与结论之间的桥梁，从而使我们在困难中找到一条通往目标的道路。以下我们举例来说明辅助函数的一些构造方法与应用。

1借助几何图形构造

例1【拉格朗日中值定理】：如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a，b）内至少有一点 使等式 成立。

分析：直接证明该定理难度很大。从定理的几何意义（各教材都有，略）上来看，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。既然它们之间有这样的特殊关系，我们自然而然的就会想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理，但在拉格朗日中值定理中，函数f（x）不一定满足罗尔定理中的条件f（a）=f（b），为此我们就设想构造一个辅助函数φ（x），且它与f（x）有密切的关系而又满足罗尔定理中的条件φ（a）=φ（b）。然后对φ（x）应用罗尔定理，再把对φ（x）所得的結论转嫁到f（x）上，从而证得我们想要的结果来。我们从拉格朗日中值定理的几何解释中可以寻找到辅助函数 。

下面我们就利用这个辅助函数来证明拉格朗日中值定理。

证明：引进辅助函数

容易验证φ（x）满足罗尔定理的条件：①φ（x）在闭区间[a，b]上连续，②φ（x）在开区间（a，b）内连续，③ 。

由罗尔定理知，在（a，b）内至少有一点 使等式 。

由此可得 。

即 。

定理得证。

同理，我们可以借助于几何意义通过构造辅助函数

满足罗尔定理的条件，用罗尔定理对φ（x）的结论转化为柯西中值定理的结论。从而证明柯西中值定理。

2根据题目的结论构造

例2. 设函数f（x）在 上可导，且 证明：存在 ，使得

。

此结论直接证明不好找方向，但我们把结论变形一下

我们就不难想到罗尔定理的结论了，只需要证明函数F（x）=xf（x）满足罗尔定理的条件，用罗尔定理的结论就可以得到所要证明的。

证明：设辅助函数F（x）=xf（x）

（1）由题意知f（x）在 上可导，则f（x）在 上连续，从而F（x）=xf（x）在 上连续；（2）f（x）在 上可导，则f（x）在 内可导，易证F（x）=xf（x）在 内可导；（3）F（0）=0，f（0）=0，F（1）=1，f（1）=0。F（x）=xf（x）满足罗尔定理的三个条件，所以在 内至少存在一点ξ，使得

即 得证。

例3. 设 ，证明存在 使得 。

此证明题似乎证明难度比较大，但我们对所需要证明的式子进行等价变形

从这个变形的等式左边看，很容易让人想起柯西定理的结论，所以设想用柯西定理来证明。自然而然的就会想到引入辅助函数 。

证明：引入辅助函数：

很显然引入的两个辅助函数在 上连续，在 内可导，且

由柯西定理，在 内至少存在一点ξ，使得

即

3根据所解决问题的目的联想

例4证明当 时，

。

此题要求证明对数函数介于有理函数之间，两类函数如何发生关系呢？最好把对数函数用有理函数表示出来，同类函数比较要容易一些。而这个对数函数的导数是一个有理函数，所以设想找出该函数与其导数的等式关系来，容易想到拉格朗日中值定理。所以引入辅助函数，应用拉格朗日中值定理来证明。

证明：设辅助函数 ，显然函数在区间 上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，应有

， 。

由于 ， ，因此上式即为

又由 ，有 ，

即 。

例5.证明当 时，

。

分析：欲直接证，此证明不好证，思路不容易有，若把此问题转化为函数问题，就是比较函数 在 处函数值的平均值与 的平均值处的函数值，这个问题不难想到利用函数的凹凸性来解决。

证明：设辅助函数 ，则 ， ，当 时 ，所以曲线 在 时为凹弧。根据凹弧定义，设x，y是 范围内的两点，则有 。

即有 。得证。

参考文献：

[1]《高等数学》.同济大学编.高等教育出版社，1988年版

[2]数学分析原理.格马菲赫金哥若次著.丁寿田译.人民教育出版社，1960