椭圆及其标准方程中的几个亮点

于彩侠

【摘要】笔者参加学校组织的讲课大赛的准备工作中，对《椭圆及其标准方程》这一节进行了深度挖掘。本文从导入问题体现特色、分析方程加强运算（构造方程，等量代换，化简方程，注重形式、做好铺垫，思维拓展）、数形结合直观解题思想等几个方面，分析了《椭圆及其标准方程》这一节知识的几个亮点，展现了一些重要的数学思想。

【关键词】构造思想 思维方法 代换

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）06-0127-02

若能够恰当的运用课程资源，精当的设计适合学生的学习活动，进行探究性、研究性的教学，则课堂教学不仅有利于学生掌握本节的基本内容，而且能激发学生的探索性和求知欲，从而达到很好的教学效果。前阶段，笔者有幸参加了本学校组织的青年教师讲课大赛，接到参赛通知之后，翻看了一下自己所任学科的进度，到比赛时，教学进度应该在椭圆那一单元，于是，没有太多的思考就选择了《椭圆及其标准方程》这一节，想着本节就一个定义两个方程，前期的准备工作和比赛过程应该比较轻松，但是，深度的挖掘之后，发现内容并非自己想象的那么浅显、单一，本节涵盖了丰富的数学思想方法。经过一番努力，此次大赛中，笔者受益匪浅，对本节中的几处亮点感触颇深，下面就谈谈本节的一些亮点，以期抛砖引玉。

亮点一：导入问题，体现特色

课堂前期，学生用自己准备的工具——笔、绳子、纸板画出圆，回忆了圆的定义，然后再用工具按照一定的要求画出椭圆，从而给出椭圆的定义。运用类比高中研究圆的性质的方法进一步研究椭圆的性质。初中学习圆的知识时，主要运用定理、公理以及结合题设来解决圆的相关问题，在高中用的是解析法学习圆的知识，先建立坐标系，然后得出圆的方程，再运用所得方程去研究圆的有关性质，即用代数方法解决几何问题，为了更好的研究椭圆的性质，类比高中研究圆的性质的方法，也用解析法，先建立适当的坐标系，得出椭圆的方程，再研究椭圆的性质。这一教学环节，使学生明白了接下来为什么要推导学习椭圆的标准方程，理解了解析几何的含义——用代数方法解决几何问题。解析几何的试题年年有，年年变化，但是万变不离其宗的是对解析几何思想和坐标法的考查，《椭圆及其标准方程》这一节的学习展开过程就是解析几何整个课程的一个经典缩影，最能体现出解析几何的特色。

亮点二：分析方程，加强运算

根据解析几何中求曲线方程的步骤和方法求出椭圆的方程：

（1）焦点在x轴上：■+■=2a（a>c>0）；

（2）焦点在y轴上：■+■=2a（a>c>0）.

对于这样比较复杂的方程，应该怎样化简呢？学生自由化简时，由于学生在上课之前对本节都已经预习了，所以学生都按照教材上的方法进行化简的，运算复杂，运算量大。由于课堂上时间有限，在课外时间，笔者和学生一起探讨了其它化简方程的方法。

1.方法引入：构造方程，等量代换

在学习必修一函数时，有这样的类型题目：已知函数f（x）满足f（x）+2f（■）=2x，求函数f（x）的解析式。本题中可以把f（x）+2f（■）=2x看成关于f（x）和f（■）的方程，则一个方程是不能求出两个未知量的，必须再构造一个方程，即运用代换思想，得到f（■）+2f（x）=■，解方程组f（x）+2f（■）=2xf（■）+2f（x）=■，从而求出f（x）的解析式。例如题目：已知偶函数f（x）、奇函数g（x）满足关系式f（x）+g（x）=x2+2x，也是用类似的方法解决。

2.化简方程

（1）焦点在x轴上（构造方程）

由以上例子得到启发，在化简椭圆方程时，把■和■分别看做两个未知量，再构造一个对偶式的方程■-■=M（？鄢），与原方程左右对应相乘，得出M=■，（？鄢）式再与原方程相加，消去一个根号，得■=■+a，然后两边平方即可得到椭圆的方程为■+■=1。此化简方程的过程体现了数学中的构造思想方法。

所要化简的方程对称优美，结构和谐，乍看无从下手，但抓住方程的对称情况，构造出新的方程，则能更简单的解决出问题。

（2）焦点在y轴上（代换思想）

化简焦点在y轴上时的方程时，不必重复上述化简的过程，把此方程与焦在x轴上的方程对比，发现两个方程形式相同，不同之处就是把x和y对调了一下位置，所以最终化简的结果也即是x和y的位置对调。代换的方法是一种典型的解题方法，应用于等量代换、不等量代换、变量代换、三角函数代换等知识领域。解题时，根据知识的内在联系，转化数量关系，从而简化整个解题过程。

3.注重形式，做好铺垫

数学教材中，各节内容环环相扣，层层加深，椭圆的方程化简到■+■=1时，让学生从所建坐标系的图中找出表示a，c，■的线段，表示这三个量的线段恰巧是直角三角形的三条边，令一直角边的长■=b（b>0），则得到椭圆的标准方程，方程简单整齐，而且为下一节进一步研究椭圆的性质做了铺垫。由于引入了量b，性质中的范围、定点、轴等，表示的时候很方便，大大简化了一些运算量。

4.思维拓展

笔者曾在一文章中看到作者对一道经典试题的探究，亦觉得很感兴趣，对此欣赏不已。

题：若（■+x）（■+y）=1，证明：x+y=0.

解析：根据题目条件的对称性，设（■-x）（■-y）=M，

与原式对应相乘，则M=1，即（■-x）（■-y）=1，

因为（■+x）（■-x）=1，

与原式对比，得到■-x=■+y.

设函数f（x）=■-x，显然该函数为减函数，

则有f（x）=f（-y），从而x=-y，x+y=0.

本解题思路体现了函数和方程中的构造和代换的思想方法。

课外时间和学生一起如此的探讨，能够大大调动学生学习数学的积极性，激发学习数学的求知欲，提升学生的解题技能，增强学生的思维能力，让学生感受到数学的形式美、本质美。

亮点三：数形结合，直观解题

华罗庚指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”。数形结合这一重要思想贯穿了高中整个数学，它把抽象的数学语言与直观的图形相结合，往往使复杂问题简单化，到达优化解题的目的。本节由椭圆的图形利用解析法得到了椭圆的方程，实现了由“形”到“数”的转变，若已知了“数”，通过观察分析，有时也会得到我们所熟悉的“形”。例如：求方程■+■=8所表示的椭圆的标准方程。若按部就班的化简，显然走了弯路，若从方程的含义出发，动点（x，y）的轨迹为椭圆，得出相应的数a=4，c=3，很快就求出椭圆的标准方程。

在教学中，营造氛围，引导学生开展问题探究，发展数学思维，提高学生的解题能力，重本真教学，轻形式教学，即让学生透彻理解数学概念的成因，把握数学思想方法的原理，不仅要让学生知其然，更让学生知其所以然，这是一位教师应有的教学智慧。在本节中，笔者不仅让学生掌握了椭圆的定义和两种形式的标准方程，而且把以上分析的思想方法渗透到了教学当中，学生兴致高涨，通过师生、生生之间的合作、交流、探讨，学生感悟出了源于教材且高于教材的丰富知识。

参考文献：

[1]崔志荣.何昌来.追求本真教学，打造绿色课堂[J].《中小学数学》（高中版），2014（1-8）：30

[2]王淼生.对一道全俄奥林匹克试题的肤浅探究[J].《中小学数学》（高中版），2014（1-8）：9

[3]赵银仓.利用教材资源开展探究性学习[J].《中国数学教育》（高中版），2013（5）