源自赌博的概率论

郭雨萌

赌博遇到数学问题

概率论起源于17世纪中叶，是研究随机现象规律的数学分支。当时在人口统计、保险等工作中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。但当时，刺激数学家们首先思考概率论的问题却是源自赌博者的问题。

三四百年前，在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风，掷骰子是他们常用的一种赌博方式。因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的。有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，哪种情况出现的可能性较大？17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个6点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双6点的机会却很少。

这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题。又有人提出了“分赌注问题”：两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得6局便算赢家。如果在一个人赢3局，另一人赢4 局时因故终止赌博，应如何分赌本？诸如此类需要计算可能性大小的赌博问题有很多，但他们自己也无法给出答案。

数学家们参与“赌博”

参赌者将他们遇到的上述问题请教了当时法国的数学家帕斯卡，帕斯卡接受了这些问题，他没有立即回答，而是把它们交给另一位法国数学家费马。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回到荷兰后，他独立地进行研究。

帕斯卡和费马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》，这本书迄今为止仍被认为是概率论中最早的论著。因此可以说，早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。

在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。这个家族中最著名的数学家雅可布·贝努利在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了一个被称为“大数定律”的定理，其内容是：在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律。通俗地说，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。我们可以用掷骰子来说明“大数定律”。大家都知道骰子掷1、2、3、4、5、6点的机率各是六分之一，可是实际上掷六次却很难得到1、2、3、4、5、6点各一次，那这个机率到底是如何得来的呢？以前有位西方数学家，掷了一万次骰子，得出来各点的机率不是六分之一，他又继续掷，掷了五万次、六万次，甚至十万次，发现得到1、2、3、4、5、6点的机率愈来愈平均，也就是六分之一。

大数定律的发现和证明过程是极其困难的，雅可布·贝努利做了大量的实验计算，首先猜想到这一事实，然后为了证明这一猜想，他花费了20年的时间。雅可布将他的全部心血倾注到这一数学研究之中，从中他发现了不少新方法，取得了许多新成果，终于将此定理证实。

雅可布的侄子尼古拉·贝努利也真正地参与了“赌博”。他提出了著名的“圣彼得堡问题”：甲乙两人赌博，甲掷一枚硬币到掷出正面为一局。若甲掷第一次掷出正面，则乙付给甲一个卢布；若甲第一次掷得反面，第二次掷得正面，乙付给甲两个卢布；若甲前两次掷得反面，第三次得到正面，乙付给甲22个卢布。一般地，若甲前n-1次掷得反面，第n次掷得正面，则乙需付给甲2n-1个卢布。问在赌博开始前甲应付给乙多少卢布才有权参加赌博而确保乙方不致亏损？

与尼古拉同时代的许多数学家研究了这个问题，并给出了一些不同的解法。但其结果是很奇特的，所付的款数竟为无限大。即不管甲事先拿出多少钱给乙，只要赌博不断地进行，乙肯定是要赔钱的。

走出赌博成为严谨的学科

随着18世纪～19世纪科学的发展，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的发展。法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论推进，他首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的数学分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。

概率论在20世纪迅速发展起来，现在，概率论与以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及工农业生产等诸多领域中起着不可或缺的作用。卫星上天、导弹巡航、飞机制造、宇宙飞船遨游太空等都有概率论的一份功劳；及时准确的天气预报、海洋探险、考古研究等更离不开概率论与数理统计；在社会服务领域，概率论的应用更为明显，比如应用排队过程模型来描述和研究电话通信、机器损修、水库调度，病人候诊等一系列服务系统。

概率论作为理论严谨、应用广泛的数学分支正日益受到人们的重视，并将随着科学技术的发展而得到发展。