用类比法学习线段和角的大小比较

孟　坤

线段和角是初中数学所研究的两类最基本的图形，它们有一些类似的属性. 研究有关角的问题，可类比线段问题的研究方法. 我们知道，无论比较线段的长短，还是比较角的大小，都有估测、度量和叠合等方法.那么，在实际问题中，怎样根据需要来选择合适的方法呢？

一、估测法

在比较几条线段的长短时，如果各条线段的长短差别较明显，而又不需要知道相差多少，或度量、叠合有困难时，可用估测法.

例如学校四周围墙高低不一，如果想确定哪一面墙较高，用目测就够了；如果想知道校园中央的旗杆距前、后教学楼哪一段距离更长一些，可以用步量；如果要比较的两条线段不太长，还可用张开大拇指和中指来量长度，这些都属于估测法.

类比线段的大小比较，我们可以用估测法比较角的大小. 用此方法比较角的大小较为直观，但不够准确，适用于角度差别大或者对角度要求不高时的角的大小比较. 例如比较画在纸上的两个角的大小，如果大小相差明显，用估测法就可判断出谁大谁小.

二、度量法

如果要比较的线段长短差别不太明显，而又不便于放在一起比较，或者想知道相差多少，可以用度量法. 通过度量线段的长度，由长度的大小可得到线段的大小.

类比线段的大小比较，我们可以用量角器量得角的度数，再根据角的度数来比较角的大小.

例1 如图1，△ABC的三边可表示成线段AB、线段AC和线段BC.

（1）先测量三边的长度，再在下面横线上填入“＞”、“＜”或“ = ”.

① AB + AC ____ BC；② AB + BC ____ AC；③ AC + BC ____ AB.

（2）你能得到什么结论？

分析：（1）通过测量，容易得到大小关系；（2）以①为例，AB + AC可看做AB与AC是连接B与C两个端点的一条折线，而BC是连接B、C两个端点的一条线段. 故可得到结论“两点之间线段最短”.

解：（1）均填“＞”；

（2）结论是“两点之间线段最短”（或“三角形任意两边之和大于第三边”）.

本题得到的结论不唯一，这是一个开放型问题.

例2 根据图2求解下列问题.

（1）借助三角尺，比较∠EOD和∠COD的大小；

（2）用量角器度量，比较∠BOC和∠COD的大小.

分析：（1）我们选择三角尺的一个角来估算这两个角大约的度数，就可以达到比较的目的；（2）通过度量也容易得出结论.

解：（1）用三角尺中30°的角分别与∠EOD和∠COD比较，可以发现∠EOD<30°，∠COD>30°，所以∠EOD<∠COD；

（2）通过度量可知：∠BOC = 50°，∠COD=40°，所以∠BOC>∠COD.

当借助三角尺比较两个角的大小时，我们选择的三角尺的“角”要适当；当两个角的大小非常接近时，我们可以借助量角器来比较这两个角的大小.

三、叠合法

如果要比较的线段长短无需知道相差数据，而放在一起又比较方便，即可用叠合法比较其大小. 例如比较线段AB、CD的长短，可先画一条直线，在上先作出线段AB，再作出线段CD，并使点A和点C重合，点B与D位于点A的同侧.

① 如果点D和点B重合，则线段AB与线段CD相等，记作AB = CD，如图3（1）；

② 如果点D在线段AB内部，则线段AB大于线段CD，记作AB＞CD，如图3（2）；

③ 如果点D在线段AB外部，则线段AB小于线段CD，记作AB＜CD，如图3（3）.

再如两个人比高低，只要在平地上背靠背站在一起，旁边的人就可观察出来. 要比较几根铅笔的长短，只要握在手里并将一头对齐，看另一头就行了.

类比线段的大小比较，我们可用叠合法比较角的大小. 例如比较∠ABC与∠DEF的大小，可先让顶点B、E重合，再让边BA和ED重合，使另一边EF和BC落在BA（ED）的同侧.

① 若EF和BC也重合，那么∠DEF等于∠ABC，记作∠DEF = ∠ABC，如图4（1）；

② 若EF落在∠ABC的外部，那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC，如图4（2）；

③ 若EF落在∠ABC的内部，那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC，如图4（3）.

例4图5是一张三角形纸片，你能准确比较出线段AB与线段AC的长短吗？试说明你的方法，并用你的方法确定AB的中点D.

解法1：用刻度尺直接度量三角形三条边，就可以比较出三条边的长短，并能确定AB的中点D.

解法2：把边AB折叠到AC上，易得B点在线段AC上，所以AC＞AB.让点A、B重合，即对折线段AB，则折痕和AB的交点即为线段AB的中点D.

解法2巧妙地运用折纸的方法比较了线段的大小及找线段中点问题，简单且便于操作，是一种创新.

例5已知：线段a、b、c（如图6）.

（1）画出线段AB，使AB = a + b - c；

（2）画出线段AB的中点.

分析：本题有两种解题思路，一是先量出线段a、b、c的长度，计算出a + b - c的大小，再用刻度尺画出线段AB，使得线段AB的长度恰好为a + b - c的结果；二是用圆规和直尺画图，下面采用第二种思路求解.

解：（1）画法如下：

① 画出射线AE.

② 在射线AE上顺次截取AC = a，CD = b.

③ 在线段AD上截取DB = c，且点B在线段AD内部，则线段AB就是所要画的线段.

作图结果如图7.

（2）用刻度尺量出线段AB的长，计算出 AB的长，从而找到中点的位置M.

解答这类问题的关键是掌握线段的大小比较方法及和差倍分的画法.

例6如图8，将一张长方形纸斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后把BE折过去，使之与A′B重合，折痕为BD，那么两折痕BC、BD间的夹角是多少度？

解析：因为∠CBA与∠CBA′折叠重合，所以∠CBA = ∠CBA′.同理，∠EBD与∠A′BD折叠重合，所以∠EBD=∠A′BD.

所以∠CBA′ + ∠A′BD =∠ABA′ +∠A′BE =（∠ABA′ + ∠A′BE） = × 180° = 90°.

动手操作题是近几年中考试题里的热点题型，折叠前后能够重合的角（或线段）分别对应相等. 本题可以通过实际操作折纸过程来猜测∠CBD的大小，然后来验证.

线段的相关知识是容易掌握的，而角相对于线段来说要复杂一些，用处理线段问题的类似方法来解决角的问题，可以促进问题的转化. 用类比推理法解决数学问题，可以帮助同学们由已建立起的知识结构来构造新的知识结构，以探求未知的领域，培养创新意识.

1． 如图9，B、C在线段AD上，且AB = CD，则AC与BD的大小关系是（）.

A. AC>BD B.AC = BD

C.AC

2． 若AB = MA + MB，AB

A. 点M、N均在线段AB上

B. 点M、N均在线段AB外

C．点M在线段AB上，点N在线段AB外

D. 点N在线段AB上，点M在线段AB外

3． 请你仔细观察图10，找出∠AOC、∠BOE和∠BOD的大小关系.

4． 把两个三角尺按图11那样拼在一起，试确定图中∠B、∠E、∠BAD和∠DCE的度数及其大小关系.

5． 已知线段AB = 8，平面上有一点P.

（1）若AP = 5，则PB等于多少时，P在线段AB上？

（2）当P在线段AB上，并且PA = PB时，试确定P点的位置，并比较PA + PB与AB的大小.

6． 如图12，∠ABC是平角，过点B任作一条射线BD将∠ABC分成∠DBA与∠DBC.当∠DBA是什么角时，下列式子成立.

（1）∠DBA<∠DBC；

（2）∠DBA>∠DBC；

（3）∠DBA = ∠DBC.

7． 拿一张长方形纸片，按图13所示的方法折叠一角，得到折痕EF，如果∠1 = 40°，那么∠2比∠1大多少度？

8． 如图14，有A、B、C、D四个村庄，为了解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请确定蓄水池所在位置的点H，使它与四个村庄的距离和最小.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文