高中数学不等式解法探讨

时间：2024-04-24

俞海彬

摘要：高中数学中关于不等式的内容是非常重要的知识点，也是高考中的高频考点。不等式对于其他学科的理论知识的学习有一定的帮助，所以，在整个高中数学试题中，关于不等式的题型所占的比例越来越大。本文针对高中数学中关于不等式问题的解题方法进行了探讨，从换元法、反证法、线性规划等方面为广大高中考生提供了一定的解题方法，希望能对高中考生有所帮助。

关键词：高中数学；不等式；解法

高中数学本来就是一门难度较大的课程，需要学生具有较好的逻辑性。高中数学的学习内容中，关于不等式的知识是必学内容，教师在教学中也把不等式作为重点、难点来讲授，是考试中最常考的知识点之一，所占分值也比较大。很多高中生在学习数学的过程中，往往不能熟练地掌握不等式的解题方法，这就使得他们不能很好地理解数学概念，解题效率比较低，在做题时并没有百分百的把握，所以导致做题过程中犹犹豫豫，做题速度比较慢。

一、用换元法简化习题

换元法是不等式的解题方法中常用的一种方法，把未知数或变数称作为元，所谓换元法，就是将一个式子看成是一个整体，并选用一个量来取代这个式子，把原来比较复杂的式子简化成简单的式子，再进行解题。这就是比较传统的换元法。

换元法实际上就是变换了研究对象，把问题转移到新的对象上，在新对象的知识背景中继续研究。换元法可以把原来非标准化的问题标准化，把复杂的问题简单化，可以把高次式化成低次式，把分式化成整式，把無理式化成有理式，总之，就是将原来看起来较为复杂的、无从入手的式子，转化为稍简单的、有规律可循的式子。但是，有一个问题需要注意，那就是换元后的取值范围的问题，新变量的取值范围要和所替换的式子的取值范围一致。

换元法主要有整式换元、三角换元、均值换元等方法，可以用在恒等式的证明、因式分解、条件等式的证明、化简求值、函数、三角、数列、解析方程等问题的解决中[1]。整式换元就是将一个多次出现的代数式用一个字母去替换掉，这个代数式可以是有理数、根式、指数式、对数式等等。三角换元就是将式子换成三角式，利用三角知识来解决代数式的问题。

二、使用反证法解决不等式问题

反证法是正向解题比较困难的情况下，则从反方向入手，运用的是正难则反的思维方法。具体方法是先假设命题的结论的反面是正确的，是可以成立的，然后通过一系列正确的推理，推出了矛盾，那么就可以说明最开始的假设是错误的，从而可以间接地证明命题是正确的，是可以成立的。有时也可以直接举一个特定的例子来证明假设不成立，这种方法在选择题中较为常用。

有几种情形中常用反证法来解题：直接正面证明比较困难；直接正面证明需要分很多种情况，但对立命题的分类比较少；结论中出现了“至少”“至多”“全”“不可能”“有无穷多个”等字样；结论是“唯一”之类的命题。

反证法需要学生能够根据命题结论假设出命题的反面。比如说，如果结论中出现了“至少有一个”，那么其否定假设则是“一个也没有”；如果结论中有“至多有一个”，那么其否定假设则是“有两个或两个以上”；如果结论中是“唯一一个”，那么其否定假设则是“没有或有两个或有两个以上”。

三、使用线性规划法解决不等式问题

分析近几年各地的高考试卷或者平时的模拟试卷便不难发现，线性规划与不等式相结合的这种题型的出题率是非常高的。这种题型主要考察的方式有三种：一是直接去最优解，二是已知最优解求参数的值或取值范围，三是求区域的面积。

在线性规划的题目中，常见的目标函数主要有以下几类：1.求直线的截距，这是最基本的类型；2.求直线的斜率；3.求平面内两点之间的距离或距离的平方；4.求点到直线的距离[2]。

要想解决线性规划问题，首先要找到可行域，要知道目标函数代表的几何意义是什么，然后将数字与图形相结合，求出最优解。对于有知识背景的应用类型的题目，则要设出变量，从而确定可行域和目标函数。

常见的几种不等式的解法：一元二次方程的根就是一元二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的零点，即二次函数的图像与x轴交点的横坐标；分式不等式则可以将其转化成整式不等式再解；以函数为背景的不等式则可以利用函数的单调性来解题。

线性规划问题的解题步骤：1.确定不等式所表示的平面区域，并将其在数轴上画出，要注意将区域边界与不等式中的不等号对应好；2.画出目标函数的值为0使所表示的直线l，然后平行移动直线l，使其与平面区域有公共点，再根据目标函数的几何意义确定出最优解；3.通过直线方程组求出最优解的坐标，最后再将其带入函数，求出最值[3]。