基于总费用最小的森林救火多参数优化模型

杨官正

（苏州大学，江苏 苏州 215006）

0 引言

2022年8月重庆出现了一场非常严重的森林火灾，这场森林火灾在各方的共同努力下及时扑灭，但也为人们敲响了警钟：如何快速控制森林火情，最大程度地减少损失，成为一个亟需解决的问题。在此之前，姜启源[1]已做了相关研究，并提出经典森林救火数学模型。由于姜启源森林救火模型只考虑了无风以及消防队员灭火速度恒定的理想情况，因此原本经典的救火模型需要进一步优化。许多学者对森林救火问题进行深入研究，取得了一系列的研究成果，如王光清[2]利用微分法，提出了由总费用最少来决定派出队员人数的结论；林道荣、韩中庚[3]提出了无风、小风及中风情形下的优化模型，该模型可以在首次派出消防队员人数不足的情况下，确定增援人员，最大程度地减少森林损失费用和救援费用。

该文结合影响森林火灾的风向、自然熄灭以及影响灭火速度等因素，如消防队员随着救火时间增加体力下降导致救火速度降低的情况，对姜启源经典森林救火模型进行优化，进而提出合理确定派遣消防队员人数的数学模型并进行求解论证，以期为消防部门进行森林救火提供参考。

1 姜启源森林救火数学模型

该文的模型优化基于姜启源救火模型[1]。姜启源认为森林损失费通常正比与森林烧毁的面积，它与火势蔓延程度、燃烧的时间有关；记失火时刻t=0，消防队员前来救援的时刻为t=t1，火被扑灭时刻为t=t2（t1

根据上述情况，姜启源提出4种假设：1）损失费与森林烧毁面积成正比，记c1为烧毁单位面积损失费，s失为森林火灾被扑灭时森林烧毁面积，则森林总损失费为c1s失。2）假定燃烧面积以失火点为中心，匀速向四周蔓延，形成一个规则的圆形，则圆的半径与燃烧持续时间成正比，设t时刻圆的半径r1=βt，比例系数β火势蔓延速度，即单位时间内火势沿特定方向延伸的距离。燃烧面积如图1所示。3）记每个队员的灭火速度为常数；假定有名消防队员。4）救援费包括2个部分：1）消防队员的人工成本。这项费用与队员人数及灭火持续的时间有关。派出的人数越多，灭火持续的时间越长，人工成本越高。2）运送消防队员的运输成本和救援器材的损耗等一次性支出，只与队员人数有关。派出的人数越多，一次性支出就越多。记每个消防队员单位灭火时间的人工成本为c2，则每个队员救火的人工成本为c2（t2-t1），记每个队员的一次性支出为。

图1 无风情况下t时刻的燃烧面积

基于以上情况可知总费用函数如公式（1）所示。

式中：C（x）为总费用函数；c1s失为森林总损失费；c2（t2-t1）x为总的人工成本；c3x为队员总的一次性支出。

对上述函数进行求解，即可得出需要派出消防队员的最优人数。

2 救火额外因素问题

通过求解上述森林救火模型，可以得到森林损失费用与救火的总开支情况，计算出合理派遣消防队员人数，为消防部门救火提供理论依据。然而在实际生活中，还要考虑森林火灾的灭火过程中的很多因素：例如火灾大小及蔓延速度受自然风（风的大小）、风向（上风口、下风口、侧风口）、地势（平坦、缓坡、陡坡）以及森林植被品种等因素的影响；森林火灾扑灭时间还与消防队员路上时间以及消防队员随着扑火时间增长体力下降等因素有关。该文选择考虑有风条件、可燃物的自然熄灭和消防队员随着扑火时间增长而体力下降这3个因素。

3 救火额外因素问题分析

姜启源的3个假设条件中，与实际情况有出入，包括以下3点：1）一般情况下，森林中会存在自然风，风会加大火势，风力越大火蔓延速度越快（假设一定风速下，风力对火势蔓延速度的影响相对固定）。2）消防队员体力有限，随着救火时间增加，救火效率下降。3）随着火势蔓延，原有的着火区域会随着可燃物燃尽自然熄灭。

4 模型优化

根据上述3个影响因素，分别对姜启源的森林救火模型进行优化。

4.1 在有风的情况下，且风速相对稳定

原模型假设（2）中指出：从失火到开始救火这段时间（0

为方便考虑，在平面内以着火点为原点O建立直角坐标系，并假设自然风从x轴负方向吹向x轴正方向。为简化模型，不考虑火灾蔓延速度在蔓延过程中或在随后的救火过程中逐渐降至0。因此，在开始救火至火被扑灭这段时间内的蔓延速度β不变。对不同方向上的火势蔓延情况进行分析：下风口（x正半轴）处于火势顺风的情况下。因此，原假设（2）中定义的蔓延速度β在x正半轴方向上会有一个火势蔓延速度增量α1（假设自然风造成的速度增量是一个与距离、时间无关的定值），此时α1为正值，则t时刻在x正半轴方向上火势蔓延的距离为（β+α1）t；上风口（x负半轴）处于火势逆风情况下。同理，原假设（2）中定义的蔓延速度β在x负半轴方向上会有一个火势蔓延速度减量α2（同样α2为定值，且|α2|<β），此时α2为负值，则t时刻在x负半轴方向上火势蔓延的距离为 （β+α2）t；侧风口y轴方向上火势蔓延速度可近似视为无变化，仍保持β。这样在t2火被扑灭时刻已经燃烧的面积可近似视为如图2所示的类椭圆形（由2个半椭圆构成，分别是x>0区域的半椭圆和x<0区域的半椭圆）。根据椭圆面积公式：s=παb，其中α、b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长。可得位于下风口x>0区域的半椭圆面积，如公式（2）所示。

图2 有风情况下t2时刻森林已燃烧的总面积

式中：S下为下风口的半椭圆的面积；（β+α1）t2为x轴方向上的长半轴的长；βt2为y轴方向上的短半轴的长。

进一步简化得到公式（3）。

同理可求得位于上风口x<0区域的半椭圆面积，如公式（4）所示。

由此可知t2时刻森林已燃烧的总面积如公式（5）所示。

式中：s失为t2时刻森林已燃烧的总面积为下风口半椭圆的面积；为上风口半椭圆的面积。

4.2 考虑自然熄灭

在森林火灾中，燃烧区域随着可燃物的燃尽呈现自然熄灭的状态。自然熄灭面积与可燃物的自然速度有关。假定无风情况下自然熄灭面积以失火点为中心，匀速向四周蔓延，形成一个规则的圆形，则圆的半径与燃烧持续时间成正比，设t时刻圆的半径r2=vt，比例系数为自然熄灭速度（大小小于火势蔓延速度），即单位时间内火势沿特定方向熄灭的距离。自然熄灭的面积如图3所示。

图3 无风情况下t时刻的自然熄灭面积

上述情况未考虑有风情况，但实际过程是有风存在的。假定风速条件与4.1相同，同样地，因为风会使火势增大，单位面积内着火物燃得越快，其单位面积自燃速度应越快，在下风口x>0区域的自燃物处于顺风的条件下，火势沿着轴蔓延，因此自然熄灭速度有一个额外的速度增量（假设自然风造成的速度增量是一个与距离、时间无关的定值），此时为正值；同理上风口x<0区域的自燃物处于逆风的条件下，火势沿着轴蔓延，因此自然熄灭速度有一个额外的速度减量b2（同样b2为定值，且|b2|

因此，t2时刻可燃物因燃烧而已经自然熄灭的面积也可以看作是一个较小的类椭圆形（由 2 个较小的半椭圆构成的），如图 4 所示，分别是x>0区域的半椭圆和x<0区域的半椭圆）。根据椭圆面积公式，可得下风口x>0区域的半椭圆面积，如公式（6）所示。

图4 有风情况下t2时刻已自然熄灭的总面积

式中：S自下为下风口的半椭圆的面积；（v+b1）t2为x轴方向上的长半轴的长；vt2为y轴方向上的短半轴的长。

进一步化简得：

同理可求得位于上风口x<0区域的半椭圆面积，如公式（8）所示。

由此可知t2时刻森林已自然熄灭的总面积如公式（9）所示。

式中：S自为t2时刻森林已自然熄灭的总面积；为下风口半椭圆的面积上风口半椭圆的面积。

4.3 消防队员需要扑灭的面积

考虑有风情况下森林燃烧的总面积和自然熄灭的总面积后，消防队员需要扑灭的面积为森林燃烧的总面积S失减去自然熄灭的总面积S自。记消防队员需要扑灭的总面积为S灭，则有S灭=S失-S自。图5中的阴影部分为消防队员需要扑灭的总面积S灭。

图5 有风情况下消防队员需要扑灭的总面积

4.4 考虑消防队员体力

姜启源数学模型是建立在消防队员灭火速度是常数基础上的。事实上，消防队员灭火速与消防队员参与救火持续的时间有关。一般说来，随着扑火时间增长体力下降，其单位时间灭火面积也下降。

原模型假设（3）：每个队员的平均灭火速度作为常数，在现实生活中显然不符合常理的，因为消防队员灭火速度与其救火时间有关，随着时间的增加其体力逐渐下降，上单位灭火速度越小。因此，在实际中应看作一个随时间变化的减函数λ（t），设表示时刻的瞬时灭火速度，即单位时间的灭火面积。为了简便不妨将消防员体力看成随时间均匀减少，即λ（t）为一次函数，该函数如公式（10）所示。

式中：λ0为消防队员的初始灭火速度；k为比例常数且k>0。

则（t2-t1）这段时间的灭火面积可以看成时刻的灭火速度灭火时间（t2-t1）。现假定派出消防队员人数为x， 则消防队员共扑灭失火面积如公式（11）所示。

式中：S灭为消防队员灭火的面积；x为派出消防队员人数；λ（t）（t2-t1）为单个消防队员的灭火面积。

经整理得到公式（12）。

5 模型求解

5.1 面积相等

根据自燃熄灭的面积+消防队员扑灭的面积与失火总面积相等，即S灭=S自-S失。

根据公式（4）、公式（7）、公式（9）可得：

整理可得：

为了简化式子，令：

则有：

则解得：

5.2 总费用最小

综上可知，总费用由森林损失费用和救援费用2个部分构成，其中救援费用由人工成本和消防队员的运输成本、救援器材损耗等一次性支出构成。因此，由（1）、（4）可知总费用如公式（15）所示。

式中：C（x）为总费用函数为森林总损失费；c2（t2-t1）x为总的人工成本；c3（x）为总的一次性支出。

其中，

由公式（15）和公式（16）可知，该函数C（x）最高项是二次项，因此有极小值。因此可以根据实际条件，带入相关参数值，通过该模型求得总费用的最小值以及派出消防队员的最优人数。

6 结论

该文所建的模型在原模型的基础上不仅讨论了有风情况下的救火问题，还考虑了自然熄灭因素、消防队员体力因素对灭火过程的影响，最后以燃烧面积与自然熄灭面积与灭火面积之和相等为依据列式求解，得到派出消防队员的最优人数，使模型更具有理论性，考虑地更综合全面，结果更贴合实际。在实际应用中可带入相关参数，通过该模型进行大致拟合得出近似结果，以降低灭火的成本。

由于现实中火灾情况更复杂，该模型与实际情况仍有一定差距，可在此基础上作出更合理的假设，进一步求解模型得出结果。