牛顿－拉夫逊潮流计算中检测雅可比矩阵奇异性和网络孤岛的新方法

张勇明 王 涛 周 敏

（重庆市电力公司綦南供电局，重庆401420）

1.问题的提出

电力系统静态安全分析、可靠性评估，都要进行潮流计算，如果采用牛顿－拉夫逊方法，经常会遇到雅可比矩阵奇异的现象。其实，在常规牛顿－拉夫逊计算潮流计算时，有时，也会遇到这种情况，由于这种现象对所研究的问题结果没有产生特别的影响，因此，人们往往不太注意，一笔代过。其实，在某些情况下，这种现象对所研究的问题有意想不到的影响，对此，很有必要进行分析。我们知道，引起雅可比矩阵出现奇异的原因很多，网络孤岛（无平衡节点的网络）是其中的一个原因。那么，怎样检测雅可比矩阵奇异性、怎样识别网络孤岛，是本文所要解决问题。

2.目前研究的现状

雅可比矩阵奇异现象，在牛顿－拉夫逊计算潮流中经常会遇到，这是由多种原因造成的。网络孤岛是雅可比矩阵出现奇异性的一个重要原因。许多文献由此提出了许多识别网络孤岛拓朴论基础上的方法。例如：基于Boolean乘法关联矩阵的判别方法、一种简单的树类型寻找的方法、深度优先搜索方法等。

拓朴论基础上搜索网络孤岛至少有以下三个缺陷。第一，网络孤岛并不是雅可比矩阵出现奇异的唯一原因；第二，即便是一个分裂的网络，只要孤岛中存在平衡母线，潮流问题也是可以解决的；第三，拓朴论上的方法，不论网络是否连通，在潮流计算前都被执行，比较费时。

【2】中方法，克服了上述缺陷只需对分解后的雅可比矩阵进行判断，如果奇异，仅需对分解后的雅可比矩阵进行回代运算，计算列相关系数，判断网络孤岛。但在该文中，用NM方法比用FD方法速度慢得多。

3.基本原理

A是n×n阶矩阵，无论A是否奇异，都可经过如下规格化、消去过程，分解成LDU的形式：

由式(1a)、(1b)可明显看出：

当aii＝0时，规格化、消去过程不能进行下去。对此，作如下处理：

（i）如果 aik＝0(k＞i)，就绕过此行继续进行分解过程。

（ii）如果aik(k＞i)不全是零，就推迟此行的规格化、消去过程。

A矩阵经过(1a)、(1b)式的运算后，可表示为：A=LDU=LU*=L*U

其中：L是n×n阶下三角矩阵，对角元素全为1；

U是n×n阶上三角矩阵，对角元素全为1；

D是n×n阶对角矩阵。

由线性代数知识，可引出如下定理：

定理一 矩阵奇异当且仅当矩阵分解后，(2a)或(2b)式中一个成立：

即：U*中有一零行或L*中有一零列，那么矩阵奇异。

由于U*中有一零行或L*中有一零列，则│U*│=0 或│L*│=0

所以，│A│=0，矩阵奇异。

充分性：矩阵A奇异，那么│A│=0

由 (3)式可得：│D│=0由于D是对角矩阵，因此，至少有一对角元素为0。

因为U*=DU，L*=LD

所以(2a)或(2b)式有一个成立，即U*中有一零行或L*中有一零列。

U*中行为零，这是行相关情况；L*中列为零，这是列相关情况。

A矩阵奇异，那么A矩阵行向量、列向量线性相关，即:

其中，ri和ci分别是A矩阵的行向量和列向量，δi和ηi是不全为零的系数。

另一个有用的结论在下面给出：

推论一 当行相关或列相关发生时，即(4a)或(4b)式成立时，对应最后一个不为零的δi和ηi是U*的零行或L*的零列。

证明:设rk和ck是最后一个δk≠0（ηk≠0）对应的行或列。显然，由前k-1行（列）向量确定的向量空间的维数不因增加第k行（列）而增加。因为行（列）空间的维数等于U*(或 L*)中非零行（列）的个数，这可推出U*(L*)中第k行（列）必是一个零行（列）。

4.网络孤岛的识别方法

4.1 原理

系统中若存在孤立节点，在形成导纳矩阵就可检测出，因为孤立节点在导纳矩阵中所在的行和列全是零。因此，在本文中，不考虑孤立节点的情况。由于平衡节点不参与雅可比矩阵的运算，因此，在H矩阵中，它所对应的行和列全为零，在判断奇异性和列相关时，要排除这种情况。

潮流方程是依靠流经线路及变压器产生电压、相角差建立的。由牛顿－拉夫逊潮流可知，如果一个网络由至少一个分离不含平衡节点的孤岛组成时，必有如下结论:

其中：Pi、Qi是 i母线的有功和无功，θj是 j母线的电压相角，s是组成孤岛的那一组母线。

这一结论不仅适用于经典牛拉法，也适用于P-Q分解法，对于P-Q分解法，该结论 只适用于实数雅可比矩阵。

潮流雅可比矩阵计算一个有用的结论下面给出：

引理 潮流计算中，如果雅可比矩阵的子矩阵H奇异，那么，雅可比矩阵奇异。

证明:雅可比矩阵可表示为如下分块形式：

设该潮流计算是n节点系统。

其中：ck1是H矩阵的列向量，ηk是相关系数。由潮流雅可比矩阵元素计算可知：

对同一节点，H元素和J元素的计算具有完全相似的表达式，因此，J矩阵的各个列向量也应满足(6)式，即：

其中：ck2是J矩阵的列向量，ηk是相关系数。

所以，雅可比矩阵奇异。

由3可知：H矩阵也可经规格化、消去过程分解成LDU的形式，但这里要说明的是，在分解过程中，当 aii=0，aik(k＞i)不全是零时，由于H矩阵对角元素所在的行或列对应一个节点，因此，推迟消去过程中，对角元素始终还是对角元素，基于这种情况，可按如下方法进行推迟消去过程；如果aik(k＞i)≠0，那么交换H矩阵的第k行和第i行、第k列和第i列，然后继续进行。

根据3的结论，网络分裂的发生产生列相关性问题，第k列为零列是与孤岛中最后一母线相联系的，因为母线k与母线k＋1，……，n不相联系。

监测孤岛网络的充分条件下面给出：

定理二 如果H矩阵的某一列如k列与它前面的列线性相关，那么(8)且ηi=0或-1（ηi不全为0），该网络不含有平衡节点或至少存在一个无平衡节点的孤岛。证明:H矩阵任一行元素的表达式为：

初次计算H矩阵各元素时：θij=0，(9a)、(9b)变为：

由于H矩阵前k列线性相关，有：

由 (10a)、(10b)可明显看出：ηi=0或-1（ηi不全为0），由式(8)和式(5)可知，该网络不含有平衡节点或者至少存在一个无平衡节点的孤岛。

下面给出一个用于识别母线是否属于同一孤岛的简单算法：

推论二 与定理二相同条件下，一个孤岛是由所有ηj=-1的j母线和k母线组成。由以上论述可知：定理一和推论一是由线性代数推出的一般结论，是孤岛检测的理论基础；定理二和引理适用于潮流计算孤岛检测的基本原理；推论二给出了孤岛检测的算法。

4.2 检测网络孤岛的算法

（1）分解H矩阵，进行奇异性判断。如果矩阵非奇异，直接进行潮流计算，否则，转入（2）。（2）判断列相关情况，由式（8）求出 ηi。（3）对列相关系数进行检测，判断网络孤岛。

如果列相关系数全为-1，系统没有解列，只是没有平衡节点；如果列相关系数全为0和-1，系统解列，相关系数为-1的属于同一孤岛；如果存在不是0和-1的相关系数，输出引起H矩阵奇异的列号。

结束语：本文在参考文献【2】的基础上,提出了一种通过H矩阵奇异性来探测网络孤岛的更为简单有效的方法。即：对分解后的H矩阵进行判断、计算列相关系数，进而判断网络孤岛。

参考文献

【1】西安交通大学等：电力系统计算，水利电力出版社，1978年；

【2】M.montagna,G.P.Granelli：Detection of Jacobian Singcdar and network Islanding in power flow compritations IEE Proc-gener.Jransin.Distrob vol.142.NO.6.November.1995；

【3】张伯明、陈寿孙：高等电力网络分析，清华大学出版社，1996年。