化二次型为标准形几种方法的比较及技巧

黄健

摘 要 化二次型为标准形的诸多方法中最突出的方法有：正交变换法，Lagrange配方法，初等变换法。每种方法各有特点各有技巧，学会分析，找出最佳方法。

关键词 二次型 标准形 Lagrange配方法 初等变换

中图分类号：O151.21                                      文献标识码：A    DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2019.12.013

The Comparison and Skill of Several Methods of Transforming Quadratic Form into Standard Form

HUANG Jian

（School of Mathematics and Information Sciences， Yantai University， Yantai， Shandong 264005）

Abstract The most prominent methods of transforming quadratic form into standard form are orthogonal transformation， Lagrange collocation and elementary transformation. Each method has its own characteristics and skills， learn to analyze and find out the best method.

Keywords quadratic form; standard form; Lagrange matching method; elementary transformation

二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，并且具有广泛的应用性。化二次型为标准形的方法方法很多，但是在授课的过程中阐明，主要的方法就有三种：正交变换法、Lagrange配方法、初等变换法，这三种方法各有特点，每一个二次型化标准型，三种方法都可以应用，但是由于其系数的不同，所以不同的二次型化标准型就要选取最适合的也是最简单的方法进行，具体应该用哪种方法，首先明确三种方法的做题过程，也就是要明确每种方法所用到的概念和结论，计算步骤。

二次型，通过变换X=CY化标准形。

方法一，正交变换法的关键术语X=CY是正交变换。也就是说C必须是一个正交矩阵，CTAC= ，此时需要A与对角阵 是合同的。而合同对角化不能直接进行，我们必须通过相似对角化的过程C-1AC= 来完成，所以CT必须等于C-1，而只有C为正交矩阵才能完成CTAC=C-1AC= 的结果。所以利用正交变换法化二次型为标准形的具体步骤为：（1）将二次型表示成矩阵表达形式f=XTAX，求出矩阵A;（2）求出A的所有特征值 1， 2… n;（3）求出对应于特征值的线性无关的特征向量 1， 2，… n;（4）将特征向量 1， 2，… n正交化，单位化，得 1， 2，… n，记C=（ 1， 2，… n）;（5）作正交变换X=CY，则得二次型的标准形。

正交变换法的优点是：步骤明确。由于A是对称矩阵，必定存在正交矩阵C，使其相似对角化，从而使得CTAC=C-1AC= =diag（ 1， 2，… n），同时也看到，标准形的系数就是A的特征值 i。这样在讨论二次型的其他性质和结论的时候，可以利用特征值的特点。而这个方法的缺点也是很明显的，步骤虽然明确但是较多，而求A的特征值、特征向量以及给同一空间下的特征向量正交化、单位化的过程都是比较复杂的，计算量比较大，并且得到的正交矩阵C的元素通常以分数、无理数居多。

方法二，最有特点也是最常用的方法就是Lagrange配方法了。配方對于学生并不陌生，我们初等数学教学非常扎实，这个方法就显得非常简单并且也容易被同学们接受。但是如果没有理清二次型的特点，盲目配方，不但会增加配方难度，有的根本就不能完成。所以在教学过程中，一定要帮助学生理顺二次型所存在项的特点，根据特点从不同的方向选择配方的对象。

从大的方向去分，二次型分含平方项和不含平方项两种：

首先分析讨论含有平方项的二次型利用Lagrange配方法化标准形的一般步骤：若二次型中含有的平方项，则把含有所有项集中，然后配方，再对其余的变量进行同样的过程直到所有的变量都配成平方为止，经过非退化线性替换就得到标准形。

例1 Lagrange配方法化f（1，2，3）=12+322+232+212-413二次型标准形。

分析配方思维过程：（1）此二次型含1的平方项，则把所有含1的项集中配方，而剩余的项中不再含有1，再把剩余项中集中配方2，余下的项中就只有32。但是此题还可以看出：（2）2也有平方项，也可以先集中2的所有项配方。

（2）与（1）相比较，法一先配方的是1，但是非平方项两项都含有1，所以在配方的过程中是三个变量的配方，这是同学学习的一个难点。而方法二看出，虽然配方中只有两个变量的配方，但是由于2的系数复杂，配方还是比较麻烦，如果不选择1而是选择2，还会因为系数的原因带来更多的麻烦。

（3）而此题3也有平方项，如果先配3的平方，又会怎样呢？与以上两种方法相比较，优势都在，没有多个元素的配方，系数也比较整齐。所以选取前后配方的顺序，也是我们做好题更快速的得到结果的关键。通过以上三种方法也发现，不同的配方法，所需要的非退化线性替换是不一样的，从而，标准形是不唯一的，但是正、负惯性指数是相同的。

在配方的过程中，有两点特别重要：（1）要做到的就是一个一个去配方，第一步非常关键。多个变量的配方是比较难掌握的。既要选取还有平方项的变量，又要根据含有此变量的其他项，根据完全平方的公式，得出第一个配方，同时还要把辅助配方的其他项找出来，相减。（2）由于二次型化标准形需要的变换X=CY是非退化线性变换，所以有几个变量一定就会配出几个平方，有的二次型如上同样的配方过程，得到的配方结果缺少平方项，这时候要注意的就是所用的线性变换。从表象看，配出几个平方就得几个平方项的标准形是没有错误的。但在写非退化线性变换的时候一定清楚，有平方项不存在的原因是它的系数为零，故i= i 这个线性表达式必须存在的，标准形中对应项的系数仍然是零。（3）如果所给的二次型中只含一个变量的平方项，这时不能像例1那样对配方变量有选择，只能选择含平方项的量进行配方。在给此量的项配方的过程中，由于其它变量与其都有乘积，所以这个过程中，其它变量只要跟它有乘积项，就一定会产生平方项，然后再做选择给哪个变量先配方。再跟例1相同的方法，找出非退化变换X=CY，写出标准形。

以上说明，要配方，必须有平方项。但是有的二次型是不含有平方项的，我们首先必须构造出平方项，而这个过程不是简单的加减，而是先做非退化线性替换i= i+j，j=i-j，…，= ，（k=1，2…n且k≠i，j）化二次型为含平方项的二次型，然后按例1中方法配方。

说明：由X组变量到Z组变量，得到了二次型的标准形，这个过程经过了两步非退化线性替换，X=C1Y，Y=C2Z，所以整体是所用的变换矩阵C=C1C2，所用到的非退化线性替换为X=CZ。

方法三，初等变换法的关键词是初等变换，非退化线性变换为X=CY，则就要有CTAC= ，C是可逆矩阵，一定等于有限个初等阵的乘积，所以A每进行一次列的初等变换就要进行同样的行的初等变换，直到把A变换成对角阵 。而此时对同阶单位矩阵E作与A同样的列变换而不作行变换，EC=C，这样就直接得到标准形的系数矩阵 以及非退化线性变换的系数矩阵C。

初等变换法要求的是初等变换知识必须掌握熟练，初等变换与初等阵之间的关系必须清晰，而初等变换又是我们代数学中非常常用而重要的工具，所以只要目标明确，初等变换知识熟练，这是一个化二次型为标准形非常合理且简单的方法，特别对于没有平方项的二次型，矩阵A的主对角线元素都为零，而 的主对角线元素不可能都是零，所以在这个变换的过程中，一定不能用交换的形式的初等变换，那样行列进行同样的交换，仍然是零，我们通常这个时候通常采用倍加形式的变换，先将A的主对角线的变出一个非零元素，然后再按照一般步骤将右上左下其他元素都變成零。

通过以上三种方法的论述会发现，正交变换法虽然步骤明确，但是计算繁琐，它的一个最主要的特点就是A的特征值就是其标准形的系数。而Lagrange配方法和初等变换法虽然没有上述特点，但是计算过程相对简单，只是需要根据所给二次型的系数的特点，灵活应用。同时又要明确的是，不同方法会找到不同的非退化线性变换，所得到的标准形就不同，所以标准形也是不唯一的。所以在教授的过程中，特别是在习题复习阶段，各类考试辅导中，教师必须引导学生学会分析，掌握技巧和规律，达到完美的学习效果。

参考文献

[1] 丘维声.高等代数（第一版）[M].北京：清华大学出版社，2010.

[2] 吴赣昌.线性代数（理工类）（第四版）[M].北京：中国人民大学出版社，2011.