方程组解的Global—Local算法

李东方　胡梦薇

摘 要 对于代数中所讲的求解方程组的方法，大家都很熟悉，但是在遇到比较复杂的方程形式时，求解的复杂程度就会随之增加。本文我们给出一种统计求法，称为全局-局部分析方法或者Global-Local算法。

关键词 方程组 试验设计 稳定性 信息分解比

中图分类号：O151.2 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2016.04.030

Abstract We are familiar with the algorithm of the equation set from the algebra. But the algorithm will become more complicated when the equation is more complicated. This paper gives a new algorithm using the designs of experiments， called GL Algorithm （Global-Local Algorithm）.

Key words equations； designs of experiments； stability； information-decomposition ratios

众所周知，方程组的求解是线性代数课程研究和讨论的一个重要问题。在物理、化学、生物、经济管理和预测、产品质量控制、工程等学科领域的许多问题，最终都转化成了方程组的求解问题。因此，对方程组的求解研究有重要的理论意义及应用价值。求解方程组的通常方法，大家都很熟悉，但是在遇到比较复杂的方程形式时，求解的复杂程度也会随之增加。本文我们给出一种统计求法，称为全局-局部分析方法或者GL算法。在这里我们除了关心解的精确度之外，还关心解的稳定性，这对许多实际问题都有着重要的价值。

1 GL算法介绍

全局-局部分析方法（Global-Local算法）是华东师范大学张应山教授在文獻中提出的，文献中有详细的理论介绍和算法步骤，在这里我们不再累赘，直接运用此法。

2 问题转化

考虑方程组的一般形式

求解关于自变量的稳定中心，使得 =1。在求解方程时无波动是最小的要求，用GL算法求解的中心点，可以使得在此点处函数 的波动最小，这对于许多实际问题有稳健性的意义。

我们选取适当的试验容差（ ，…， ），选取合适的正交表（…），利用上面已知的函数（2），用计算机获得数据并用GL算法对原方程组的解进行判断。

3 实例分析

下面我们进行数据分析：

（1）观察控制指标，由于都很小，说明在这个初始稳定中心处的扭曲度确实相对比较小，符合初始稳定中心的定义。由于，这说明偏离度相对过大，需要进行线性调优。

（2）观察线性调优信息分解比向量，由于，说明线性调优的因子是。

（3）观察线性调优中心点。由于∣∣>（6 ，6），并且不在所考虑的因子的取值范围[0，4]内，说明不能用线性调优，但调优因子的原试验中心可以减小偏离度。这说明，在线性调优方向和有目标信息分解比表调优方向一致的时候，要根据因子的有目标信息分解比表来减小偏离度。

（4）观察扭曲度信息分解比。由于，说明因子是扭曲度调优因子。这说明根据因子用有目标信息分解比表进行调优可减少扭曲度。

（5）观察有目标信息分解比表。由于，，说明有目标信息分解比表确定的因子的调优水平是2水平，的调优水平是0水平。

分析结论：应该用因子，进行有目标信息分解比表调优，将原试验中心 = 0调向 = + = 1， = 4调向 = = 3。我们应将试验中心（0，0，4）调整到（0，1，3）。

随后又经过计算分析发现，又要将试验中心（0，1，3）依次调整到（0，1，2），（1，1，2），（1，1，1），（2，1，1），（2，2，1），最终调整到（3，2，1），此时分析表与指标变为：

4 结论

在实际问题中，方程组（1）可能有无穷多解，可能有唯一解，亦可能无解。但是无论哪种情况，Global-Local算法都将给出一个解。在方程组（1）有无穷多解时，我们所求的解是解中最为稳定的那一个；在方程组（1）有唯一解时，我们所求的解就是这个唯一解；在方程组（1）无解时，我们所求的解是使方程条件最接近满足的那个解。这对生活中的许多实际问题有着非常重要的意义。

参考文献

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