函数思想在解题中的应用

黄炎哲

摘 要 在整个高中数学的学习中不难发现：函数思想始终贯穿于整个教学活动，并将高中数学的各个部分紧密联系在一起，促使高中数学整个知识框架形成系统性。在学习高中数学的过程中，掌握函数思想可以提高解题效率，从而在较短的时间内获得较好的学习效果。对高三阶段的学习而言，掌握函数思想并应用于解题中具有重要的意义。

关键词 函数思想 解题 应用

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2016.02.059

Abstract In the study throughout high school math is not difficult to find： the function always thought throughout the teaching and learning activities， and portions of the high school mathematics is closely linked to the entire high school mathematics knowledge to promote the formation of a systematic framework. In the process of studying high school mathematics， problem solving master function can improve the efficiency of thought， resulting in better learning results in a short period of time. For the third year phase of the study， the master function is significant ideological and applied to solving problems.

Key words function thinking； solving problems； application

在高中数学学习的过程中，函数思想主要体现在函数的概念、性质以及典型的常用函数方面，解题的时候可以根据其性质来求值。函数性质主要包括单调性、奇偶性、连续性、周期性等，函数的图像会随着自变量取值的变化而发生改变。从最近几年的高考试题中可以看到，以函数为中心编制的综合性题目具有明显的新颖性。因此，在高中数学复习的过程中，应加强对这方面的总结和提炼，基于函数概念，掌握函数的基本属性与性质。掌握了函数思想后，对于函数内容的解题，处理起来更具实用性。

1 函数思想在解题中的应用

1.1 以函数为载体，实现函数与方程、不等式之间的相互转化

在解题的时候我们不难发现：方程与不等式之间存在着内在的联系，常常需要定义域，也就是不等式组的解题，而函数单调性的求解过程即是对题目中不等式组的证明过程。①此外，方程、不等式内容需要在函数思想的指导下才能进行有效解题。例如：对于不等式<0就是求函数的正负区间。解题时，应该充分利用函数思想，将其作为解题突破点，并学会联系交叉方程、不等式等和函数知识，以提高解题效率。

例 1 假设二次函数 = + + （>0），方程（）的两根，需要同时满足0<<<1/。（1）如果函数图象是关于 = 对称，证明<1/2；（2）当（0，）时，证明<<。

证明：（1） = （）（），在（0，）时，由于<，有（）（）>0，又>0，所以，>0，即<，又 = = +[] = + （）=（）（）[1 + （）]，由于0<<<1/，所以，>0，1+（）=1+>0，所以，>0，<。

（2）依题意可知 = /（），其中，是方程 = 0的根，即，是+（） + = 0的根，所以+=（）/ = /2 = [（+）1]/2=（+1）/2，因为<1，所以，2 = /2。

1.2 以函数为载体，促进函数与角的转化

对于高三数学中函数内容的学习，其主要目的是让学生掌握函数值和角的变化之间的相互联系，角与三角函数存在相互依存的关系，针对这一点就可以展开研究。

例2 已知大于0，且不是1，要使方程（） = （）有解，则的取值范围是多少。

分析：将原方程中的等式转化为混合不等式是这道题的常规解法，同时根据不等式组有解这一条件，对值进行分类讨论，从而求得值的范围。这种方式解题方便，但容易漏掉对K值的展开讨论，使答案不完整。利用函数思想，则会使解题等轻松顺利。

解：原方程等价于2（）=（）等价于不等式组[（）2 = ，>0，等价于 = （/）。

因为∣∣>∣∣，令 = ，∈（ /2，0）∪（0， /2），则 = ∣∣。当 /2<<0时， = （1/）+（/）=（/2），等价于<1的时， = （1/）+（/） =（/2），等价于0<<1。这一解法就是利用函数转换思想，将转换为的函数，同时方程有解这一条件转化为求函数的值域问题，使值的范围一目了然。

1.3 以函数思想为载体，在数列中体现出函数思想

实际上，在解数列题目的时候，可以将数列作为定义域是N或者其某个子集，自变量的取值则对应相应的函数取值。可见，应用函数常用方法和技巧对解数列类的题目具有一定的指导作用。

例3 设等差数列{}的前几项和为，已知=12，>0，<0。

（1）求公差的取值范围。（2）指出，，中哪一个最大并说明理由。

面对这道题，可先分析题目的原理，继而解出题目。

解 ：（1）依题意可以求出24/7<<3

（2）因为，=122， =（122）+[（1）]/2=/2+（125/2）。因此，二次函数的对称轴方程式应当是=（125/2）/2/2=5/212/。因为，24/7<<3，6<5/21/2<6.5，又的图象为开口向下的抛物线当且仅当=6时值最大，即最大。

分析：首项公差是的等差数列，= +[（1）]/2，也就是=/2+（/2），可见是一个的二次函数。对于等差数列前项和的最大取值的求解，可以利用二次函数的性质为解题突破口。采用这种解题方法可以在对称轴为自然数的时候，取时为最大值。

1.4 利用函数思想，考察抽象函数问题

是一个相对来说较抽象的符号，而函数的抽象问题可以利用函数图像来具体化。将函数的不同性质与图形变化特点相融合，会隐去解析式这一函数要素，从而使得求解难度加大。在实际解题过程中，利用背景函数将函数解析式充分转化为图像，将抽象的问题具体化，从而达到快速解题的目的。

例4 假设是定义在R上的偶函数，其图像是关于直线 =1对称，对任意的，属于[0，1/2]，这时候都会有 （+）= （）？（）。（1）假设 （1）=2，求 （1/2）， （1/4）。（2）证明：是周期函数。

解：（1）由于 （+）= （）？（）， ，属于[0，1]

知 = （/2）？（/2）=[ （/2）]2不小于0，[0，1]

因为， （1）= （1/2+1/2）= （1/2）？（1/2）=[ （1/2）]2，又 （1）= 2，所以[ （1/2）]2=2，所以 （1/2）=21/2，因为 （1/2）= （1/4+1/4）= （1/4）？（1/4）=[ （1/4）]2，而 （1/2）=21/2，所以， （1/4）=21/4。

（2）依题意可以了解到， = 是关于直线 = 1对称的，因此，= 属于，由于属于偶函数，就可以了解到=，属于。因而，可以将直接带入到来替换，即：函数属于周期函数。

点评：根据教材中的指数函数可以了解到，要想求得函数的值域，赋值可以采取递推方法，事实上，这就是将抽象转化为具体的最好方法。在解题的时候要确定函数的周期问题，就需要根据函数的性质，将抽象问题利用函数式来转化为具体的内容，随后就可以根据周期函数的定义来判断推理，这也就是对函数性质的研究。

2 函数思想的具体理论研究

实际上，函数思想就是在数学题目解题的过程中所体现出来的一种思维策略。即：利用函数可以描绘自然界中不同事物之间的联系与内在关系。数学中的函数思想就是根据这一规律，将不同的问题转化为函数，通过函数模型的建立来轻松解决。就函数的思想理论来看，其体现出来的就是“联系与变化”的辩证唯物主义思想。解题时函数思想的体现首先是构造函数（即“规定思想”），随后就可以利用函数的性质（已知+未知+规定思想）来解题。其中，函数的单调性、周期性、奇偶性、最大值和最小值以及图像变换等都是利用函数思想解题时常用的性质。因此，高三学生应该熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、幂函数以及三角函数的不同性质和特点。利用函数思想解题时要注意发现题目中的隐含条件，提炼出函数解析式，并结合函数的性质来求解。只有对所给的问题分析、判断比较深入和全面时，才能产生由此及彼的联系，从而构造出函数原型。我们在解题的时候运用这种思想，就会发现不同题目所具有的共同性，即定量与变量之间的关系。在经过系统的分析总结和归纳后，就能使用相对简洁的公式来描述函数的性质，即：已知+未知+规定思想。②

3 结语

总之，函数思想是高中数学中重要的数学思想，有助于培养学生的创造性思维。平时在解题的时候需要善于挖掘函数的思想方法，认真地体会，从而提高自身的推理能力与论证能力。

注释

① 王志勇.代数“图化”教学法：一种值得重视的数学教学方法[J].当代教育理论与实践，2014.16（06）：658-659.

② 慕泽刚.用函数思想解证不等式问题[J].数学大世界（高中生数学辅导版），2012.14（11）：432.