二能级体系的量子相位、循回条件和绝热条件

秦江涛　徐秀玮

摘 要：令二能级系统在绝热近似条件下演化一个周期后，得到了其所满足的循回条件是 为整数之比，并计算了在该条件下系统中的3种量子相位。对比了二能级系统在绝热条件和非绝热条件下的几何相位结果，得到了二能级系统所满足的绝热近似条件是ω/Ω→0.

关键词：量子相位；几何相位；循回条件；绝热近似条件

中图分类号：O413.1 文献标识码：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2015.08.045

1984年，Berry提出“将量子系统作为周期性绝热演化过程中存在的几何相位”以来，引起了各界的广泛关注和研究，并且很快就有实验得到了相同的结果。在实验中，之所以能得到与理论值相同的结果，是因为张永德给出了相对应的条件。对于传统的绝热近似条件，有很多教材都有详尽的叙述，近年来，也有人提出，即使传统的条件被满足，有时也不能得到自洽的、好的近似结果，并且也提出了一些新的绝热近似条件。本文探讨了二能级系统在绝热近似条件和非绝热近似条件下所对应的循回条件和绝热条件。

二能级系统是最简单的量子系统，同时，它又是量子特征最强的体系，任何二能级系统都可以化成一个类似自旋1/2粒子在磁场中的哈密顿量。自旋1/2粒子在磁场中的哈密顿量为：

. （1）

式（1）中：μ为粒子磁矩；θ、φ=ωt为球坐标系中的方位角； 为磁场；B为系统磁场的大小。

系统的本征方程为：

. （2）

式（2）中：t为系统演化的时间；B为系统磁场的大小。

利用薛定谔方程并加入初始条件 ，可以得到

任意时刻严格解的表达式为：

. （3）

式（3）中： 为普朗克常数；t为系统演化时间；α、β为表示态 的二维自旋态矢量；e为自然对数的底数；i为虚数单位。

在式（3）中：

（4）

1 二能级系统的量子相位

1.1 在绝热近似条件下的量子相位

二能级系统在绝热近似条件下的几何相位（Berry相）为：

. （5）

式（5）中：g为几何相位的缩写；T为为演化周期； 为表示对时间t求偏导数；d为表示对时间t的微分。

二能级系统在绝热近似条件下的动力学相位为：

（6）

二能级系统在绝热近似条件下的总相位为：

（7）

式（7）中：z为表示系统总相位的缩写。

式（5）（6）（7）为采用二能级系统在绝热近似条件下计算得到的相位。其中，式（5）式为Berry相位。

1.2 在非绝热近似系统中的量子相位

二能级系统在非绝热近似条件下，对于Pancharatnam相位，其总相位是：

. （8）

二能级系统在非绝热近似条件下动力学相位为：

. （9）

几何相位为：

（10）

式（8）（9）（10）为二能级系统在非绝热近似下的量子相位。

1.3 循回条件和绝热条件

当二能级系统在非绝热近似条件下演变一个周期T=2π/ω后，此时：

.（11）

使系统满足循回条件 ，据此可以得到：

（12）

式（12）为循回条件所满足的条件，此时，普通的非绝热条件下的量子相位即为非绝热循环系统中的A-A相位，在此条件下所对应的初始状态即为循回初态。

根据A-A相位理论，非绝热几何相位的绝热近似极限给出了Berry相位。假设式（8）和式（7）中的计算结果相同，则可以得到绝热近似极限的条件为ω/Ω→0.

当满足绝热近似极限的条件时，计算非绝热近似系统中的量子相位为：

几何相位为：

（13）

总相位为：

（14）

动力学相位为：

（15）

这与绝热近似系统中的量子相位的结果相同。

上述结果说明，非绝热近似系统中的循回条件是ω/Ω=整数之比。此时，普遍的PM型相位即为A-A型相位。当满足绝热近似条件ω/Ω→0时，二能级系统在绝热近似条件下和非绝热近似条件下就有相同的量子相位，这时，Berry相位即为A-A型相位。

2 结论

二能级系统在非绝热近似条件下演变一个周期后，利用波函数的改变来计算、推导出非绝热循环系统中的循回条件为ω/Ω=整数之比。利用A-A相位的绝热近似极限可以给出Berry相位这一条件，比较、计算绝热近似系统和非绝热近似系统中的几何相位。从比较结果中可以看出，在二能级系统中非绝热近似的情况下，当满足ω/Ω→0时，绝热近似条件下的Berry相位就等于非绝热近似条件下的A-A相位。也就是说，二能级系统在非绝热近似条件下，本身变化的频率越小，就越能满足绝热近似条件。

参考文献

[1]Berry M V.Quantum phase factors accompanying adiabatic change[J].Proc Roy Soc，1984（A392）：45-57.

[2]杨志安.非线性系统的非对角Berry相[J].物理学报，2013，62（11）：110302.

[3]张永德.量子菜根谭-量子理论专题分析[M].第2版.北京：清华大学出版社，2013.

〔编辑：白洁〕