蒙特卡洛方法计算圆周率

圆周率（Pi）是圆的周长与直径的比值，一般用希臘字母π表示，是数学中最基本的常数之一。π也等于圆形之面积与半径平方之比，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。它是一个无理数，即无限不循环小数。在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。这里我想问大家几个问题：圆周率是谁发明的？从前的人们是怎样推导出圆周率的呢？今天我们在Python中用一种概率算法“蒙特卡洛方法”来计算圆周率吧。

蒙特卡洛是一座位于欧洲摩纳哥公国的赌城，这个地名也象征概率。蒙特卡洛方法是由大名鼎鼎的数学家冯·诺伊曼在上世纪40年代参与美国研究原子弹的“曼哈顿计划”时提出的。这个方法的原理是通过大量随机样本，去了解一个系统，进而得到所要计算的值。

蒙特卡洛方法在计算圆周率时设一个正方形内部相切一个圆，这时圆和正方形的面积之比是π/4。在这个正方形内部，随机产生n个点（这些点服从均匀分布），计算它们与中心点的距离是否大于圆的半径，以此判断是否落在圆的内部。统计圆内的点数，与n的比值乘以4，就是π的值。理论上，n越大，计算的π值越精确。

首先引入random库和time库，调用random和perf_counter，再编写一个计时函数start用来计算得出圆周率所需要的时间，然后通过循环编写模拟撒点代码，让计算机每次随机生成两个0到1之间的数（设圆的半径为1），看以这两个实数为横纵坐标的点是否在单位圆内，因此我们实际只是计算了1/4圆，但不影响结果。通过生成一系列随机点，统计单位圆内的点数与总点数，当随机点获取越多时，其结果越接近于圆周率。计算出结果后将圆周率和计算的时间输出结果。

通过比较点到圆心的距离判断点是否在圆内，利用计算机的运算速度，可以很快统计出多次撒点的结果，即使我们计算1000万次，也只需要8.7秒（具体计算时间与计算机运行速度相关）。根据运算结果来看即使有这么大的数据量使用概率算法求出的π精度依然不够高。