古埃及人丰富的数学知识

文 图/令狐若明

莫斯科纸草

古 埃及人的数学成就十分引人注目。从保留下来的纸草文献中，我们可以了解到古埃及人的数学知识主要包括算术、代数和几何三个方面。

重要的数学纸草文献

“10 个人分10 份大麦，怎样才能使每个人都比他旁边的人多1/8？”

这是古埃及数学中的一道有趣的代数题。古埃及的数学文献中有许多这样的数学问题及解答，流传至今。从保留下来的数学文献中，我们知道古埃及人积累了相当丰富的数学知识。每年尼罗河泛滥后重新丈量与分配土地、修凿运河、计算收成和劳工与军队的给养以及进行复杂的天文记录等方面的需要，促进了数学的发展。

现存的古埃及数学文献并不太多，总共有50 篇左右，主要来自中王国时期的两部纸草文献：《莫斯科纸草》（Moscow Papyrus）和《莱茵德纸草》（Rhind Papyrus）。另外，还有一些较晚期的零散文献。

《莫斯科纸草》成书于公元前1700 年前后，这部纸草卷1893 年为俄国学者郭列尼舍夫所获，并曾做过认真研究，1912 年归莫斯科博物馆所有，故称《莫斯科纸草》。这部纸草长544 厘米，宽8 厘米，内容主要是数学问题和解答，共收有25 题。其中一道算术题，是计算正方形的边长和截头角锥体的体积（即截头金字塔体积），这样的算题在其他古代数学文献中是没有的。

《莱茵德纸草》也成书于公元前1700年左右，为希克索斯人（Hyksos）统治时代的纸草文献，1858 年被英国收藏家亨利·莱茵德发现，故名《莱茵德纸草》，现存于大英博物馆。《莱茵德纸草》又叫《阿赫美斯纸草》（Ahmes Papyrus），因这部纸草的作者名叫阿赫美斯。《莱茵德纸草》与《莫斯科纸草》相差无几，是一部长544 厘米的长条纸草卷，作者阿赫美斯是古埃及政府的一个书吏。这部纸草收有85 个数学问题和解答，内容涉及财政支付等问题，并带有标题。标题中，阿赫美斯写道：“获知一切奥秘的指南。”《莱茵德纸草》的算题是从分数开始的，并在全部例题中都采用了分数，因此，它可能是一部关于分数的论著。

莱茵德纸草

希克索斯人

保存下来的其他古代埃及数学文献，所阐述的计算法则与《莫斯科纸草》和《莱茵德纸草》的记载大致相同，但他们的学术价值远不及上述两种文献。

希克索斯人 古埃及进入第二中间期（第13—17 王朝，约公元前1786—前1567 年）以后，统一王国分裂，来自迦南的希克索斯人以阿瓦利斯（Avaris）为中心建立了自己的王朝，这是埃及历史上第一个外族政权。希克索斯人在埃及的统治是自身在政治、经济和文化等各方面埃及化的过程。从某种角度讲，希克索斯人的统治是对埃及文化的继承和发展。

有趣的算数

从《莫斯科纸草》和《莱茵德纸草》中可知古埃及人已采用十进位计数法，他们有一套十进位法的象形符号。数目的写法，从1 至10，以及100、1000、10000、100000、1000000均有不同的象形符号，惟独没有表示0 的符号。1 是用一竖表示，许多竖则表示个位数；一段绳子表示10；一卷绳子表示100；一朵莲花表示1000；一个食指表示10000；一只蝌蚪表示100000，因为蝌蚪能大量繁殖，取其众多之意；高举双臂的神表示1000000。与众不同的长度单位是埃及数学形式的显著特色。这些单位是手指、手掌、脚掌和手肘，古埃及数学家在这些单位之间规定了一定的相互关系。1 至1000000 之间的数，是根据排在一起的上述基本数学符号相加的原则组成。

这种书写数字的方法十分繁琐，表达一个较大的数目就必须把相应的数字符号多次重复加在一起。例如表示375，需要将一卷绳子的象形符号（百位数）重复写3 次，一段绳子的符号（十位数）重复写7 次，一竖的符号（个位数）重复写5 次。又如，142357 写作：

在算术的四则运算中，古埃及人实际上只是通过加法来完成的，减法是倒数，乘法则是用加叠法步骤来进行运算的。在做乘法时，只是把乘数和被乘数一次次地相加，直到约数为止。以13×23 为例，其运算式如下：

把左行的乘数从1 开始加位下去，直到把乘数加到13 为止（把前面标以“/”斜记号的数字1、4、8 加在一起，即1+4+8=13），然后把右行相对应的被乘数加在一起（23+46 +184），得到的结果是299，即13×23=299。

除法运算是乘法的逆运算，以77÷7 为例，其运算式如下：

十进位的象形文字符号

古埃及十进制计数法

将右行的除数7 加倍，在能把除数加到等于被除数77 时为止（7+14+56），然后在左行相对应的数前标为“/”记号，并把它们加在一起（1+2+8），得到的结果是11，即为商，所以77÷7=11。这样看来，除法实际上也是利用加法来完成的，77 除以7 就是找出几个7 相加等于77。由此可知，古埃及人使用的是简单的算术，而非比较高深的数学，并且他们使用的算术只限于加法和减法，乘法和除法实际上是利用加减来完成的。对古埃及人来说，四则运算都可以简化为计数形式，这种运算方法虽然比较缓慢，写起来很不方便，但无须记忆，运算起来还是很简单的。

古埃及人很早就有了计算分数的方法，但比较复杂。在除法运算中，如果被除数除不尽，就得使用分数，分数的运算也是利用加叠法进行的。古埃及人的分数，除2/3 外，再也没有分数的分子大于1，即其他所有的分数都是以1为分子，以整数为分母，即“单位分数”（后人称之为“埃及分数”）。在进行分数运算时，把所有的分数都拆成“单位分数”（即分子为1 的分数），再取和求出。表示分数的符号是在解决有关食物和其他物品的分配时产生的。埃及的单位分数有1/2、1/4、1/8、1/16、1/32、1/64；每个分数都有自己的名称，他们的分数符号来源于荷鲁斯（Horus）与塞特（Seth）的神话传说。荷鲁斯是远古时代埃及贤明国王奥西里斯（Osiris）的儿子，奥西里斯在位时教民耕种，深受埃及百姓拥戴。但却被他阴险残暴的兄弟塞特设毒计杀害了，并遭碎尸。奥西里斯的妻子伊西丝（Isis）历经千辛万苦，收拢丈夫的碎尸并在其侧感应怀孕，生子荷鲁斯。荷鲁斯长大成人后为父报仇，打败塞特。最后，经孟菲斯城的普塔（Ptah）神召集九神会裁决，使奥西里斯复活，成为阴间国王，主持审判死者灵魂；荷鲁斯则被加冕为上下埃及之王。传说荷鲁斯的形象为鹰头人身，他的左眼是月亮，右眼是太阳。荷鲁斯与塞特之间曾发生过一场激烈而残酷的搏斗，在混战中，荷鲁斯被塞特挖掉了左眼，撕成了许多碎片，因此月亮有盈亏。

上述分数的名称就用荷鲁斯眼睛的各个部分表示的，象征完满或完整，如眉毛表示1/8，眼珠表示1/4，左眼的一部分各自代表1/2 和1/16。有趣的是，这些碎片加起来只有63/64，被撕得粉碎的那1/64 部分是由埃及智慧之神托特施展魔法后填补的。

用荷鲁斯眼睛表示的埃及分数

古埃及人只用单位分数，也就是只用1 作为分子的分数。埃及的单位分数，分子1 是用嘴的象形符号代表的，通常写在整数的上面，分子的下面是用数学符号书写的整数分母，表示它是个分数。在象形文字写法中，少数几个分数用特殊记号表示，例如o（眼珠）表示1/4。除了少数几个特殊分数外，所有分数都拆成一些单位分数。他们需要表示分数时，总是要把它们化为单位分数之和，表达成分子为1 的分数之和。例如，古埃及人把2/5 写成1/3+1/15；我们今用3/4 和7/8 表达的分数，古埃及人则分别写成1/2+1/4 和1/2+1/4+1/8。

古代埃及的纸草书上记录着许多这样的分数运算例子。专门从事计算工作的古埃及书吏在运算之末加上一句套语：“正是如此”，就相当于我们现在的“证毕”。由于我们不熟悉古埃及人表达分数的方法，所以感到很麻烦，但对古埃及的书吏来说并不困难，因为他们已经熟悉并有实效地掌握了这种运算方法。

从整体上来说，古代埃及的这种单位分数的表示形式是复杂的，运算起来繁琐而冗长，因此限制了古代埃及数学的进一步发展。

实用的代数和几何

许多保存下来的数学演算习题的纸草证明，古代埃及已经有代数的萌芽，如《莱茵德纸草》卷中的一道题：“一个数（古埃及人称未知数为“堆”），它的2/3，它的1/2，它的1/7，它的全部，加起来共为33，求这个数。”这道题相当于我们现在的一个一元一次方程，不过古埃及人用简单的算术就可以解出。

上述例题中的未知数，古埃及人称之为“堆”，就是“一堆”的意思，显然跟计算粮食有关。从这一点可以看出，他们习惯于进行具体思维，如他们表示“未知数量的谷物”，就用“一堆谷物”来代表。这说明古埃及在代数方面已掌握了某些基本的知识，同时他们知道如何计算土地的面积。从保存下来的其他数学纸草文献中，我们还可以了解到，古埃及人已会解一元二次方程。不过，他们是用纯粹算术方法求解的，只用文字说出题解的步骤，说明其理由。

几何可以说是古代埃及人发明的。由于他们必须计算尼罗河每年因泛滥而流失或增加的土地面积，预算谷仓存粮或建筑项目所需砖块数目，因此他们在实用的需要中发明了几何学。“几何学”（geometry）一词的原意就是“土地测量”。中王国时期，埃及人在几何学上的成就十分突出，特别是计算圆面积的方法，即直径减去它的1/9 然后使得数自乘便得出圆面积，这就等于取π 为3.1605，粗略地接近了后代人所算出的比较精确的圆周率（现通常采用的圆周率近似值是3.1416）。古埃及人基本的面积单位是斯塔特（1 斯塔特=2735 平方米）。在计算体积方面，古埃及人在长期的实践中掌握了圆柱体积等于底面积乘以高的计算方法；在建造金字塔的过程中，他们还学会了计算角锥体或截头角锥体体积的计算方法。《莫斯科纸草》中的例题14 叙述了一个下底边长为4，上底边长为2，高为6 的正方形角锥体的体积计算方法，清楚地表明古埃及人已懂得我们今天几何学里的求积公式所表达的方法，不过他们的法则不是用公式表示，而是用文字来叙述计算方法和过程，其解题步骤是这样表述的：“若有人告诉你说，有截棱锥，高为6，底为4，顶为2，你就要取这4 的平方，得结果为16；你要把它加倍，得结果8；你要取2 的平方，得4；你要把16、8和4 加起来，得28；你要取6 的1/3，得2；你要取28 的两倍，得56。你看，它等于56，你可以知道它是对的。”这一解题步骤基本上同我们在套公式进行计算时的做法是一样的。古埃及人甚至还可能懂得计算半球的体积。

古埃及人的几何知识主要带有实用性质，并被广泛运用于土地测量。例如，尼罗河每年泛滥往往淹没原有的耕地面积，田地的界限在泛滥时受到破坏，而王室对全国各地所征收的税赋又以土地面积为依据，这意味着每年必须对全国土地进行重新测量，否则无以确定准确的税收量。土地测量人员就用几何方法丈量土地，重新划定地界。还有战乱期间，地方各州的疆界混乱，引起纠纷。据有关铭文记载，第12 王朝（约公元前1991—前1786 年）开国君主阿美涅姆赫特一世（Amenemhat，约公元前1991—前1962 年）即位后曾巡行全国，分疆划土，整理赋税，派人员担任奥里克斯州的州长，重新划定此州与相邻两州的疆界，使其不再相互争夺。公元前5 世纪，希腊历史家希罗多德（Herodotos，约公元前484 —前425 年）曾周游埃及全境，在他所著的《历史》第2 卷中有关于古代埃及几何学产生的描述：“塞索斯特里斯在全体埃及居民中把埃及的土地作了一次划分。他把同样大小的正方形的土地分配给所有的人，而要土地持有者每年向他交纳租金，作为他主要的收入。如果河水冲跑了一个人分得的土地的任何一部分，这个人就可以到国王那里去把发生的事情报告给他；于是国王便派人前来调查并测量损失地段的面积；这样今后他的租金就要按着减少后的土地的面积来征收了。我想，正是有了这样的做法，埃及才第一次有了量地法，而希腊人又从那里学到了它。”希罗多德的记述在许多保存下来的古埃及墓室壁画上得到了印证，这些壁画中，其中就有测量人员检查土地界石是否有移动和更改，并且用带结的特别丈量小绳进行土地测量的场面。新王国时期，由于积累了丰富的几何学知识，测量技术有了新的发展。这一时期底比斯贵族坟墓的壁画，就有许多表现国家官员对田地进行测量登记的场面，这种测量不仅重新清查农民耕种的田亩面积，而且也是国家决定征收赋税和地租的依据。

阿美涅姆赫特一世

希罗多德

《历史》 古希腊历史学家希罗多德著，共九卷，以记载希波战争（古希腊诸城邦反抗波斯侵略的战争，公元前500 年米利都人掀起的反波斯起义，成为战争的起点）为主，止于公元前479 年；也以大量篇幅叙述希腊、波斯、埃及与西亚各国的地理、历史和风俗习惯。内容较丰富，描写亦生动，为研究世界古代史的主要材料；但亦杂有许多神话传说和道听途说的故事，不可尽信。

胡夫大金字塔

胡夫大金字塔，位于开罗西南约10 公里的吉萨高地，又称吉萨大金字塔。这座金字塔是埃及历史上古王国时期（第3—6 王朝，约公元前2686—前2181 年）第四王朝（约公元前2613—前2498 年）的法老胡夫的金字塔，也是世界上最大、最高的埃及金字塔。塔高146.59 米，因年久风化，顶端剥落了大约10 米左右，现高136.5 米。胡夫大金字塔约由230 万块石块砌成，平均每块重2.5 吨。被誉为“世界古代七大奇迹”之一 。

古埃及人的数学，产生于生活和生产实践，又广泛应用于生活和生产实践。他们计算赋税、丈量土地、测量距离、计算时间，并没有使用高深的抽象数学理论，而只是运用简单的算术，以具体图形提供实际的解决办法。尽管计算方法十分原始，数字写法十分繁琐，他们照样能计算出三角形、长方形、梯形和圆的面积，以及各种几何图形的体积。在建造金字塔和神庙这类建筑活动中，古埃及人显然必须依靠相当精确的数学计算，否则是不会成功的。尤其是建造金字塔所需精确的巨石数目，最能证明古埃及人的数学成就。屹立在尼罗河畔的胡夫大金字塔，不仅外观宏大，而且角度、面积、土石压力都经过了事先周密的计算。按现代技术测定，其东南角与西北角的高度误差仅1.27 厘米，如此庞大的建筑工程计算得这么准确，在现代建筑史上也算是高水平的。

作为一个讲求实际的民族，古埃及人之所以对数学发生兴趣，仅仅是因为数学有实际用途，他们只求能够解决实际的问题，而并非基于任何抽象原理，他们对数学并没有理论上的兴趣。可以说，实用性是古埃及人数学知识的基本特点。他们所使用的方法极其原始，因此他们的成就更显得辉煌。这些成就是他们长期经验和知识的积累，虽然缺乏概括的演绎推理，古埃及人没有形成一套严密的数学理论体系，但是他们在应用数学方面成就显著，贡献甚大。古埃及人在长期的生产实践中积累了丰富的数学知识，并以其高度发展的数学成就，对人类作出了重要贡献。