金属材料塑性变形的理论研究

崔艺文，田野

中国直升机设计研究所

本文对金属材料的塑性变形行为进行探讨，简化了塑性变形理论。基于经典塑性理论，建立了率无关塑性本构方程，通过MATLAB数值实现，验证了有限元分析的准确性。本文建立的有限元数值算法较其他有限元算法更为精确、高效和简捷，为金属材料塑性变形研究提供一定的理论基础。

无人机结构件中有许多金属材料支架，在使用过程中，如果金属支架发生变形和断裂等情况，将给发动机和无人机造成灾难性后果。金属支架在受力时，若发生断裂，将经历弹性变形、塑性变形和断裂三个阶段。弹性变形阶段，卸除施力后，变形完全消失，这种变形称为弹性变形。金属材料的弹性变形并不影响发动机支架的安全性。但在应力大于弹性极限后，如再卸除压力，变形的一部分随之消失，即弹性变形，但还遗留一部分不能消失的变形，即为塑性变形或残余变形。金属在外加载荷作用下,当应力达到材料断裂强度时,发生断裂。本文对金属材料的塑性变形展开研究。

基于泰勒位错模型，有学者发展了附有边界条件和高阶应力的高阶应变梯度塑性理论即MSG理论，建立了不含有高阶应力的低阶应变梯度塑性理论即CMSG理论。为得到低阶应变梯度塑性理论，建立了一种新的塑性本构方程即率无关本构方程。率无关本构方程将等效参考应变率转换成等效应变率，降低了计算及应用难度，去除了高阶应力，为建立不含高阶应力的塑性理论创造了条件。

在有限元软件平台的二次开发中，有一些较为经典的研究。例如，有些学者采用ANSYS提供的二次开发技术，成功应用到斜拉桥恒载索力确定中有关桥梁问题的求解，该研究为ANSYS在桥梁工程中的普及奠定了良好基础。针对ABAQUS大型程序，一些学者做了滞回规则改进、相关程序开发以及试验结果对比，并通过带有大跨度输电实际工程计算，进一步检验了相关程序的可行性、计算精度与现实可靠性。ABAQUS程序被公认为一种功能强大、分析结果可靠的有限元分析软件。它包含多元化的单元库、材料库，分析过程和范围涵盖广泛，不仅可以模拟简单的线性问题，更擅长模拟繁复的非线性问题，具有其他商业软件无法比拟的优势，且在模拟复杂系统方面尤其可靠。在分析过程中，ABAQUS可自行调整参数值以得到精度较高的解，省去了用户自己定义的繁琐。

ABAQUS的二次开发语言为Fortran或Python，这两种语言各有优劣，Fortran一般与不同功能子程序相互作用和结合，Python一般在开发ABAQUS的前处理模块中作用。

UMAT接口主要实现调用ABAQUS材料库中所不包含的本构关系模型，进而用于分析模型的力学性能或行为。由于操作简洁，ABAQUS的UMAT接口功能受到众多领域的工作者青睐。例如，有学者利用UMAT子程序建立了一种新的考虑应力三轴比依赖特性的塑性损伤本构模型。一些学者实现并开发出纤维数据的可视化生成程序UMAT，可生成钢筋、型钢、以及钢管混凝土常用截面形式纤维数据。ABAQUS的UMAT子程序应用已普及，这与其性能有密不可分的联系，UMAT子程序具有构建本构模型的功能，极大扩展了ABAQUS的使用领域。

本文主要分析率无关塑性本构关系。利用ABAQUS软件及其用户子程序，得出基于该本构关系的圆柱体力学行为，分析对比理论解和数值解，得出结论。证实了等效模量法建立本构关系，较为精确、快捷、高效。为传统低阶应变梯度理论的有限元实现，提供一种更为简便，准确的有限元算法，并为金属材料塑性变形研究提供一定的理论基础。

塑性变形阶段的理论推导

单轴拉伸下不含高阶应力的率无关本构方程推导

其中，μ是剪切模量，K是体积模量。

得到在率无关本构关系下，单轴压缩下圆柱体的有限元分析解，如图3所示。

由图3分析可知，该塑性模型的曲率随应变的增大而逐渐变小，曲率走向和理论曲线大致相似。

将改变率相关指数m的值取为5、10、20进行对比分析，得到图4。

图4 ABAQUS模拟m=5、10、20时的单轴拉伸应力应变关系。

由图4可以看出，随着m的增大，曲线出现拐点后，也是逐渐增高，但幅度特别小，可近似认为建立的本构关系与“率”的相关性很小，近似没有。验证了本文在ABAQUS子程序中建立的应变梯度塑性率无关本构关系的正确性。

本文讨论了率无关理论以及单轴拉伸情况下率无关理论的应力应变关系，以及利用等效模量法通过UMAT子程序建立率无关理论本构关系并应用于有限元分析问题。为比较理论解与模拟解的区别，将MATLAB中得到的单轴拉伸下的应力应变关系与有限元模拟三维压缩下的应力应变关系进行对比，得到图5。

从图5可以看出，其走势相同，理论值略高于模拟值，在弹性阶段两组数据重合。验证了ABAQUS模拟的正确性、本构关系处理的准确性、用户子程序编写的可靠性。

图5 ABAQUS与MATLAB对比图。

结论

本文简化了经典塑性理论本构关系，针对单轴拉压情况，建立了一种新的不含高阶应力的本构方程即率无关方程，得出如下结论。

第一，在理论情况及有限元模拟下，对比率相关指数不同时的应力-应变关系，对比分析证实了其率无关性；

第二，通过等效模量的方法建立率无关本构关系的UMAT子程序；对比分析不同率相关指数下微圆柱体的力学行为，验证了子程序及有限元分析的准确性。

第三，对比其理论解和数值解，发现等效模量法较其他模拟方法更为精确、高效、简便。为传统低阶应变梯度理论的有限元实现，提供了一种更为简捷，准确的有限元算法。■