用数学建模解决两辆铁路平板车的装货问题

曹明纬 吴 迪 周文韬

（河海大学 土木与交通学院，江苏 南京 210000）

1 问题重述

有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。每辆平板车有10.2m 长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40 吨。由于当地货运的限制，对C5，C6，C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间不能超过302.7cm。试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。

2 问题分析

1）考虑到包装箱的总重量为89 吨，超过了两辆平板车的负荷。故无法将所有的包装箱装入平板车。

2）考虑到一些不同种类的集装箱的厚度相同（如C1和C5，C2和C6），最优方案可能不止一种。

3）该题目属于整数线性规划问题。

3 模型假设

假设1：每辆平板车只叠一层包装箱。

假设2：包装箱之间没有空隙。

4 模型建立

4.1 建立整数线性规划模型

根据题目要求建立以下整数线性规划模型。其中：Z 为平板车总共浪费的长度；ti为单个集装箱Ci的厚度(i=1，···，7)；wi为单个集装箱Ci的重量；ni为集装箱Ci 的数量；kij为在平板车j (j=1，2)上放置的集装箱Ci的数量。

使用Lingo11.0 对其进行求解，Z 为0.6cm，kij如表1 所示。

表1

4.2 使用MATLAB 软件进行进一步的优化

4.2.1 使用MATLAB 求出所有解

由于集装箱C1和C5，C2和C6的厚度相同，得出最优解Z=0.6cm的方案可能不止一种。通过Lingo11.0 得出所有方案的每种集装箱的总数皆依次为8，7，9，6，3，3，0。因此利用上述结论，使用MATLAB 进行编程计算，得出15 组解如表2 所示。

表2

4.2.2 进一步优化

考虑到实际情况中，两辆平板车的载重差应尽可能地接近，以提高安全系数，利用MATLAB 分别计算以上15 种方案的载重差，得出图1。

图1

通过观察，发现15号、16号和26号的差值最小，为0。

综合以上考虑，最终我们得出的最优解为：

表3

［1］卓金武.MATLAB 在数学建模中的应用[M].北京:北京航空航天大学出版社，2011.

［2］赵静，但琦.数学建模与数学实验[M].北京:高等教育出版社，2008.

［3］夏乐天.概率论与数理统计[M].南京:河海大学出版社，2011.