解析有限开区间上单变量函数的一致连续

蒋 品 彭镇静 贾桂丽

（1.虞城县高级中学，河南 虞城 476300；2.商丘学院，河南 商丘 476000）

讨论有限开区间上单变量函数的一致连续，对数学分析的研究和学习，有很重要的意义。而单变量函数的一致连续对多变量函数的一直连续有重要的理论指导意义[1]。本文在有限闭区间上探讨。

定义：设 f是 X 上的单变量函数.若∀ε＞0,∃δ＞0,使得当 x1,x2∈X,f(x1)-f(x2)＜ε时总成立,则称f是X上的一致连续函数[2]。显然,若f是X上的一致连续函数,则f一定是X上的连续函数(反之通常不正确)。

作一个管子如图1，存在这样的一个管子,可以在一致连续函数曲线上平行移动。

下面是一致连续的三个重要的命题，分别是不一致连续的定义,一致连续的柯西定义和一致连续在开区间的一个重要命题.

命题1 (不一致连续的充要条件)X上的单变量函数f不一致连续⇔∀ε＞0和{xn},{yn}⊂X使得(xn-yn)=0,并且 f(xn)-f(yn)≥ε 任意n∈N+。

图1

必要性 假定∃ε＞0和 {xn},{yn}⊂X,使得(xn-yn)=0, 并且≥ε，∀n∈N+这 时,∀ε＞0,∃xN,yN∈X， xN-yN＜δ使 得≥ε.这说明f不是X上的一致连续函数.

命题2 若f是区间I上的一致连续函数,δ0＞0是常数,则必存在M＞0使得当x,y∈I,x-y ≤δ0时总成立 f(x)-f(y)≤M.

命题3 有限开区间(a,b)上的连续函数一致连续⇔存在有限单侧极限 f(a+0)和 f(b-0).

证明 充分性 若f是(a,b)上的一致连续函数,即∀ε＞0,∃δ＞0,使得当 x,y∈(a,b),x-y ＜2δ时成立 f(x)-f(y) ＜ε,则当 x,y∈(a,b),0＜x-a＜δ,0＜y-a＜δ时有 f(x)-f(y)＜ε.根据函数单侧极限的Cauchy收敛原理,便知存在有限右极限f(a+0).同理,存在有限左极限f(b-0).

［1］华东师范大学数学系.数学分析[M].3 版.高等教育出版社,2003.

［2］吕通庆.一致连续与一致收敛[M].人民教育出版社,1981.