关于《常微分方程》课程教学模式的探究

田春红

（南京航空航天大学金城学院，江苏 南京 210016）

常微分方程（Ordinary Differential Equations）,是本科数学专业的核心基础课程，是学习泛函、偏微、微分几何等课程的基础，是数学在工程技术中发挥作用的拳头之一。内容包括：微分方程建模、初等积分法、线性系统、常系数线性系统、若干振动问题、一般理论、定性理论初步。

1 教学模式的合理安排

微分方程是一门基础课，教材[1]中的内容大多是一些以理论分析和理论推导为主的纯数学知识，但是，如果就把微分方程看成一门只讲基础知识和方程解法的纯理论性课程，教学效果就比较差。微分方程都有一定的实际背景和实际应用，因此，我们要结合新的教学实际，努力改革教学模式，不断提高教学质量。这里提出“基础+提高+应用”三位一体的教学模式。

“基础”是指抓好基本理论和基本技能（解题技巧）的教学工作。理论教学必须有一定的高度和深度。

“提高”包括三个方面。一是习题课教学，通过习题课来消化理解并加深理论知识和基本技能，从而达到提升理论水平的效果。二是课外答疑。通过答疑辅导，来扫除学生学习中的障碍。三是抓好两头，促进中间。就不同层次进行分类指导，特别是要给学习成绩比较突出的同学留出学习空间，而给学习相对薄弱的同学及时补习，达到共同提高的目的。

“应用”是指尽可能在每一部分的引入中，以切实可行的实际问题为背景引导出所需要的微分方程，让学生亲身体会方程的来源。同时，结合数学建模，在教学过程中适当加入模型分析，利用教学软件，进行数值模拟。一方面可以提高学生的学习兴趣，避免枯燥地讲授理论和繁杂的数学计算；另一方面还可以通过应用加深对理论知识的理解。

2 教学内容的合理安排

课本中只有教学的基本内容，教师可根据学生的实际情况和教学大纲的要求，特别是按照课程教学模式的要求，对教学内容进行合理安排。以王高雄等主编《常微分方程》（高等教育出版社）为例。

首先，在教学内容方面，加强构造积分因子技巧的训练并将计算首次积分同计算Hamilton能量函数以及构造Lyapunov函数的需要联系在一起；加强常数变易法和微分不等式的内容并与进一步学习非线性微分方程的渐近性态联系在一起；加强Euler指数函数法和特征理论并与微分方程平衡点分类联系在一起;加强Picard逼近的思想并与微分方程数值解法以及动力系统中的迭代行为联系在一起。这四个联系象四条线索一样把整个常微分方程的课程内容串在一起，形成一个有机的整体；

其次，在吃透教材的基础上，对教材的基本内容进行适当处理。例如，对第三章一阶微分方程的解的存在定理中的部分定理（如解对初值的连续性和可微性定理）只介绍定性的条件与结论，不作证明，考虑课时的需要，在教学内容上，可以适当的减轻高阶方程，Riccati方程教学任务，减轻级数展开法及解析理论的习题量，在初等解法一章中，内容较浅显且研究方法相近的内容可以压缩，适当增加常微分方程新的可积类型，差分方程的部分内容和常微分方程的建模内容。

再次，要结合教学模式的设计，合理安排教学模块。一是理论模块。这些理论除了第三章一阶微分方程的存在定理、第四章线性方程的解的结构理论、第五章线性方程组的解的结构理论以及第六章解的稳定性理论外，有些理论是分散在各章的，应注意及时整理总结。二是解方程模块，这是理论模块的落脚点之一，其内容分散在各章中，类型多，内容杂，要及时归类，并加强训练。三是应用模块。除在每章或某一节的引入中通过实际问题建立模型外，要适当补充数学建模的内容，强化微分方程的数学建模作用，人们通过“数学建模”的问题解决来学习数学，应用数学和掌握数学。

最后，要向学生讲清微分方程与数学分析、高等代数、解析几何、偏微分方程和物理学的关系，例如可十分简洁向学生介绍微分方程的局部理论能平行地搬到微分几何中的微分流形上去。这既可以理清知识的脉络，将数学看成一个整体来学习，并在适当的地方向学生介绍当今微分方程的学术研究进展和应用前景，使学生能从宏观上把握微分方程的地位和作用。同时，在课堂教学的过程中，适当介绍对微分方程有重要贡献的人物及其他们是如何解决微分方程中的某一问题的[2]，如欧拉、柯西、伯努利、皮卡、李亚普诺夫等等。以此来进一步提高学生的综合素质和学习兴趣。

3 采用多样化教学手段与教学方式

对数学教学来说，我们赞成以“黑板+粉笔”为主的教学手段。因为数学需要一步步推演，而思维有一种“时滞”现象，这种推演的过程正好是学生思考理解的过程。因此，在教学中“黑板+粉笔”仍旧是无法替代的，这种教学方式灵活性强，可随时根据学生的情况进行调整，并能增加师生的交互性，其推导的过程能吸引学生的注意力，引导学生思考。由于微分方程与实际问题的联系比较密切，结合三位一体的教学模式，我们采用了如下做法。

3.1 将教案作成课件

凡问题的引入、背景分析、定理和定义的表述以及例题和习题都用多媒体教学。凡定理的证明和例题讲解用黑板。课件要求简洁直观、图文并茂、人机交互，这样既节省了课时，增大了信息量，又保证了教学质量。

3.2 采用师生互动式教学

每一章节学习完毕，要求学生完成一篇章节内容的总结报告，对于总结较好，想法新颖的学生应及时给以鼓励，这一过程，不仅加强了学生对新知识的掌握程度，同时也锻炼了他们的自学能力，特别是对于学习自觉性不是很高的学生有着很好的督促作用，提高了课堂教学的效率。

3.3 教学上注意抓好两头

首先是对学有余力的同学开设学术讨论班。开设了学生的学术研讨班，以老师指导为主，学生与老师互动，并开展大学科研立项，收效很好。其次是对后进生，采取个别辅导和集中补习的方式，让他们掌握这门课程的基本理论、基本技能和基本方法，及时赶上。这可作为教学方式的必要补充。

4 制定灵活的评价机制

评价机制是学习的向导，客观的评价机制对于调动学生的学习积极性，挖掘学习潜能具有很强的指导作用。期末考试采用闭卷笔试的形式，占总成绩的70%。在考核内容上突出三点：一是对基本概念的掌握程度，以30分填空题（共15个空）来体现。这一部分覆盖面很广，有一定的深刻，要求学生切实理解基本概念。二是分析问题与解决问题的综合能力，以20分至30分大题目来实现。一方面要考查学生数学的推演能力，另一方面要考查学生从实际出发，建立模型，求解问题并解释问题的能力。三是解方程的技巧。占40分至50分，主要考核学生求解方程的技巧和能力。平时成绩占总成绩的30%。这包括到课率（10%），上课纪律（5%），上课回答问题情况（5%），作业情况（10%）。多种考核方式的结合，可以激励学生更加积极地参与课堂练习。

常微分方程教学模式的改革，增强了教师与学生的互动交流，提高了教学效果，也突破固有的，单一的教学模式，把常微分方程的课堂教学内容延伸到课外，更好的适应学生的发展需要。

［1］王高雄,周立铭,等.常微分方程[M].3 版.北京：高等教育出版社，2006.

［2］韩祥临.数学史简明教程[M].杭州：浙江教育出版社，2003.