小波分析对于GPS 观测数据优化的理论及应用

张 健 朱沁美

（浙江建材测绘院，浙江 杭州310022）

1 多尺度分析

尺度是空间数据的重要特征，指数据表达的空间范围的相对大小和时间的相对长短，不同尺度所表达的信息密度有很大的差异。一般而言，尺度变大信息密度变小，但并不是等比例变化。 地球系统是由各种不同级别的子系统组成的复杂巨系统，各种规模的系统都有尺度概念，作为描述各种尺度中地理特征的空间数据自然也有尺度特征。多尺度分析又称多分辨率分析，是指随着尺度由大到小的变化， 对信号可由粗到精的观察。 GPS 动态监测数据是涉及多种因素相互作用的复杂系统，这些复杂系统最本质的特征是以多尺度性为核心。小波分析是一种多尺度的信号分析工具， 低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，而在高频部分则具有较低的频率分辨率和较高的时间分辨率。

空间数据的多尺度可以从两方面说明。

(1)空间多尺度

空间数据以其表达的空间范围大小，分为不同的层次，即不同的尺度。这种特征表现在数据的可综合上，亦即根据数据内容表达的规律性、相关性及其自身规则，有相同的数据源形成再现不同尺度规律的数据。

(2)时间多尺度

时间多尺度指数据表示的时间周期及数据形成周期有不同的长短。从一定意义上讲，时间尺度与空间尺度是一致的，即较大的空间尺度往往对应于较长的时间周期。

2 小波变换的概述及基本原理

2.1 小波变换概述

小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近10 年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。 与Fourier 变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。 通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析， 解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题。 小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。 数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier 分析、样调分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。

2.2 小波变换的基本原理

小波变换将时域的一维信号变换为时间2 尺度 (时间2 频率) 的二维空间，具有多分辨率的特点，而且在时域、频率都具有表征信号局部特征的能力，一些在原时间域上因混叠而不易观察的信号特征，能够在频率域的某个尺度上进行分离，并且得到显著地体现，达到获取有效信号的目的。 小波变换的思想是用一簇函数去表示或逼近一信号或函数，这一族函数称为小波函数系，由一基本小波函数(母小波) 通过平移和伸缩构成。 由函数 h 经伸缩和平移得一簇函数：hab（x）=a1/2/h［（x-b）/a］a，b∈R；a≠0 式中，a 为伸缩因子，b 为平移因子。 可根据 h 函数和参数 a、b 的选取来进行连续和离散小波变换。 则小波分析基底的定义为：

ψa，b（t）=|a|-1/2ψ（t-b/a）式中，a，b∈R；a≠0。

对于任意函数或信号 f（t）∈L2（R），L2（R）为平方可积的实数空间，其小波变换为该函数与小波函数的内积为：

相应的，实值函数f（t）的小波变换为：

在小波变换去噪中，变形信号表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声信号则主要集中在小波分解的高频层。因此，需要选择合理的阈值去掉噪声信号， 利用保留下来的小波分解系数进行重构，就能得到有效的变形信号，继而获得变形体的变形信息。

3 小波分析的应用

小波变换不但能够对原始数据进行有用信号和噪声的分离，而且能够有效地剔除信号中的噪声部分， 对原始信号很好地进行重构，从而较大程度地减少误差对数据的影响。小波去噪依据观测序列中有用信号和噪声时频特性的不同， 实现了对监测数据中噪声的有效分离，从而很大程度上减小误差的影响，获得变形的真实信息。因此，小波去噪在GPS 动态监测数据处理中是可靠的。 但小波变换的本质是窗口可调的傅里叶变换，本身也具有一定的局限性，这些都将是以后进一步要研究的内容。