由两道题所引发的对几何概型的思考

边静雯

有这样两道题，很多人对答案存在争议，首先看一下这两道题。

第1题（如下图），在等腰直角三角形RtVABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一射线CM，与线段AB交于点M，求AM

第2题（如上图），在等腰直角三角形RtVABC中，点M为线段AB上任意一点，求AM

对于上面这两个题，有两种不同的解法，如下：

记事件E={在∠ACB内部任作一射线CM，与线段AB交于点M，AM

则所有可能结果的区域为∠ACB，

事件E构成的区域为∠ACC'，

解法2：记事件F={AM

在等腰直角三角形RtVABC中，设AC长为1，则AB长为，

在AB上取点C'，使得AC'=AC=1，则若点M在线段AC'上，满足条件。

于是P（F）=P（AM

故AM

有些人认为这两个题其实是同一个题的不同问法，一部分人赞同解法1，而有些人认为解法2是对的。

我们回顾下几何概型的定义：如果每个基本事件发生的概率只与构成事件区域的面积（长度或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

几何概型有这样两个特征，一是无限性，也就是说在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是机会均等性，即在一次试验中每一个基本事件发生是等可能的。

在几何概型中，事件A的概率的计算公式是：

由上面公式可以看出，在解决几何概型问题时重要一点在于能否将问题几何化，怎样将问题转化相应的几何测度来处理。

我认为在上面两个题中，对于第1题来说，解法1是对的，解法2是错误的。虽然在线段AC'上任意取一点M是等可能的，但是过C和任取的点所作的射线是不均匀的，先有的射线后有点M，因而不能简单地把等可能取点看成是等可能的作射线，尽管射线与点是一一对应的。射線在角内是均匀分布的，故只能选择角度作为测度，结果为。

对于第2题来说，点在斜边上是等可能分布的，解法2是对的，以线段长度作为度量，结果为。

因此在确定基本事件时，一定要特别注意选择好观察出发点，注意判断基本事件发生的等可能性。对于一个能用几何概型公式计算的概率，要根据实际问题以及题意的具体情况，选择恰当的度量，使所有结果构成的区域能够度量即可解决相应的问题。有兴趣的同学可以看一下著名的贝特朗悖论。

[责任编辑：田吉捷]