“类比”一种思维方式的探讨

刘春江

【摘 要】遇到问题该如何考虑，本文给出一种发现问题、思考问题的方法，称作“类比”。他是一种思维方式，能提供思考问题的方法，使面对复杂的问题，通过简化的思想，能从简单问题，得到复杂问题的的思路、想法，进而得到解决问题的方法。但“类比”不是证明、推理，他可得到解决问题的思路、想法，提供思考问题的方向，但类似的问题可能没有必然的联系。

【关键词】类比；思路；思维方式

在实际中，有时遇到问题不知该如何考虑；例在数学学习中，一些基本的概念题基本能做，且有一定的思路，但在综合题时，面对一道题，不知道如何考虑，也就不知道该如何做题。为此我通过大量的数学题的学习与总结。发现一个新的方法，不妨叫做“类比”；这种新思路是据两个（或两类）对象之间在某些方面存在相似或相同的特点，从而推出它们在其它方面也可能存在相似或相同的特点一种推理方法，这就在解决一些复杂的问题时，先简化与之类似的一些简单问题，从而得到某些启发，给出复杂问题的思路与想法，这对我们解决复杂问题提供了一套思考问题的方法与思路，我们把这种方法称作“类比”。这种“类比”的推理方法，是一种“合情推理”的思考问题的方法，但它不是证明，它无法保证已知相同的属性与推出的属性之间有必然的联系。但是它是获得新思路、发现新问题的一种观点、一种手段。它给我们许多启示，帮助我们解决问题。为此我们把这种研究问题的思路、想法称作“类比”法。

1 问题的提出

例：“韩信点兵”的故事，这故事是说，韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数于（1人）；再让这队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（10人）。然后韩信就凭这些数，可求得这队士兵的总人数。这里面有什么秘密呢？

类似的我国古代数学名著《孙子算经》中，有“有物不知数”的题目：今有物不知其数，三三数之剩2，五五数之剩3，七七数之剩2，问物几何？

在“有物不知数”的题目中，这个数是多少呢？ 答案是23，那么，这个23 是如何求得的呢？

为此我们从另一个问题入手，以便从中寻找规律，这个问题是：今有物不知其数，二二数之剩1，三三数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之剩8，问物几何？

2 问题的分析及解决的方法

为了解决这个问题，我们给出解决问题的思路和方法。

首先我们先简化题目，只提“前两个”要求：用2 除余1，用3 除余2，求这样的数？因为这样问题变得简单，便于思考。问题简单了就有可能得到问题的答案。一种最普通的办法就是；先把“用2除余1”的数全列出来：1，3，5，7，9，11，…；再从中筛选，挑出其中“用3 除余2”的数来：5，11，17，23，…，这就求出了满足要求的数了。我们再看原题，这就启发我们想到，要解决原问题，只要从上边筛选下的数中，继续挑出“用4 除余3”的数：11，23，……；再挑“用5 除余4”的数，…；一直筛选下去，只要舍得下功夫，就一定可得结果，并且看起来，这个数，还不是唯一的，可能有无穷多个满足条件的数。

这就是化繁为简的思想，一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问题的特点和本质，那么简化就“不失一般性”。学会“简化问题”与学会“推广问题”一样，是一种重要的数学能力。这方法简称“筛选法”，好像问题解决了，但当我们这样一直筛选下去时，发现越来越复杂，而且特别麻烦，那么有没有一般的方法能很好的解决这样的问题呢？为此我们给出另一个方法“公倍数法”。

我们还是先看只有前两个条件的简化题目。上述筛选过程的第一步，得到1，3，5，7，9，11，…；其实是列出了“用2 除余1”的数组成的数列。这个数列实际上是用带余除法的式子得到的。所谓“带余除法”，是指整数的如下“除法”：对所有被除数a，除数b ≠0，必唯一存在商数q 和余数r，使a=bq+r，0≤r

再回到求“用2 除余1”的数的问题上来，设这样的数为x，则x=2n+1（0≤1<2），这就是“带余除法”的式子。当取 n = 0，1，2，…时，用上式求得的x 正好组成上述数列：1，3，5，…。现在，接着从中筛选出“用3 除余2”的数，x=3m+2（0≤2<3）的数，这里m可取0，1，2，…。如我们不分上述两步，而是一上来就综合考虑两者，就是要解联立方程组x=2n+1x=3m+2的解x。我们考察上边方程的特点，发现两个“带余除法”的式子，都是“余数比除数少1”。于是想到，如果把被除数再加1，不是余数就为0 了吗？换句话说，不就是出现整除的情况了吗？于是上边每个方程两边都加上1，成为x+1=2（n+1）x+1=3（m+1），这说明，x+1既是2的倍数，又是3的倍数，因此，它是2与3的公倍数。如果用[2，3]表示2和3的最小公倍数，那么，就有：x+1=k[2，3]=6k k=1，2，…；即：x=6k-1 k=1，2，…，即 x=5，11，…，与前一解法结果相同。

再看原问题：设原问题中，需要求的数是x，则x 被2，3，4，5，6， 7，8，9去除，所得的余数都是比除数少1，于是我们把被除数x 再加1，则x+1 就可被2，3，4，5，6，7，8，9 均整除。也就是说，x+1 是2，3， 4，5，6，7，8，9 的公倍数，从而是其最小公倍数[2，3，4，5，6，7，8，9]的倍数。x+1=k[2，3，4，5，6，7，8，9] k=1，2，…，即 x=2520k-1，k =1，2，3，…，这就是原问题的全部解，有无穷多个解，其中第一个解是2519；我们只取正数解，因为“物体的个数”总是正整数。

我们有了上面的考虑，再看《孙子算经》中“有物不知其数”问题的解答，在“有物不知数”的题目：今有物不知其数，三三数之剩2，五五数之剩3，七七数之剩2，问物几何？我们同样采用“筛选法”和“公倍数法”。

首先写出“用3 除余2”的数为：2，5，8，…； 其中，“用5 除余3”的数为：8，23，…；“用7 除余2”的数：23，… ；得到，23 是最小的一个解。至于下一个解是什么，要把“…”写出来才知，实践以后发现，是要费点功夫。而当问题复杂时，求解会越来越难，为此我们看另一个方法“公倍数法”。仿照上边用过的“公倍数法”，设要求的数为x，则依题意，得联立方程组x=3m+2x=5n+3x=7p+2，按上一问题中“公倍数法”解决问题的思路：给x 加上或减去一个什么样的数，就能使三个等式的右边分别是3，5，7 的倍数，从而等式左边就是3，5，7 的公倍数了。这要反复的试算。我们介绍一种试算的方法。从第三个等式入手，两边加5（或减2）则得x+5=7（p +1）（或x-2=7p）；则右边是7 的倍数了，但两边加5（或减2）并不能使前两式的右边分别是3 的倍数和5 的倍数，所以两边加5（或减2）并不能成为3，5，7 的公倍数。再继续从第三个等式入手，为使第三个等式右边自然保持是7 的倍数，可再加7k（或再减7h），则得3x+5 +7k=7（n+1+k）（或3x-2-7h=7（n-h））将k=1，2，3，…（或h=1，2，3…）代入试算、分析，最后发现：为达到目的（三个等式的右边分别是3，5，7 的倍数），最小的加数是82（k=11时5+7k=82）（或最小的减数是23，即h =3时2+7h=23）用等式两边加82 来求解，但是这82 和23 来之不易，并且如果题目中的余数变了，就得重新计算，所以这方法缺少一般性，为使它具有一般性，要做根本的修改。华罗庚由此联想到如何解决具有类似结构的各种问题。正是他把上述解决问题的基本思想称为“单因子构件凑成法”，并概括成如下的“合成原则”：要做出具有平行的、类似的几个性质A，B，C的一个数学结构，而A，B，C分别以某种α，β，γ量刻划，这时，可用“单因子构件凑成法”：先作B，C不发生作用，而A取单位量的构件，再作C，A不发生作用，B取单位量的构件；再作A、B不发生作用，C取单位量的构件。然后用这些构件凑出所求的结构。这个原则在有的书里称为“孙子—华原则”。体现了“化繁为简”的思想。

因此我们用“单因子构件凑成法”来解上述问题的一般方法。

我们一方面是把余数都简化为最简单的；另一方面是每次只考虑“一个除式”有余数的情况，（即另两个除式都是整除的情况）这样我们得到三组方程

（1）x=3m+1x=5nx=7p （2）y=3my=5n+1y=7p （3）z=3mz=5nz=7p+1

（1）式意味着，在5 和7 的公倍数中（35，70，105，…）寻找用3 除余1 的数；这个数可以取70；

（2）式意味着，在3 和7 的公倍数中（21，42，63，…）寻找用5 除余1 的数；这个数可以取21；

（3）式意味着，在3 和5 的公倍数中（15，30，45，…）寻找用7 除余1 的数；这个数可以取15

对（1）式而言，这个数可以取70；对（2）式而言，这个数可以取21；对（3）式而言，这个数可以取15；

于是（1）式两边同减70 变为这样：第二式右边仍是5 的倍数，第三式右边仍是7 的倍数，而第一式右边由减的70 是“用3 除余1”的数，正好原来也多一个1，减没了。

同理对于（2）式两边同减21变为这样：第一式右边仍是3 的倍数，第三式右边仍是5 的倍数，而第二式右边由减的21是“用5 除余1”的数，正好原来也多一个1，减没了。所以第二式右边也成为了5的倍数。

同理对于（3）式两边同减15变为这样：第一式右边仍是3 的倍数，第二式右边仍是7 的倍数，而第三式右边由减的15 是“用7 除余1”的数，正好原来也多一个1，减没了。所以第三式右边也成为了7的倍数。那么，凑出s=2x+3y+2z不就是我们要求的数吗？

因为用3去除s 时，除y 及除z 余数均为0，所以除3y及除2z 余数均为0；用3去除x 余数为1， 除2x 余数为2； 所以用3除s时余数为2。

因为用5 去除s 时，除x 及除z 余数均为0 ，所以 除2x及除2z余数均为0，去除y 余数为1，所以除3 y 余数为3， 所以用5 除s 时余3。

因为用7去除s 时，除x及除y余数均为0，所以除2x 及除3y使余数均为0，用7 去除z余1，所以用7去除2z余数为2， 所以用7 除s 时余数为2。

于是我们要求的数是：s=2x+3y+2z，这就是《孙子算经》中“物不知其数”一题的解，有无穷多个，最小的正数是23（k=-2时）。这里，（1），（2），（3）三式分别叫三个“单子因构件”，分别解得x=105k+70，y=105k+21，z=105k+15；每个单因子构件，都是用某一个数去除余1，用另两个数去除均余0 的情况。再据题目要求余数分别是2，3，2 的情况，凑成s=2x+3y+2z；所以，上述方法叫“单因子构件凑成法”。

这种方法的最大优点是，可以任意改变余数，加以推广：例如：有物不知其数，三三数之剩a，五五数之剩b，七七数之剩c，问物几何？

答：解为s=70a+21b+15c+105k，（k∈Z，k的选取应使s>0）。

我们把这样思考问题的方法称作“类比”，他给我们提供了许多启示，使我们在学习中对一些复杂的问题，通过“类比”的方法得到某些启示，考虑一个复杂的问题，先从简单的问题出发，得到一些解决问题的思路和想法，从而解决一个复杂的问题。

3 结论

什么是一般问题？其实对于上述问题的一般情况，就是中国剩余定理。

1247 年南宋的数学家秦九韶把《孙子算经》中“物不知其数”一题的方法推广到一般的情况，得到称之为“大衍求一术”的方法，在《数书九章》中发表。这个结论在欧洲要到十八世纪才由数学家高斯和欧拉发现。所以世界公认这个定理是中国人最早发现的，特别称之为“中国剩余定理”（Chinese remainder theorem）。

该定理用现在的语言表达如下：

设数d1，d2，d3，……，dn两两互素，某整数x分别被d1，d2，d3，……，dn整除，所得余数分别为r1，r2，r3，……，rn则x可表示为如下式x=kD+k1r1+k2r2+…θ…knrn；其中D 是d1，d2，d3，……，dn的最小公倍数，ki是 d1，d2，……di-1，di+1……，dn，的最小公倍数，而且被di整除所得余数为1；k 是任意整数。

通过上面的讨论，对一般问题，即“中国剩余定理”我们不再给出证明推到。有了这个一般情况，我们遇到类似的问题就可以得到问题类似的求解方法。

4 有趣的应用

例如1：某单位有100 把锁，分别编号为1，2，3，…，100。现在要对钥匙编号，使外单位的人看不懂，而本单位的人一看见锁的号码就知道该用哪一把钥匙。能采用的方法很多，其中一种就是利用中国剩余定理，把锁的号码被3，5，7 去除所得的三个余数来作钥匙的号码（首位余数是0 时，也不能省略）。这样，每把钥匙都有一个三位数编号。

例如23 号锁的钥匙是232 号；52 号锁的钥匙是123 号；8号锁的钥匙是231；19号锁的钥匙是145；45号锁的钥匙是003。

如果希望保密性再强一点儿，则可以把刚才所说的钥匙编号加上一个固定的常数作为新的钥匙编号系统。这样，仍不破坏锁的号与钥匙的号之间的一一对应，而外人则更难知道了。

通过上面的分析，我们通过这种类比的方法思考问题，能给我们提供思考问题的方向，使得我们面对一个复杂的问题，通过简化的思想，使得我们能够解决一些简单的问题，从解决简单问题的的思路、想法出发，得到解决一般、复杂问题的思路、想法。

[责任编辑：杨玉洁]