独立学院《微积分》教学法初探

刘 琳

（东北财经大学津桥商学院 辽宁 大连 116600）

通过教学实践，我们发现，独立学院学生在学习高等数学时存在着独有的现象，如两极分化严重，普遍缺乏兴趣，不按时做作业等等，这些导致如果教师沿用公办本科的教学内容和方式，会出现有的学生“吃不饱”，有的学生“吃不消”等问题，这样下去的话，最终的结果是老师教得辛苦，学生学得痛苦。因此，如何根据独立学院学生的特点，制定新的教学计划甚至是采取新的教学方法的问题摆在了每一位老师面前。下面，笔者结合教学实践谈一谈对这个问题的认识和思考。

1 独立学院学生高等数学学习特点

1.1 基础普遍薄弱

从生源上看，独立学院学生入学成绩介于二本和专科之间，数学成绩平均分一般在及格线左右。而高等数学和高中的数学无论是从研究对象还是处理问题的方法方面都是截然不同的。同时，大学学习一堂课能够覆盖教材15页左右的知识，课容量也是高中无法比拟的。高等数学课程一般都是在大一上学期开设，而学生还需要从各个方面适应全新的大学生活，由于数学基础本来就薄弱，和客观上的原因，很容易导致学生高等数学学不会，不会学，以致最后挂科的结果。

1.2 两极分化严重

德国数学家汉克尔（Hankel，1839—1873）曾说过：“在大多数学科里，一代人的建筑被下一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人所破坏。惟独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼。”这说明，数学是一门积累性的科学。有的学生从小学开始数学就没有及格过，对数学不感兴趣，甚至谈数学“色变”，一上数学课就如同听“天书”一般，非常痛苦。还有的学生，高中阶段非常擅长数学，高考数学分数也很高，由于别的科目考的不理想或者报志愿时出了差错而来到独立学院。那么，面对差距如此悬殊的学生，采用相同的教学目标和教学内容，这显然是不科学的。

1.3 不独立思考问题，依赖性强

数学不仅能锻炼人的抽象思维和逻辑思维能力，还培养吃苦耐劳的优良品质。一个数学定理可能要经历好几代数学家的思考和锲而不舍的努力才发明出来的，也可以说数学中到处充满着数学家的智慧。因此，要真正的对数学入门，并学好数学，就必须要学会思考。华罗庚曾经说过“勤能补拙是良训”，“勤”的含义包括勤于思考，勤于练习。而很多学生，“坐享其成”，对教师的依赖性非常强，懒于动手动脑。在独立学院的学生中，存在这种心理的学生占了大多数。这种学习方式非常不利于数学课程的学习。

2 教师如何教《微积分》

为美国加利福尼亚大学斯坦因教授所著《数学世界》的中译本作序的刘源章先生，在序言一开头就说了这样一段话：“人人都说数学有用，但又几乎人人都说数学难学。曾经有一位对数学发怵的名记者问过华罗庚，是不是自己太笨，学不懂数学，华罗庚对他说不是他不行，而是他的老师不行。这样看，不只是学生应该知道怎样去学数学，而且教师更要明白怎样去教数学。”华罗庚教授说给那个记者的话的意思是：把数学教成了僵死的、抽象的教师绝不是一名好教师。那么，应该怎样教数学，才能让学生没有畏惧，教出活泼生动的数学呢？

有许多杰出的数学家同时也是优秀的数学教育家,我国已故的闵嗣鹤教授就是一位。闵先生多年从事基础课教学,他的课讲得十分生动,深受学生欢迎。上个世纪50年代初期,北京大数数力系曾组织一次全系的观摩教学,由闵先生主讲数学分析中最重要也最困难的部分—极限理论。在题为“有序变量与无穷小量”的课上,他用自己制做的玻璃教具直观地演示了Ε与△的依赖关系,非常精彩。数学分析中这个最难学,也最不易解释清的部分就这样被闵先生讲得直观而具体,通俗易懂,令满堂师生都叹为观止。闵先生在教学中注重抽象与具体的统一,注重逻辑思维与形象思维的结合,化抽象为具体,变枯燥为有趣,一下子就拉近了学生与数学的距离。学生十分爱听闵先生的课,并在不知不觉就登上了高等数学这个台阶。半个世纪过去了,闵嗣鹤先生当年的许多学生都成为当今中国著名的数学家,他们之所以有现在的成就,很大程度上得益于当年的基础教育。

华罗庚先生的教学风格更是有口皆碑。他当年在北京和外地举办过大量的数学讲座,他讲解问题从来都是深入浅出、生动直观,即使是十分艰深的数论问题,他也要从一个很浅显的例子入手。华先生的讲座引发了许多人对数学的爱好,包括一些工人和干部,其中不乏因此而走上数学研究道路的人。

无论是闵嗣鹤、华罗庚的直观教学法都说明了同一个道理：传给后人的数学,或者说教师教给学生的数学,应该是真正有意义的 “活的数学”。如果把数学认识过程中的那些具有直观想象、猜想、直觉等特征的活动,也就是由形象思维所构成的认识活动视为 “形”,而把经过数学的抽象思维所得的结果视为 “意”,那么,闵嗣鹤先生的教学示范不都恰好(在数学教学中)印证了希尔伯特和阿蒂亚的名言吗?这就是说,在教学过程中应该尽可能地把抽象思维与形象思维结合起来。

3 教学实践与体会

几年来,我们在教学中,尽量注意“意”与“形”的结合。 在引入一些重要的数学概念和定理(如极限、连续、导数、积分以及微分学基本定理、积分学基本定理等),或讲一些重要的数学思想时,总是强调其几何意义或物理背景,注意抽象思维与形象思维的结合。 例如,函数的变上限积分概念对于大学生来说,是非常抽象的。 我们在讲解时,从它的几何意义入手，强调函数的就是一一对应关系，有一个积分上限就有一个曲边梯形面积与之相对应，数形结合，学生有了直观的认识，可以加深对概念的理解。又如,在讲定积分的应用时,我们随时把握住所论问题的几何意义和物理背景,特别在讲“微元法”时,通过“面积是面积微元的积累”、“质量是质量微元的积累”、“流量是流量微元的积累”等,强调定积分就是一种“微元积累”(当然这种积累要经过取极限的过程才能完成),使学生加深了对定积分本质的理解。

我们所讲的“形”,不仅有“几何原形”、“物理原形”,还特别强调重要概念和定理的“历史原形”。考虑到微积分是大学数学课程的主体,它的建立是近代数学诞生的重要标志,其发展史不仅是数学史的热门课题,也是数学教育的重要内容,因此,我们在教学过程中,自始至终都十分注意微积分思想发展史的教育。

英国科学史家丹皮尔曾经说过：“再没有什么故事能比科学发展的故事更有魅力了”。在数学五千余年的发展长河中，有无数的人和事发生着，这些就构成教学中富有魅力的题材。例如在讲授微积分学基本定理时，教师就可以介绍牛顿、莱布尼兹这两位微积分学创始人的生平，他们是如何独立发明微积分学基本定理的，以及这个定理在数学发展过程中的地位与作用。牛顿有一句名言“如果说我看得远一些，那是因为我站在巨人的肩膀上”，学生对于这句话耳熟能详，教师不妨在课堂上展开一下，那么这里所谓的“巨人”指的是谁呢？从学生熟悉的名言入手，之后自然的向他们介绍开普勒的“无限小元素法”、卡瓦列里的“不可分原理”等等这些先人的朴素的积分思想，也正是这些思想为牛顿的工作奠定了重要的基础。这样，呈现在学生眼前的就不是干巴巴的一个定理，通过引入史实，学生看到的是一段有声有色、有血有肉的活生生的故事，这个故事中有声音，有人物之间的冲突，主人公与普通人一样，也曾经迷茫过，可能也走过弯路……将一个数学定理在如此精心设置的三维背景下讲解，不仅扩大了学生的知识面，同时增加了情境，激发了学习兴趣，帮助学生更好的理解了数学。

无穷级数这一章判断级数敛散性的方法很多，极易混淆，又缺少在实际生活中应用的题目，学生学起来觉得抽象难懂。那么，比如讲到“阿贝尔定理”时，不妨介绍一下这位英年早逝的数学家阿贝尔，他的贡献中能带给学生启发的就是关于一元五次方程没有根式解的证明。学生们很熟悉一元二次方程的求根公式，由此引导他们思考下面这个问题：一元三次方程（甚至）更高次方程是否有根式解？在16世纪，三次方程根式解由意大利数学家费罗等人获得；四次方程求根公式由费拉里得到。而关于一元五次方程，由阿贝尔于19世纪上半叶证明五次以上方程不能用公式求解。这样，就开阔了学生的眼界，启迪了思维。再举一例，在讲授完常数项级数后，可以向学生介绍古希腊著名的悖论“阿基里斯追龟”问题：“假设乌龟和阿基里斯赛跑，乌龟的起跑点领先一段距离，那么，当阿基里斯到达乌龟的起跑点时，乌龟又爬行了一段距离；阿基里斯跑完这段距离时，乌龟又向前爬了一段；如此直至无穷。所以阿基里斯永远追不上乌龟。”这个问题，让学生动手尝试直接应用常数项级数收敛定义来得出结论。它不仅巩固了所学知识，又解决了历史上的著名的问题，增强了学生学习的信心，开拓了思路。

对于独立学院的学生，微积分的学习是充满困难的，教师教起来也不轻松。但是，作为教师，不仅从教学内容上进行改革，因材施教，在教学方法上也要改变。那么如何增加数学概念的直观性，趣味性，如何让学生能够学有所得，这些都是独立学院数学教师亟待解决和思考的问题。

[1]杜瑞芝,谭奕.得“意”不要忘“形”——微积分教学法浅谈[J].高等数学研究,2000(12).

[2]Marshll GL and Rich BS.The Role of History in a Mathematics Class[J].Mathematics Teacher,2000,93(8).

[3]严士健.面向21世纪的中国数学教育[M].南京:江苏教育出版社,1996.