一个简化Lorenz 混沌系统的active 同步控制

原冠秀

（河南科技学院数学系 河南 新乡 453003）

自从20世纪60年代美国科学家Lorenz[1]在气象数值研究中偶然发现了第一个混沌吸引子以来，混沌已在许多领域中获得了巨大而深远的影响，并且许多新的自治混沌系统也相继被提出，如Rossler系统[2]，并且得到了广泛的研究.混沌控制与同步已经应用到很多方面，如生物工程、信息过程、信息保密通信，以及进行经济预测和工程管理等.混沌控制与同步的方法有很多种，如线性与非线性反馈控制[3]active控制[4]等.

1 系统模型

文献[5]研究了一个简化的Lorenz混沌系统：

其中 c为系统参数，当 c∈（-1.59，7.75）时，系统是混沌的，特别的当c=-1时，该系统就为典型的Lorenz混沌系统.当c=-1.5时，其混沌吸引子如图1所示，本文考察c＜0的情况.

图 1 c＝－1.5 时的吸引子

2 混沌的同步

将系统（1）作为驱动系统，响应系统为

其中 u=［u1（t），u2（t），u3（t）］T，作为 active 控制函数.

令 e1=x1-x，e2=y1-y，e3=z1-z，则误差系统为

取 active 控制函数 u=［u1（t），u2（t），u3（t）］T为

则系统 （3）化为

则系统（4）转化控制函数 v=［v1（t），v2（t），v3（t）］T的一个线性系统.

取 v=［v1（t），v2（t），v3（t）］T=A（e1，e2，e3）T,其中

则有

图2 线性反馈控制下两个系统的同步误差

3 数值模拟

用MATLAB对误差系统（3）进行数值仿真，驱动系统和响应系统的初始值分别取为(0.1,0.5,0.2)和(0.6,0.2,0.3)，选取c=-1，则系统（1）和系统（2）是全局同步的，如图 2 所示.

［1］Lorenz EN.Deterministic non-periods flows[J].J Atmos Sci,1963,20:130-141.

［2］Rösser OE.An equation for continuous chaos[J].Phys.Lett A,1976,57:397-398.

［3］Chen M，Han Z.Controlling and synchronizationchaotic Genesio system via nonlinear feedback control[J].Chaos Solitons Fractals,2003,17:709-716.

［4］Ahmet Ucar.Synchronization of the unified chaotic systems via active control[J].Chaos Solitons Fractals,2006,27:1292-1297.

［5］Kehui Sun,J.C.Sprott.Dynamics of simplified Lorenz system[J].Int J Bifurcat Chaos 2009,19:1357-1366.