采用Elman神经网络与支持向量机预测路基沉降

屈凯锋

(中铁第一勘察设计院集团有限公司，陕西 西安 710043)

0 引 言

开展路基沉降观测，采用适当的手段提取真实沉降变形值并进行回归分析，算出工后沉降量和其他评价指标，是严格控制公路路基变形超限的关键手段[1-4]。目前，较为典型的预测函数模型及参数解算方法包括双曲线法与灰色模型等[5]，但灰色模型指数发散源容易使精度降低，双曲线法求解拟合曲线参数困难[6]。本文采用Elaman神经网络和支持向量机这2种对非线性曲线拟合功能较为强大的模型进行路基沉降预测，且针对复杂观测环境下所取得路基或隧道等线下构筑物沉降资料通常不可避免地含有噪声干扰，在模型预测前采用去噪性能较佳的小波和能缓和预测曲线严重发散的Kalman滤波同时进行消噪与平滑。在此基础上构建了一种小波和Kalman滤波下的Elman神经网络与SVM回归预测组合模型，并结合路基线下工程实测数据进行预测，对比预测结果和实际累计沉降值的差别，用于指导实际工程的施工和维护。

1 小波去噪与Kalman滤波模型

1.1 小波去噪分析

由于变形监测的各期观测数据之间的变化量级较小，因此噪声的存在对变形体的变形分析造成的影响不容忽视。观测信号表现出局部化的低频特性，而噪声信号则表现出全局性的高频特性。针对此类现象，用小波变换分析可对观测数据实施有效的信噪分离，从而起到去除噪声的效果。这里采用正交小波的迅捷算法[7](即Mallat算法)将信号分解后，得到的是低一级上的反映出信号变化概况的平滑信号(也称为趋势项)，以及出现于高一级、消失于低一级的反映出信号细节信息的随机项。设观测信号为f(x)，通过Mallat算法把信号分解到各自相异的频道上，即

(1)

式中：Cj为在2j分辨率下的离散逼近；Dj为在2j分辨率下的离散细节；H、G代表尺度函数对应的低通、高通滤波器。

其分解步骤为

f(x)=Aj-1f(x)=Ajf(x)+Djf(x)

(2)

式中：Ajf(x)为信号f(x)的频率不超过2-j的成分；Djf(x)为频率介于2-j和2-j+1之间的成分。

那么信号在低频信号空间Vj上的投影为

(3)

在高频信号空间Wj上的投影为

(4)

目前小波滤波方法分为多种，但本文利用的是小波多分辨分析中的小波分解与重构算法对信号噪声进行去除。小波的分解与重构去噪就是将信号按式(1)进行重构时，将式(4)中的高频部分中的有关部分Dj置零，即可获得去噪后的信号

(5)

1.2 Kalman滤波模型

Kalman滤波是最小均方差意义下的最优估计，属于一种递推式估计算法，可用于数据的检验，也可用于数据的预报。在动态系统中，Kalman滤波的数学模型[8-9]在线性系统中通常是离散的形式，主要有状态方程与观测方程2种，分别为

式中：Xk为系统k时刻的n×1阶状态向量；Fk/k-1为作用在前一状态的n×n阶状态转移矩阵；Gk-1为系统k-1时刻的n×r阶动态噪声矩阵；Wk-1为系统k-1时刻的r×1阶动态噪声矩阵，其协方差矩阵为Qk(非负定方差矩阵)；Lk为系统k时刻的m×1阶观测向量；Hk为系统k时刻的m×n阶观测矩阵；Vk为系统k时刻的m×1阶观测噪声矩阵，其协方差是Rk(正定方差矩阵)。

按照LS原理，能够计算出随机离散系统的Kalman滤波推导公式[10]如下。

状态向量一步预测值

(8)

一步预测方差矩阵

(9)

状态向量估计值

(10)

状态向量估值的方差矩阵

Pk=(I-JkKk)Pk/k-1

(11)

其中，Jk是滤波增益矩阵，表示为

(12)

2 Elman神经网络与支持向量机理论

2.1 Elman神经网络

Elman递归神经网络是Elman在1990年提出的一种局部回归网络[12]，特殊的层联接方式导致这种神经网络对历史数据更为敏感，且加入的内部反馈网络提高了网络本身处理动态信息的能力，从而达到了动态建模的目的。Elman神经网络在非线性空间状态下的数学表达[13-14]如下。

y(k)=g(ω3x(k))

(13)

x(k)=f(ω1xc(k)+ω2(u(k-1)))

(14)

xc(k)=x(k-1)

(15)

式中：k为时刻点；x为n维中间层结点单元向量；y为m维输出节点向量；u为r维输入向量；xc为n维反馈状态向量；ω1、ω2和ω3分别为承接层到中间层、输入层到中间层以及中间层到输出层的连接权值；g(…)、f(…)分别为输出神经元与中间神经单元的传递函数；u(…)为中间层输出的线性组合。

Elman网络通过BP算法修改更正权值，学习指标函数的计算涉及误差平方和函数，即

(16)

2.2 支持向量机

图1 2种滤波方法对比曲线

支持向量机创建于VC(Vapnik-Chervonenkis)维理论基础之上，是以SRM原则为基本准则的小样本统计理论[15]，它避免了ANN等方法的网络结构选择、欠学习与过学习等问题。因此将支持向量机(SVM)用于变形沉降预测的非线性回归问题时，得到的回归函数[16]为

(17)

(18)

本文针对SVM的回归均通过遗传算法[17]对各参数进行优化选取。

3 预测步骤及试验分析

本文实例采用广昆高速公路某段运营期从 2015年3月至2016年7月共30期的变形监测数据进行试验。理想的变形监测应该是按规定的周期进行，但受到各种条件的制约和天气的影响，本次试验数据的采集时间间隔有长有短，但总体上呈现出一定的规律。

3.1 预测步骤

第1步：采用小波和Kalman滤波对广昆高速某段路基30期原始沉降数据进行滤波预处理。在利用小波分析进行去噪时，由于实测数据的信噪比不能预知，因此本文采用sym4小波函数的软阈值法来逐渐增大尺度，再根据均方根误差值与信噪比的变化情况是否趋于稳定来确定最大尺度，反复试验后确定其最高信噪比29.561 9、最小去噪均方差0.269 6下的最佳分解尺度是3层；在Kalman滤波模型中，根据测量标准技术规范与观察经验值，将观测噪声方差定义为Rk=0.5，动态噪声方差定为Qk=2，由前次数据取初值。

2种滤波方法的对比曲线见图1。

第2步：对滤波之后的数据采用Elman网络进行预测。文本按照数据关联性将Elman神经网络的输入层设置成3个变量，并将其开始训练时的几个参数设置如下：迭代次数是2 000，误差容限为0.01，以2015～2016年采集到的路基沉降板的前25个累计沉降点为训练样本，后5个沉降观测点为测试样本。根据上述参数设置后反复试验，获得可优化程度最佳的Elman神经网络的结构(输入层节点-隐层节点-输出层节点)为3-15-1。根据结果可以看出，模型收敛，且收敛性能良好，没有陷入局部最小，在合理的范围内预测精度已达到所需的要求。

第3步：对Elman网络预测的残差采用遗传算法优化的SVM进行修正。GA-SVM的设定为：惩罚因子C的取值范围设定成[0,100]，核宽度σ的取值范围设定成[0,1 000]；对于遗传算法中的参数，其最大进化代数设定成200，种群最大数量为20，交叉概率为0.9，变异概率为0.05，选用10倍交叉验证函数为适应度函数，以训练误差(MSE)作目标函数进行迭代计算。

多次计算得到精度最佳时残差序列的结束代数为50，种群数量为20，C=29.789 9，σ=78.614 7，均方差(MSE)为0.067 4。

第4步：将第2步与第3步的计算结果融合叠加起来，即为最后结果。

3.2 试验分析

从图1可以看出，小波分析与Kalman滤波去噪曲线相比于单一小波去噪曲线，与原始沉降曲线的吻合度更高，残差曲线变化值更集中和平缓；经计算得出，单一小波去噪均方差σ2=0.301 2，小波分析与Kalman滤波去噪的均方差σ2=0.194 8，可见通过小波预处理后的Kalman滤波的方差比单一小波预处理的方差小。这说明小波分析的预处理能够对原始数据中随机游走的噪声起到很强的降噪效果；而Kalman滤波本身就是一种稳定性较强的模型，对动态变形预测具有更强的适应性。因此，对于变形沉降波动性较大的路基沉降数据，将小波分析与Kalman滤波组合模型用于动态变形沉降数据处理的研究，能够适当提高数据滤波的可靠性与收敛性，其消噪性能在一定程度上比单一的小波或Kalman滤波有明显提升。

为全面验证本文组建的小波、Kalman滤波下的Elman神经网络与支持向量机在公路路基沉降预测中的性能，使用同一组路基沉降值的30期数据进行试验，同时建立3种模型与之比较，得到试验预测结果见表1、图2与图3；对各预测结果采用均方误差(MSE)、平均绝对误差(MAE)与平均绝对百分误差(MAPE)进行精度评定，结果见表2。

表1 各模型预测结果对比 mm

综合表1、2和图2可知，上述4种模型预测曲

图2 各模型预测结果对比

线与实际沉降曲线均表现出极强的吻合相关性，模型最大均方误差与绝对误差均可满足测量精度要求。当训练样本与测试样本数量均等时，Elman 模型与GA-SVM模型的预测精度MAE、MSE与MAPE接近，但GA-SVM模型的MSE却小于Elman模型近1倍，表明SVM的非线性泛化能力比Elman网络更强，因此将SVM用于这类规律性不强且非线性特征突出的残差序列以修正Elamn神经网络的预测误差，是较为合理的选择。同时发现，Elman与SVM组合模型中，虽然整体误差均远远优于其他两类单一模型的预测水平，但由于没有经过小波和Kalman滤波去噪，因此各精度指标均落后于本文的小波、Kalman滤波下的Elman神经网络与支持向量机预测模型，且其后期预测曲线出现发散状况，说明本文模型的小波、Kalman滤波不仅在一定程度上剔除了冗余测量噪声对实测数据的干扰，还可以实时动态估计出观测噪声，进而对滤波进行自适应修正。因此，图2中本文模型对应的预测曲线较为收敛，接近实测沉降曲线；图3中本文模型残差曲线也更平稳，接近于0。可见本文模型不仅预测更精准，且具备优异的预测稳定性，进一步证明该方法合理、实用。

图3 各模型预测残差对比

表2 各模型精度对比mm

4 结 语

影响高速公路路基沉降变形数据的因素繁多且成因机制复杂，造成了沉降预测困难。但噪声信号的性质基本上是高频低幅的，而测量信号却属于低频信号，所以利用小波分析来处理相关数据即可达到将噪声和测量信号分离的目的。利用Kalman滤波再次平滑处理变形信号，增强了滤波器的动态数据处理性能，防止数据发散，因此，小波分析与Kalman滤波这一组合能有效地利用各自的优势对测量信号进行很好的过滤，且保留实际变形量。综合Elamn神经网络和遗传算法优化支持向量机的非线性回归模型泛化性能优异，不用构建复杂的力学系统模型，在数学模型的数据拟合、修正基础上即可快速实现高速公路路基测量模型的沉降预测。综上所述，本文构建模型的预测结果精度较高， MSE与MAPE几乎接近于0，稳定性强，预测性能优异，在一定程度上反映了在变形分析与预测方面，单一的研究方法有时并不那么适用于复杂多变的实际工程，将多种技术手段与模型理论有机结合、综合比较才是攻克难题的有效途径。