基于Kalman滤波的灰色神经网络边坡预测

王万祥

(中铁第一勘察设计院集团有限公司，陕西西安 710043)

0 引言

在高速公路路堑高边坡开挖和路基施工期间，边坡工程的稳定性极易受土质、降雨等影响。为防止高边坡滑坡事故的发生，保证前期施工和后期运营阶段的安全和稳定，对高边坡变形进行监测十分重要。由于边坡的建立过程是一个逐渐明朗的动态工程，在对边坡监测的过程中，监测数据中不可避免地混杂着噪声的干扰，因此剔除噪声、获取较为接近真实值的数据一直是边坡监测研究的重点［1-2］。

边坡工程不确定理论中“灰色系统”的特点表现尤为突出，如路型本身的不完善、监测数据有限且较难全面反映边坡自身的位移状况等，故而判定边坡工程为“内部信息部分已知、部分未知”的对象，用灰色理论模型进行边坡监测与位移预测研究是合理的［3］。对这种随时间、外部条件变化而发生状态改变的信号，边坡的位移时序曲线会表现出一定的波动性，因此引入BP神经网络对非线性特征曲线进行动态处理恰到好处。单一的模型预测很难集合所需功能对数据进行有层次的处理，为了不对精确分析边坡形变产生影响，本文将以上几种模型进行组合，发挥各自优势，在已有边坡工程实例的基础上，客观地描绘出边坡的形变趋势和状态。

1 卡尔曼滤波理论

1960年，卡尔曼(R.E.Kalman)和布西(R.S.Bucy)提出了一种在计算机中很容易实现的“状态空间”滤波方法，这种方法就是 Kalman滤波。它通过系统状态和观测值组合成的线性系统对观测信号进行滤波描述，根据线性无偏最小均方差估计准则，依据过去估计值和当前观测数据来对系统状态进行最优估计，通过获得各个监测点的状态估计参数，从而最大限度地滤掉干扰噪声［4-6］。

在动态系统中，离散线性系统的Kalman滤波的数学模型包括状态方程和观测方程，它们的离散形式分别为

式中:Xk为系统 k 时刻的 n×1 阶状态矩阵;Fk，k－1为作用在前一状态的n×n阶状态转移矩阵;Gk－1为系统 k－1 时刻的 n×r阶动态噪声矩阵;Wk－1为系统 k－1时刻的r×1阶动态噪声，其协方差矩阵为Qk(非负定方差矩阵);Lk为系统k时刻的m×1阶观测矩阵;Hk为系统k时刻的m×n阶观测矩阵;Vk为系统k时刻的m×1阶观测噪声矩阵，其协方差为Rk(正定方差矩阵)。

根据最小二乘原理，可得到随机离散线性系统的Kalman滤波递推公式，并根据状态方程计算动态系统的一步预估值 Xk，k－1

Pk，k－1为一步预测方差矩阵

Xk为状态向量估计值

Pk为状态向量估值的方差矩阵

其滤波增益矩阵Jk表示为

在确定Kalman滤波这4个初始值(初始状态向量X0、协方差阵P0、动态噪声方差阵Qk、系统的观测噪声方差阵Rk)后，可启动卡尔曼滤波递推算法，依据k时刻的观测值Lk递推计算出对应时刻的状态估计值 Xk，(k=1，2，3，…)，实现滤波与预测，剔除随机噪声的干扰［7］。

2 灰色GM(1，1)模型

高边坡的变形监测是一个动态变化的过程，其影响因素是不确定的、模糊的，而灰色模型的强大就在于能用少数不确定性的“灰色数据”对规律不明显的变形数据进行加强处理，重新建立有规律的新序列，即灰色模型(Grey Model)。GM(1，1)模型的建模过程如下［8-9］。

设x(0)为某点的观测时间序列，则有

记x(1)=AGO x(0)为一次累加新序列，即

建立一阶微分方程

利用最小二乘法求解上式，得到时间响应函数

在式(11)中可求出待定常数a、b的值。a是发展系数，系统整体发展局势的大小靠来控制;b是灰色作用量，它的大小是数据变化关系的直接反映［10］。根据白化方程可得出GM(1，1)模型的时间响应序列

最后通过累减生成可还原数据，得到GM(1，1)预测模型表达式

3 BP神经网络

BP神经网络是由输入层、隐含层和输出层3层组成的一种多层前馈网络结构算法，使用非常广泛。其学习过程分为2个部分:正向传播和反向修正。在正向传播过程中，将每次输入的样本数据得出来的输出结果与目标结果相比较，如不满足条件，它们就进行反向传播;反向传播的过程是将计算出的误差不断修正，调整网络参数(权值和阈值)，从而实现或逼近所希望的输入、输出映射关系，取得网络逼近值。BP神经网络算法训练过程有以下7个步骤。

(1)初始化网络权值参数wsq=Random(·)，sq取ij或jk，wij和wjk为BP神经网络权值。其中:输入层到隐含层的权值为wij，初始化隐含层阈值为a;隐含层到输出层的的权值wjk，输出层阈值为b。

(2)依次输入n个学习样本，进行隐含层输出计算。根据输入量X、输入层与隐含层的连接权值wij以及隐含层阈值b，计算隐含层输出H。

式中:l为隐含层节点数;f为隐含层激励函数。

该函数有多种表达形式，本章所选函数为

(3)根据隐含层输出H、连接权值wjk和阈值b计算BP神经网络的预测输出O

(4)误差计算。根据网络预测输出Ok和期望输出Y，计算网络预测误差

(5)权值更新。根据网络预测误差e更新网络连接权值wij和wjk

式中:η为学习速率。

(6)依照权值修正公式来修正各层的权值和阈值。根据网络预测误差来更新网络节点阈值a和b。

(7)判断算法迭代是否结束，若没有结束返回步骤(2)。

4 算例应用与分析

4.1 预测算法步骤

(1)步骤1。根据数据特征设置滤波初始值，对原始数据X(0)(i)进行标准Kalman滤波预处理。

(2)步骤2。使用“一次累加”功能增强序列规律性，对滤波后的数据建立GM(1，1)模型预测，得到X(0)(i)。

(3)步骤3。建立残差序列{e(0)(i )|e(0)(i)=X(0)(i)－X(0)(i)，i=1，2，…，n}，若预测阶数取 j(本文取j=2)，那么 e(0)( i －1)，e(0)(i －2)，…，e(0)(i －j)作为BP神经网络输入训练的样本值，e(0)(i)则作为输出训练的期望值。测试样本的调入同上。

(4)步骤4。使用自适应全局优化概率搜索的遗传优化算法实现BP神经网络的寻优过程，设置遗传初始化条件，并经多次运算取得最优合理参数。

(5)步骤5。确定BP神经网络的输入层、隐含层和输出层，计算得出残差序列 { e(0)(i)}的修正补偿值 { e(0)(i)}，在此基础上整合出新的预测值X(0)(i，1)=X(0)(i )+e(0) (i)，则 X(0)(i，1)是 Kalman滤波与灰色GM(1，1)-GA-BP组合模型的最后预测值。

4.2 实例分析

本文以某高速公路高边坡变形监测点KXL3-5的49期观测数据为例(观测周期为5 d)，利用基于Kalman滤波与灰色BP神经网络的模型对观测过程中的40期数据建模，对后9期数据进行预测分析。由于Kalman滤波是利用新观测值对系统新的状态值进行不断的预测和修正，故适用于处理边坡多期重复观测的变形监测数据。按照建筑变形测量的等级及精度要求，本文根据经验值取二等水准沉降变形观测的动态噪声方差阵Qk=2，动态噪声方差阵Rk=0.5，将测点位置与变化速率作为状态参数，则滤波初始值 X0=［－13.267，－0.883］T。

根据上述输入确定标准离散卡尔曼滤波结果，如图1所示，滤波前后的信噪比分别为16.185 6和42.400 8，去噪的均方根误差(RMSE)为 0.0876，说明经过滤波后的信噪比得到有效提高，信号带得到明显的提取，噪声剔除充分又不过滤。从图2来看，滤波后的残差从第3期开始达到最大，为－0.377 9 mm，此后曲线逐渐趋于平稳化，残差最小为－0.001 1 mm，整体在0.01 mm上下浮动。这说明Kalman滤波在有效减弱甚至剔除部分干扰噪声外，还能对趋于发散的形变序列起到一定的收敛作用。经比较发现，滤波后的曲线更趋于实际变形量。

图1 滤波前后沉降量对比

图2 残差曲线

对滤波序列建立灰色GM(1，1)后的10期进行预测，所得相对误差为0.057 1 mm，后验差比值C=0.455 8，未能达到一级模型精度。为修正灰色模型因自身缺陷带来的预测结果易随时间推移偏离的问题，对灰色残差序列进行GA-BP神经网络修正，设置遗传进化代数为200，种群规模为10，交叉概率选择0.3，变异概率设定为0.2(经反复试验后的最佳值);网络输入层为2维，隐含层定为5，输出层为1，并以最小均方差为目标函数对样本群进行训练，根据目标函数变化的适应度函数值进行寻优，最终得到残差修正结果作为GM(1，1)的后期补偿值。计算得本文组合模型的预测值与其他3种方案的同级比较结果见图3和表1、2。

图3 各模型预测结果对比

表1 四种模型结果对比

以表2给出的模型精度等级、均方根误差(RMSE)、平均绝对相对误差(MAPE)和平方和误差(SSE)这4个指标作为评判标准，对各个模型预测的结果进行有效性对比分析。从图3的预测曲线看来，基于Kalman滤波的灰色GA-BP模型与灰色GA-BP模型看起来功能不分伯仲，但仔细观察不难发现，Kalman灰色GA-BP模型从第46期开始就逐渐收敛于原始沉降曲线，而灰色GA-BP模型虽然没有表现出太大的发散趋势，但预测效果还是稍弱于加入了Kalman滤波预处理的模型，说明Kalman滤波能间接避免因状态噪声矩阵和监测噪声矩阵的不完全统计而带来最优估计发散。由表2可知，除了灰色模型的等级精度是二级标准，其他模型都属于一级标准;由图3的曲线可知，灰色GM(1，1)模型的预测误差在0.469～0.874 mm浮动，相比其他模型偏差较为明显，预测效果欠佳。基于Kalman滤波的灰色GA-BP神经网络模型无论是RMSE(0.133 mm)、MAPE(0.008 mm)还是 SSE(0.158 mm)都胜于其他3种模型，验证了本文核心模型的有效性和上述对于图3曲线的分析推测。灰色GABP神经网络与BP神经网络模型的RMSE分别为0.156 mm和0.140 mm，MAPE分别为0.010 mm和0.009 mm，SSE分别为0.218 mm和0.179 mm，预测效果不相上下。原因在于:灰色模型拟合和预测精度都过分依赖于背景值和初始条件，然而第一点预测误差最小并不能保证整个预测序列的误差和最小，因此对于中长期预测的效果相对不理想。为保证工程预警需求，加入了能够通过学习带正确答案的实例集自动提取“合理值”的求解规则，即自学习能力和推广能力强的BP神经网络，对灰色模型进行修正，起到一个互补衔接作用;当直接用BP神经网络对预测序列进行测试时，因直接通过网络结构训练和自身逼近能力就能获取近似拟合的值，因此效果很好。

表2 四种模型的精度对比 mm

5 结语

基于Kalman滤波的灰色GA-BP神经网络算法改进了灰色GM(1，1)模型的缺点，在融合了Kalman滤波动态实时产生新的最优估计值来去除随机干扰的基础上，以遗传算法优化的BP神经网络出色的学习能力作为依托，对灰色预测残差做了针对性修正，在一定程度上解决了滤波发散和灰色预测精度下降的问题。结合某高速公路边坡变形监测数据的规律性和特性，在实例应用的基础上拓宽了各单一模型的应用范畴，可见Kalman滤波不但适用于平稳序列，对边坡形变这种非平稳序列也同样适用，BP神经网络对非线性序列的泛化能力得到有力考证，灰色模型在选择其他适合模型重构成组合模型后，也能对中长期预测的精度进行相对改进。在边坡和滑坡预测中，该算法有一定的参考价值。

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