浅介几种广义逆矩阵及其应用

李 悦

（沈阳师范大学 数学与系统科学学院,沈阳 110034）

1 背景介绍

广义逆产生于线性方程组求解的实际需要,其思想可追溯到1903年E.I.弗雷德霍姆所研究的关于积分算子的一种广义逆，随后由E.H.Moore在1920年提出任意矩阵的广义逆定义，然而在其后的30年却未能引起人们关注，直到1955年,R.Penrose定义了Moore的广义逆矩阵之后,广义逆矩阵的发展才开拓了一片新的天地。后来人们证明Moore和R.Penrose的两种广义逆矩阵是等价的,因而被称为M一P广义逆矩阵。至此，广义逆矩阵正式诞生，此后的逐步发展也使其具有了广泛的应用。

2 几种常见广义逆矩阵的简单介绍

我们引用方便的M—P方法来定义广义逆矩阵：

设任意复数矩阵Amn,如果存在复数矩阵Bnm，满足M-P方程，即

（1）ABA=A

（2）BAB=B

（3）（AB）H=AB

（4）（BA）H=BA

的全部或一部分，则称B为A的广义逆矩阵。由此易推算广义逆矩阵有15种。在这里，重点研究和介绍五种，即：A-、自反广义逆Ar-，极小范数广义逆Am-，最小二乘广义逆Al-及伪逆矩阵A+。

2.1 A-

满足方程（1）的记为A-，其重要性质有：

（1）A广义逆的转置等于A转置的广义逆，即（AT）-=（A-）T；

（2）若复方阵A满秩，那么A的逆等于A的广义逆，且A-唯一；

（3）秩（A）≤秩（A-）；

（4）秩（A）=秩（AA-）=秩（A-A）；

（5）线性方程组Ax=b有解（相容）当且仅当AA-b=b。

2.2 自反广义逆Ar-

满足方程（1）和（2）的是自反广义逆。若X、Y都是A的广义逆矩阵，则Z=XAY是A的自反广义逆。且形式可表示任何自反广义逆，其中C、B分别是行满秩和列满秩的复数矩阵，且矩阵A（秩为r）的满秩分解式为A=BC。

2.3 极小范数广义逆Am-

满足方程（1）和（4）的是极小范数广义逆，Am-可以用来求解相容线性方程组Ax=b，且极小范数广义逆就是极小范数解相对应的广义逆矩阵。

2.4 最小二乘广义逆Al-

最小二乘广义逆满足方程（1）和（3），特别的是，当求不相容线性方程组Ax=b的最小二乘解时可利用Al-，且G=Al-的充分必要条件是x=Gb是不相容方程组Ax=b的最小二乘解。

2.5 伪逆矩阵A+

全部方程均满足的是伪逆矩阵，它也有很多重要的性质，如：

（1）（A+）+=A；

（2）（AAH）+=（AH）+A+=（A+）HA+，（AHA）+=A+（AH）+A+（A+）H；

（3）A+=AH（AAH）+=（AHA）+AH

（4）若A是列满秩矩阵，则A+=（AHA）-1AH。

这五种重要的、常用的广义逆矩阵所具有的性质在形式上，一定程度地体现了数学之美，更重要的是在系统理论、最优化理论、现代控制理论、数理统计等许多领域有着广泛的应用，如此也更加推动了人们对广义逆矩阵的深入研究，使之逐渐发展起来。下面来介绍广义逆矩阵在科技、生产、生活中的实际应用。

3 广义逆矩阵在实际中的应用

3.1 广义逆矩阵在估计OFDM系统信道中的应用

OFDM系统是具有时域和频域信号的多载波系统,在数学运算的范畴，这两种信号都可以用序列的形式表示的特点,可以看成是矩阵的运算,因此可以用矩阵论的相关知识来讨论和认识OFDM系统。

为了处理问题的方便，我们应用一个很重要的结论，即：卷积可以表示为矩阵向量的相乘,这样时域序列的卷积就可以由矩阵向量乘积所表示。经过推导可得序列卷积的矩阵形式，并利用两个序列的变换描述上述结论，得到：HT=H1TH2。广义逆矩阵的引入和实际应用为人们研究信道对信号的影响开阔了新的思路和新的道路。

3.2 广义逆矩阵在光学自动设计中的应用

在透镜的自动设计中，主要存在两大问题：一是如何处理矩阵病态，二是如何退化和消除相关象差的影响。而广义逆矩阵便可以对着两大问题进行统一处理，在处理过程中适当结合阻尼最小二乘法、逐列的正交化方法和一些适宜的算法、程序，将会得到更佳、更高效的处理效果，实用性也随之增强。

3.3 广义逆在嵌入式大气数据传感系统中的应用

广义逆在嵌入式大气数据传感系统中的应用主要体现在其对系统中的算法进行改进，达到简化的目的。以Moore-Penrose广义逆矩阵为基础，在静压、动压和修正参数方面改进算法，并对其进行了收敛性分析,最后的数字计算验证由Matlab软件实现。研究发现，改进算法具有明确的高效性，原来求解逆矩阵所需的迭代过程被避免，只需用原有时间的70%就可以达到同样的精度。因此，通过改进算法可以提高传感系统的可靠性、实时性要求和精度。

4 结束语

广义逆的应用非常广泛，除以上介绍外，还有基于广义逆矩阵密钥协商协方案及修改、求解离散型动态投入产出模型、推导PADE逼近的Pfaffian计算公式、研究线性方程组解的结构及其推广等等，这些对数学专业学生深入研究高等数学及价值具有重要的引导意义，同时，其性质也体现了广义逆形式上和应用意义上的数学之美。广义逆的发展和应用前景美好，它将不断深入发展，为生产、生活及科技作出更大的贡献！

[1]姚波,王福忠主编.矩阵论[M].沈阳:辽宁科学技术出版社，2012(08).

[2]林锰主编.矩阵论教程[M].北京：国防工业出版社，2012(08).