统计学标准差在钟类乐器分析中的操作方法及意义——以形制分析为例

隋郁

（郑州大学音乐考古研究院，河南郑州450001）

统计学标准差在钟类乐器分析中的操作方法及意义
——以形制分析为例

隋郁

（郑州大学音乐考古研究院，河南郑州450001）

对钟类乐器形制数据进行标准差分析，其目的是观察乐钟在设计、制作层面的规范程度。在实际操作中，由于这一分析方法可以借由软件协助，工作人员能够将精力集中于对计算结果的解读，而这也能够保证计算结果的输出既快捷方便又精准无误。此外，标准差的分析方法亦可以用来观察相同音程关系、不同音分值的偏离程度，这一分析方法已被笔者应用到针对乐钟正侧鼓音程音分值偏离程度的分析中。

乐钟；定量研究；标准差；形制

对钟类乐器的形制进行分析，学界所常用的是考古类型学分型、分式的方法，其研究目的是为了找到器物发展演变的序列关系。但笔者对钟类乐器形制数据的分析并未采用这种方法，而是使用一种定量分析的方法——统计学标准差，其目的是观察乐钟在设计、制作层面的规范程度。

定量分析是与定性分析相辅相成的一种研究方法，常见的定量分析方法有求平均值、百分比等。与擅长归纳、分析、演绎的定性分析相比，定量分析所注重的是研究对象的数量关系，即从数量的角度来看待学科中的现象和规律。“数量关系的研究不仅能揭示被研究考古资料中内涵的，而不易被传统的定性研究所看出的某些现象和规律，而且定量研究排除了在归纳和演绎等推理过程中可能出现的主观任意性。”[1]11笔者认为，由于定量分析与定性分析在研究方法与关注焦点上所存在的明显差异，定量分析至少应该成为定性分析的有效补充。

在实际操作中，定量分析亦有其自身的优势——软件协助。定量分析的分析对象，往往涉及到繁复的计算工作。当面对巨大的工作量时，由计算机软件来完成计算过程，可以使工作人员能够将精力集中于对计算结果的解读，而这也能够保证计算结果的输出既快捷方便又精准无误，避免出现研究工作中精力投入与成果产出不成正比的问题。

笔者的研究是以统计学标准差作为定量分析的工具，以“定量”的思维模式对编钟形制规范进行考量。而本文的内容，正是对统计学标准差这一定量分析工具从功能优势、学科融入历程、具体操作方法等多方面进行介绍，以期读者能够更加顺利地理解笔者所提出的针对编钟形制规范程度的分析。此外，标准差的分析方法亦可以用来观察相同音程关系、不同音分值的偏离程度。这一分析方法，已被笔者应用到针对乐钟正侧鼓音程音分值偏离程度的分析中。标准差大则音分值的偏离程度大，乐钟正侧鼓音程关系受理性因素制约的程度小；反之，则理性因素参与的可能性高，乐钟所发双音更可能摆脱了原生状态，而向更高层次的铸生、铸调阶段发展。总之，笔者认为，合理的使用统计学标准差的方法对音乐、乐器相关数据进行分析，可操作性很强又科学、准确，且能够对音乐学研究有所帮助。

一、标准差及其在考古学研究方法中的引入

由于标准差这一统计学分析方法所具有的科学性以及实用性，考古学界已经将其作为数据资料分析方法之一。

（一）平均值的局限与标准差的优势

在以往所见的针对乐钟形制数据进行分析的方法中，求平均值的方法较为常见。这类分析通常先将众多数据求得均值，继而通过观察单个数据或数据整体与平均值距离的远近，来进行分析与判断。平均值本身并不能体现出众数据对均值的偏离程度，但可以通过对单一数据与均值大小的对比，粗略显示出这些数据与均值偏离的程度。这种求平均值的方法，早已被熟知并被广泛运用于日常生活的方方面面。对数据与平均值偏离程度的观察与分析，要视使用者的使用要求与使用目的而定，通常并不要求十分精确。需要肯定的是，求平均值的方法由于简易方便，确实能对研究过程中的分析与判断起到辅助作用，但这一方法并不能用量化的方式精确显示数据整体对于均值的偏离程度，也即笔者所谓“平均值的局限”。

当涉及的数据少且简单时，数据与平均值的关系显而易见；但当数据多且复杂时，对数据与其平均值偏离程度的观察，就绝非一目了然了。而标准差正是对“数据关于均值的离散程度的一种度量”，其公式[2]130为：

其中，Xi表示所统计众数据中的单个数值；i表示被纳入统计的众数据的序号，本公式中规定i=1，即从第一个数据开始统计；N表示被纳入统计的数据的总数量；μ表示众数据的平均值；Σ本身表示“求和”；（Xi-μ）2表示被统计数据中的某一个数据与平均值差值的平方，结合则表示所有被统计数据（第1个到第N个）与平均值差值的平方之和；σ代表标准差，标准差越大，则表示数据整体和平均值之间的偏离程度越大，标准差越小，则表示数据整体和平均值之间的偏离程度越小。下面举例说明。

两组数列2、7、9、14（数列一）和5、6、10、11（数列二），每组的平均值均为8，但显然每组数据对8的偏离程度并不相同，数列一大，数列二小，可这种偏离度无法通过平均值得以显示。将两个数列中的各数分别带入标准差公式，得出如下值：

显然第二组数据对平均值的偏离程度较小。在处理较少数量的数据时，我们尚可以通过直观的目测来把握数据与平均值的差距远近；但在面对众多繁复数据时，对标准差的计算，将成为分析数据偏差程度的有效手段。

正是由于统计学标准差具有上述功能优势，笔者将其作为分析编钟形制数据以及正侧鼓音程音分值偏离程度的工具。

（二）标准差在考古学研究方法中的引入

由于考古学历来重视与自然科学的结合，自然科学的定量思维观念与定量研究方法必然会被纳入到考古学研究之中。定量分析的方法已经被我国考古学界重视并运用，其中亦包括标准差。

自20世纪80年代末期开始，北京大学与吉林大学的考古系开设了“定量考古学”和“计算机考古”课程。在教学过程中，由于没有定量考古学的相关中文教程，考古专业的学生只能通过旁听这方面的课程来补充相关知识。但由于许多学生的数学基础薄弱，且专门的数学课程所涉及的举例往往与考古专业并不相关，因此学习的效果不甚理想。鉴于这一实际情况，北京大学考古系教授陈铁梅于2005年编著了国内第一本定量考古学的专门著作《定量考古学》。此书将定量研究的方法与考古学研究的实例相结合，便于考古专业的学生理解与接受。关于标准差，书中提到，考古学家黄蕴平曾用这一方法对周口店遗址第一地点和南京汤山两地出土的肿骨鹿腿骨的直径做了统计检验；袁靖等人曾用这一方法，对山东贝丘遗址各层贝壳的尺寸做了统计检验。[1]10

总之，随着考古学研究者对定量研究的日益重视，标准差分析的方法已经被广泛使用于考古学领域的研究之中。

（三）标准差可用于钟类乐器的形制分析

标准差之所以可应用于钟类乐器的形制分析，是由钟类乐器自身的形制特点所决定的。根据《周礼·考工记·凫氏》所载，钟体不同部位的尺寸存在比例关系。由于钟体大小不等，直接将钟体各部分的尺寸用来比较，仅能得出显而易见的长度差别，难以得出对钟体设计的规律性认识。因此，将单纯的长度换算成不同部位之间的比值，再对比值加以比较应为上策。分析对象自身的“总体标准差”所显示出的钟体比例对其平均值的偏离程度，能够说明研究对象在设计、制作层面的规范程度；此外，将《凫氏》所载比值代替平均值（即作为标准差公式中的μ值）代入标准差公式，其计算结果（即本文所言“对比标准差”）能够显示出研究对象在设计层面与《凫氏》所载钟形的相近或相别。

总而言之，依笔者之见，器物的尺寸数据有两种情况可以使用标准差的方法进行分析。其一为尺寸固定的状况，符合这一状况的器物，其理论尺寸固定不变，用标准差的方法对实物的尺寸数据进行分析时，标准差大则器物制作的规范性弱，反之则规范性强；其二为器物各部分的尺寸存在固定的比例关系，符合这一状况的器物，虽然其各部位的具体尺寸可以按照既有的比例关系放大或缩小，但由于这类器物各部分尺寸的比例关系固定不变，因此可以用标准差的方法对各部位之间的比值进行分析，标准差大则器物制作的规范性弱，反之则规范性强。而钟类乐器的形制数据之所以能够使用标准差的方法进行分析，正是由于其形制尺寸中存在固定比例关系的原因。

二、对钟类乐器的形制进行标准差分析的操作方法

由于艺术生数学基础相对薄弱，在运用与数学相关的分析方法时，稍有繁琐或生僻便往往会被表面现象吓倒。其实，计算机程序完全可以代替人工运算，而我们需要做的只是对程序运算的结果进行合理的解读。对标准差方法的运用亦是如此，复杂的公式绝不该成为我们使用标准差这一方法的障碍。我们可以借助EXCEL软件能够输入公式自动运算的功能来完成数据计算的中间环节，从而直接进入数据解读阶段。

笔者认为，使用标准差的方法对钟类乐器的形制进行分析，可分为5个步骤。下面将逐一对每个步骤的具体操作方法加以说明，其中涉及EXCEL软件的公式设置方法，在此不做展开，如有需要可查阅相关书籍。

（一）资料与数据的准备阶段

首先将需要整理的乐钟形制数据在EXCEL表格中录入，并将各部位的数据逐一转换成比值。比值的计算可以使用EXCEL公式自动完成（如图1中P3的公式为图中划圈处所示），本文对自动运算的结果保留两位小数。每一列比值仅需设置本列第一行的公式（如图1中P列第3行），其他各行的公式可以通过格式复制来完成输入。

图1 资料准备示意图

图2 平均值与理论值示意图

表2

（二）平均值与理论值

平均值的计算可以使用EXCEL公式自动完成（如Q8的公式为图2中划圈处所示），平均值仅需设置第一列（如图2中Q8）的公式，其他各列的公式可以通过格式复制来完成。平均值可以用来与《考工记》所载理论值进行对比，以便粗略观察实际值与理论值的差距，本文对自动运算的结果保留两位小数。

关于《考工记》中所载钟体各部位的相对长度，笔者曾在《〈周礼·考工记·凫氏〉两种解读方式之比较》[3]72-82一文中做出计算，结果如表1所示：

表1

将此6处相对长度的比例依次取值，除去分子、分母相互颠倒的倒数之一，结果如表2所示。

至此，可将上列计算结果填入EXCEL表格中“《考工记》理论值”的相应位置。

（三）总体标准差

总体标准差的计算可以使用EXCEL公式自动完成（如Q10的公式为图3中划圈处所示），总体标准差值仅需设置第一列（如图3中Q10）的公式，其他各列可以通过格式复制来完成，本文对自动运算的结果保留两位小数。总体标准差可以用来观察各列数据距其平均值的偏离程度，从而反映出钟体各部位在设计、制作层面的规范程度。总体标准差大，则偏离程度较大，规范程度弱；反之则偏离程度较小，规范程度强。

（四）对比标准差

对比标准差的计算相对复杂，由于需要手动将《考工记》理论值作为μ值代入标准差公式，因此需要将标准差公式分为两步进行运算。

步骤一：先求得公式中（Xi-μ）2的部分，μ值在此即《考工记》理论值。这一部分公式原先的意义为“与平均值的差的平方”，当将《考工记》理论值作为μ值代入其中后，这部分公式的意义即转换为“与理论值的差的平方”，其计算可以使用EXCEL公式自动完成（如Q13的公式为图4-1中划圈处所示）。设置第一列第一行（如图4-1中Q13）的公式后，其他各列的第一行可以通过格式复制来完成；各列的其他各行则需要在公式复制之后再逐一进行公式改写（如Q14的公式为“=（Q4－Q9）^2”，Q15的公式为“=（Q5－Q9）^2”等），不能通过复制直接完成。为保证运算结果的精确性，此处自动运算的结果建议保留无限小数。

步骤二：标准差公式中剩余的计算，可以使用EXCEL公式自动完成（如Q11的公式为图4-2中划圈处所示），自动运算的结果保留两位小数。步骤二的计算仅需设置第一列（如图4-2中Q11）的公式，其他各列可以通过格式复制来完成。

对比标准差可以用来观察各列数据与《考工记》所载理论值的偏离度，从而反映出各套钟的形制与《考工记》所载钟形的相符程度。对比标准差大，则偏离度大，与理论形制相差较大；反之则偏离度小，与理论形制较为相符。

图3 总体标准差示意图

图4-1 对比标准差示意图

图4-2 对比标准差示意图

（五）数据复查

为了保证数据计算结果的准确有效，需要对数据进行复查。在能够保证公式设置完全正确的状况下，对数据的复查只需校对舞脩、舞广等原始数据与数据来源是否一致即可。各部位数据的比例以及标准差、平均值的设置，由于是EXCEL公式自动计算，当原始数据改动时，由公式计算的结果便会自动更新，无须重新输入公式计算。但在分析编钟形制数据的过程中，经常会碰到由于乐钟局部损坏而出现的数据不全的状况，由于统一设置的EXCEL公式并不能自动剔除无效数据，因此需要手动删除。

如图5所示，由于本套编钟其中一钟的铣间残而无数据，因此需要手动将该钟关于铣间的比值结果删除，以保证公式计算结果的准确有效。

至此，形制分析的数据资料全部准备完成，可根据分析的结果，对数据的意义进行后续解读。

三、标准差在钟类乐器形制分析中的意义

使用标准差的方法对编钟形制数据进行分析，是研究方法上的新尝试。笔者经过审慎的思考，对使用标准差的方法求得编钟形制总体标准差以及对比标准差的意义作如下总结。

图5 数据复查示意图

（一）求钟体各部位数据比例总体标准差的意义

1.成编列的钟，其总体标准差的大小所指向的是此套编钟在设计、制作层面的规范程度，总体标准差越小则编钟形制在设计与制作层面的规范性越强，反之则规范程度越弱。2.同一地域所出土的同类、单件钟，其总体标准差的大小是此地区对此类钟在设计层面是否具有统一规范的显示，标准差越小则代表越可能具有一定之规，反之则代表形制差异较大而规范度较弱。3.当总体标准差较小时，则可将所统计的此组比值的平均值，视为此组钟体设计的相对规范，并将此相对规范与《考工记》所载理论规范相对比，进一步分析形制的差异。4.不同统计对象同组数据（如均为）的总体标准差可以进行比较，其所指向的是不同编钟相同部位设计规范程度的对比。5.相同统计对象的不同组数据之总体标准差可以进行比较，其所指向的是同一套编钟不同部位之间设计规范程度的差别。6.不同统计对象的不同组数的总体标准差，笔者认为对其进行比较是无意义的。

（二）求钟体各部位数据比例对比标准差的意义

1.将《考工记》所载钟体各部位数据的比例作为μ值代入标准差公式，则得出所统计的钟体各部位数据比例与《考工记》所载比例的标准差，本文中称其为“对比标准差”。2.总体标准差较小的钟组，可通过对比标准差来与《考工记》所载钟形的设计规范相对比，对比标准差值的大小，所指向的是统计对象与《考工记》所载钟形在设计规范层面的离合程度，差值越大则说明其形制越有别于《考工记》，反之则说明其与《考工记》所载钟形在一定程度上相符，且存在相关的可能。3.不同统计对象同组数据之间的对比标准差可以进行比较，其所指向的是不同编钟相同部位的形制与《考工记》所载离合程度的对比。4.相同统计对象的不同组数据的对比标准差可以进行比较，其所指向的是同一套编钟不同部位的设计规范与《考工记》所载钟形差别程度的对比。5.不同统计对象的不同组数据的对比标准差，笔者认为对其进行比较是无意义的。6.统计对象的总体标准差与对比标准差越接近，则说明其平均值越接近《考工记》所载比例。7.某组数据的总体标准差较小但对比标准差较大时，则说明此套编钟的形制有别于《考工记》而自成体系，因此可将这组数据的平均值与《考工记》理论比例相比较，进一步分析此比值偏大或偏小与分母、分子的关系，进而把握钟体形制与《考工记》所载的细微区别。8.当数据分析结果呈现出总体标准差和对比标准差均较大的状况时，由于总体标准差大说明统计对象自身所具有的统一规范性弱，因此哪怕是与《考工记》相对比的对比标准差亦大，也不能说明统计对象有别于《考工记》而趋向于自成体系，因其形制的统一性差而无所谓“体系”可言。

由于《考工记》经学者研究认为很可能是齐国的官书，其中记载的乐钟形制是甬钟形制的理论值，也就是说，《考工记》所载形制规范，原本并非为所有地区、所有乐钟类别的钟体形制规范，但《考工记》所载钟形是关于钟体形制比例的唯一记载，它所具有的这种唯一性，反而将它推至“参照物”的地位。总之，笔者认为，求“对比标准差”这种实际值与理论值的对比参照是有意义的。

通过在对编钟的研究过程中使用标准差方法的实践与思考，笔者认为标准差分析具有意义的关键在于分析对象是否具有统一性，这是能够反映出理性因素的参与程度的。比如形制的统一性高，则乐钟在设计、铸造层面所具有的规范性强；相同音程中音分值的统一性差，离散度大，则钟上双音的关系并不规范，偶然性大，双音状态所处的层次较低。

统计学标准差这一方法的使用，是乐钟研究乃至音乐学研究方法上的新尝试，其使用的方法、对象、意义尚有待继续发掘及修正，以期在研究领域做出新的探索或对旧题提供新的理论支持。

[1] 陈铁梅.定量考古学[M].北京：北京大学出版社，2005.

[2] S.伯恩斯坦，R.伯恩斯坦.统计学原理——描述性统计学与概率[M].史道济，译.北京：科学出版社，2002.

[3] 隋郁.《周礼·考工记·凫氏》两种解读方式之比较[J].中国音乐，2011（1）.

The operation method and significance of statistic alstandardd eviationinbell in strumen talanalys is——ACaseStudyofFormAnalysis

SuiYu

To carry out the standard deviation analysis on the bellin strumental shape data is on the purpose to observe the standard degree of the design and production level of chimes.In practice,this analysis can be done by software,so that the staffcan focus on the interpretation of the results,which can also ensure that the output of the results is quick and easy and accurate.In addition,the standard deviation analysis method can also be used to observe the same intervalrelation ship and the deviation of different tone value,which has been applied by the author to the analysis on the interval of main and side drums of its tone value deviation.

Chimes,Quantitative Research,Standard Deviation,Shape

J611

A

1003-3653（2017）05-0099-07

10.13574/j.cnki.artsexp.2017.05.009

2017-05-02

隋郁（1982～），女，山东青岛人，博士，郑州大学音乐考古研究院讲师，研究方向：音乐考古学。

①《考工记》中所言“征长”，即今言“中长”，本文中统一为“中长”。

（责任编辑、校对：关绮薇）