例谈“垂线段最短”在最值问题中的巧妙运用

姚跃贞

摘 要：近年来，最值问题频繁出现在各地数学中考卷中，甚至编入压轴题，由此可见其重要性，在初中阶段，最值问题一直是个难点也是一个重点，它要求学生具有很强的问题分析能力与综合运用数學知识、数学思想方法解决问题的能力。本文利用“垂线段最短”巧妙解决各类最值问题。

关键词：“垂线段最短”；动点；最值；巧妙运用

近年来，最值问题屡屡受到中考试题的青睐，其中“垂线段最短”在最值问题中的贡献不容忽视。它的完整表述如下。

垂线公理垂直定理：

1.在同一平面内，过一点（直线上或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直。

2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（简称垂线段最短）。

利用“垂线段最短”可以巧妙地解决一些最值问题。

一、“垂线段最短”在国边形中的巧妙运用

例1：如图1，矩形ABCD中，BC=8，CD=4，E、F两点分别是BD、BC上的动点，求EF+CE的最小值。

解析：此题是两动点E、F，一定点C。

过点C作关于BD的对称点C，再过点C作CF⊥BC，垂足为F，交BD于E，由垂线段最短可得CF的长即EF+CE的最小值，可求得[CC=1655]，则C′F=32/5。

例2：如图2，菱形ABCD中，对角线BD=8，AC=6，E、F、G分别是BC、CD、BD上的动点，求EG+FG的最小值。

解析：此题是三动点E、F、G，学生会感到难，实际上，可假设一定点，如假设点E是定点，过点E作BD的对称点E（点E恰好落在AB边上），再过点E作EF⊥CD，垂足为F，交BD于点G，则垂线段EF的长即为EG+FG的最小值，由等积法可求得[EF=245]。

点评：以上两例题都运用了对称思想以及垂线段最短的性质，要求学生具备一定的数学综合素养。

二、“垂线段最短”在三角形中的巧妙运用

例3：如图3，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点P是AD边上的一个动点，点Q从点A出发，沿线段AD以每秒2个单位的速度运动到P点，再沿线段PB以每秒1个单位的速度运动到点B后停止，若三角形的边长为4，问：当点P在何处时，点Q在整个运动中用时最少？最少时间是多少秒？

解析：由AD⊥BC，△ABC是等边三角形可得∠BAD=∠CAD=300，则点P到AC的距离是点P到点A的距离的一半，由于点Q沿线段AD以每秒2个单位的速度运动，沿线段PB以每秒1个单位的速度运动，到点B后停止，则过点B作BE⊥AC，垂足为E，交AD于点P，则点Q从A运动到P的时间即为点P到点E所用的时间，因此，点P在离点A[433]处时，点Q在整个运动中用时最少，最少时间为[23]秒。

例4：在一次机器人测试中，要求机器人从点A出发到达点B处，如图4，已知点A在点O的正西方600cm处，点B在点O正北方300cm处，且机器人在射线AO上的速度为20㎝/s，在射线AO上方以及下方的速度为10cm/s，试在OA上找一点P，使机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短，并求出AP的长度。

解析：由题意知机器人在射线AO上的速度为20cm/s，在射线AO上方以及下方的速度为10cm/s，在AO下方，过点A作射线AD，使∠DAO=300，再过点B作BC⊥AD，垂足为C，交AO于点P，机器人沿A→P→B路线行进，所用时间最短，此时[PO=1003]cm，则[AP=（600-1003）]cm。

点评：以上两例题30°角所对的直角边等于斜边的一半以及垂线段最短的性质，同样需要学生具备一定的数学综合素养。

三、“垂线段最短”在压轴题中的运用

例5：如图5，抛物线[y=12x2+mx+n]与直线[y=-12x+3]交于A、B两点，交[x]轴于D、C两点，连结AC、BC，已知点A（0，3），C（3，0）。

（1）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值。

（2）P为[y]轴右侧抛物线上一动点，连结PA，过点P作PQ⊥PA交[y]轴于点Q，问：是否存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）设E为线段AC上一点（不含端点），连结DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒[2]个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？

解析：由题意易求得抛物线的解析式为[y=12x2-52x+3]。令[y=0]，得[12x2-52x+3=0]，解得[x1=2，x2=3]所以点D（2，0），由点A（0，3），点C（3，0）可求得直线AC的解析式为[y=-x+3]，作点D关于AC的对称点D，易求得点D（3，1），过点D作DH⊥OA于点H，交AC于点E，易证得四边形OCDH为矩形，所以点E的纵坐标为1，把[y=1]代入[y=-x+3]，得[x=1]，所以点E的坐标是（2，1）。

例6：在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（-6，0），如图6，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限。现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG。

（1）如图7，若α=600，OE=OA，求直线EF的函数表达式。

（2）若α为锐角，[tanα=12]，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积。

（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为[2∶1]？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由。

解析：由于[tanα=12]就一个定值，所以当AE⊥OE时，AE取得最小值。易求得[OE=6×25=125]，所以[S正方形OEFG=（125）2=1445]。

归纳反思：综合上述6个例题描述，双动点或三动点形成的最值问题，涉及数学思想很多，包括实际问题转化函数关系的建模思维，根据问题进行讨论分析的思维，解决该问题需要综合一次函数的性质，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，勾股定理，等腰三角形，三线合一等数学知识，条件要求苛刻，立意高，综合性强，需要学生有较好基础才能。因此，抓好学生的数学基本素养是立身之本。