谈分部积分法在求不定积分中的作用

吕德杨+徐立新

摘 要：求不定积分有很多方法，但分部积分法在求不定积分时，往往有很好的效果，有不少种类的函数都可用分部积分法求解，而且比较容易。

关键词：不定积分；分部积分法；作用

分部积分公式：

对形如∫xcosxdx，∫xexdx和∫x2lnxdx等这样的不定积分，利用换元法无法求解。但利用两个函数乘積的求导法则，我们可推导出一个新的不定积分的方法。

设函数u=u（x），v=v（x）具有连续的导函数，则我们有：

（uv?）=u?v+uv?uv?=（uv）?-u?v

则∫uv?dx=∫（uv）?dx-∫u?vdx

因为v?dx=dv，u?dx=du，所以，我们有∫udv=uv-∫vdu （1）

我们称上面的公式就叫做分部积分公式。

下面我们来看一看它在求不定积分中的一些作用：

例1 求∫xcosxdx

解：原式=∫xdsinx

=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C

例2∫xe-xdx

解：原式=-∫xe-xd（-x）=-∫xd（e-x）

=-xe-x+-∫e-xdx=-xe-x+-∫e-xd（-x）

=-xe-x-e-x+C

例3 ∫xlnxdx

解：原式==

=

例4 求∫arctanxdx

解：

原式=

=

例5 求∫excosxdx

解：

原式=

于是

所以：

例6：求∫xarctanxdx

解：原式=

由上面的举例我们看到，分部积分法对于幂函数与三角函数之积，幂函数与指数函数之积，幂函数与对数函数之积，幂函数与反三角函数之积以及一些反三角函数、指数函数与三家函数之积等方面都有较好的作用。总之，分部积分法在求不定积分之时，往往有意想不到的效果，而且对于一些无从动手之题，也不妨用分部积分法来试一下。

参考文献：

[1]高等数学（上册）.汤四平、赵雨清、陈国华主编[M]北京：北京理工大学出版社，2009.

[2]同济大学数学系.高等数学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2001.139-145

[3]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2002.endprint