Duffing 系统的主--亚谐联合共振1)

李 航 申永军,2) 李向红 韩彦军 彭孟菲

*(石家庄铁道大学交通工程结构力学行为与系统安全国家重点实验室，石家庄 050043)

†(石家庄铁道大学机械工程学院，石家庄 050043)

**(石家庄铁道大学数理系，石家庄 050043)

引言

Duffing 系统是动力学中一类典型的非线性系统，能够描述工程领域中的诸多非线性模型，例如转子系统的非线性行为[1-3]，船的横摇运动[4-5]，大型结构的振动[6]等.在动力学领域，目前对Duffing 系统的研究主要为周期振动解和混沌控制两方面.韩祥临等[7]利用广义变分迭代方法研究了随机激励下Duffing 系统的渐进解，并讨论了解的一致有效性.李瑞红等[8]研究了一类含三次耦合项的二自由度Duffing 系统，发现一种由周期运动直接通往混沌的途径.Shen 等[9-10]研究了一类含分数阶微分项的Duffing 系统，提出等效刚度和等效阻尼的概念.Holmes 等[11]用二阶平均法研究了一类具有负非线性刚度的Duffing 系统，分析了周期解的分岔行为.张毅等[12]以多频参数激励Duffing 系统为模型，基于快慢分析法得到模型的快子系统和慢变量，分析了快子系统的分岔行为.曲子芳等[13]以周期变化的双频激励van der Pol-Duffing 系统为模型，研究了系统的簇发振荡模式及非光滑行为演化机制，给出了平衡曲线和分岔图及在非光滑边界产生非光滑行为的演化行为分析.吕小红和罗冠炜[14]基于网格划分的思想设计了非线性系统多参数分岔的计算方法，利用此方法分析了Duffing 系统在双参数平面上的分岔特性.毕勤胜和陈予恕[15-16]研究了一类强非线性Duffing 系统，利用功能关系得到系统的周期解，给出系统从主共振到1/3 次亚谐分岔的转迁集，应用广义牛顿法得到系统的对称破缺分岔转迁集的解析表达式.Kimiaeifar等[17]研究了一类van der Pol-Duffing 系统，利用同伦分析法得到了系统的周期解.Jin 和Hu[18-19]研究了一类具有滞后状态反馈的Duffing 系统在窄带随机参数激励下的主共振，和一类双时滞Duffing 系统在窄带随机激励下的反馈控制，从振动控制的角度讨论了反馈增益和时滞对系统的影响.戎海武等[20]研究了Duffing 系统在谐和与窄带随机噪声联合激励下的参数主共振响应和稳定性问题，分析了系统的失稳和跳跃现象.Hosseini[21]研究了Duffing 系统的主共振，讨论了高阶近似解中的伪解问题，提出一种检测频率响应方程中是否存在伪解的判据.

以往对各类Duffing 系统的周期振动解的研究可大致分为两类，一类是从系统结构角度，考虑结构的复杂性以建立更符合工程实际的动力学模型，例如文献[9-10]中的分数阶微分项可以更好地描述系统中的黏弹性阻尼；另一类是研究复杂激励下系统的动力学行为，例如文献[7,18,22]研究了随机激励下Duffing 系统的解.Nayfeh 在其专著[23]中利用多尺度法给出了Duffing 系统的3 倍超谐与1/3 次亚谐联合共振的解.姜源等[24-25]做了更进一步的工作，利用平均法得到了分数阶Duffing 系统和van der Pol 系统的3 倍超谐与1/3 次亚谐联合共振的解，并分析了分数阶项对系统动力学行为的影响.

在实际问题中，一个复杂的系统往往受到多个激励源同时作用.以汽车系统为例[26]，汽车在行进过程中的振动激励源主要是发动机激励、路面激励和风激励，这些激励通常含有不同的频率成分.Duffing 系统在受多频激励时[23-24]具有更加复杂的动力学现象，尤其是联合共振较为突出.目前对Duffing 系统周期振动的研究主要是在单频激励下发生主共振[9,21]、亚谐共振[27-29]或超谐共振[10,30-31]，或者在多频激励下发生超谐--亚谐联合共振[23-24]，而对主--亚谐联合共振的研究尚未见报导.本文以多频激励的Duffing 系统为对象，研究其同时发生主共振和1/3 次亚谐共振时的动力学行为与稳定性.

1 Duffing 系统主--亚谐联合共振的一次近似解

受多频激励的Duffing 系统可以描述为

为研究系统的主--亚谐联合共振，对系统参数做如下限制ω1=ω0+εσ1,ω2=3ω0+εσ2,ξω0=εµ,α1=εα,F1=εf,f=O(1),σ1=O(1),σ2=O(1).这样式(1)成为

应用多尺度法[32]研究系统的一次近似解.引入两个时间尺度T0=t和T1=εt，并假设系统(2)的解具有如下形式

将式(3)代入式(2)，比较ε 的同次幂，得到一偏微分方程组

式(4a)的解为

也可以写成复数形式

将式(6)代入式(4b)，为消除永年项，要求

分离式(7)的实部和虚部，得到慢变振幅a和相位β 满足的微分方程组

从而系统(2)的一次近似解可以表示为

其中，a和β 由式(8)确定.

2 定常解及其稳定条件

从式(8)可以看出，系统定常解存在的必要条件是β-σ1T1和3β-σ2T1均为常数，这时有D1β=σ1=σ2/3，进而有ω1=ω2/3，即只有当两个激励频率满足特定倍数关系时，才能求得主--亚谐联合共振的定常解.设σ=σ1=σ2/3，β-σT1=φ，从而式(8)可以写成自治微分方程组

相应的一次近似解成为

为检验式(10)和式(11)确定的一次近似解的精确程度，取一组参数µ=0.1，ε=0.1，α=1，ω0=1，F1=0.2，F2=2，计算稳态响应的幅频特性，计算时间t=1000 s，将前800 s 响应略去，取后200 s 响应的幅值为稳态幅值，得到系统(2)的幅频响应曲线如图1 所示.

图1 幅频曲线的比较Fig.1 Comparison of amplitude-frequency responses

取激励频率ω1=1.22,ω2=3ω1,初值(a0,φ0)=(0.1,0),代入式(10)计算(a,φ)，再将结果代入式(11)计算近似解；将式(11)求导得到速度响应，再将(a0,φ0)代入式(11)和得到(u0,=(-0.06,0)，然后将其作为初值代入系统(2)计算数值解，最后得到系统(2)的位移时间历程如图2 所示.图1 和图2 中，圆圈表示数值解，实线表示解析解.可见，解析解的近似程度良好.

图2 位移时间历程的比较Fig.2 Comparison of displacement time histories

从幅频曲线中可以看到，系统在一定频率范围内存在多解现象.事实上，若调整仿真的初始条件可以得到更多的解，而系统多解和不稳定的现象受近似解中的第一部分，即acos(ω1t+φ)支配.因此，在系统定常解的稳定性分析中，只需考察这一部分.

令式(10)中D1a=0,D1φ=0,可以得到稳态振幅和相位满足的代数方程组

进一步可以得到幅频响应方程和相频响应方程分别为

下面考察稳态解的稳定性，用慢变振幅a和相位φ 组成二维状态向量V=[a,φ]T，构造二维向量函数

其中P=trJ，Q=det[J].

由Lyapunov 稳定性理论可知，稳态解渐进稳定的条件是P＜0 且Q＞0.对于阻尼系统，恒有P＜0.因而Duffing 系统主--亚谐联合共振的定常解稳定条件为

取一组参数µ=0.1，ε=0.1，α=1，ω0=1，F1=0.1，F2=4，利用式(13)计算稳态响应的幅频特性和相频特性，式(16)判断稳定性，得到幅频曲线和相频曲线分别如图3 和图4 所示，其中圆圈表示稳定解，星号表示不稳定解.从图3 和图4 可见，第一部分最多存在7 个解s1～s7，所以系统(2)也最多存在7 个解S1～S7，其中有4 个稳定解，3 个不稳定解.以σ=2 为例，系统(2)的3 个稳定解S1，S2 和S4 的周期轨道如图5 所示.将图3 分别与主共振和1/3 次亚谐共振[33]比较可以看出，s1～s3 是主共振的特性，s4～s7 是1/3 次亚谐共振的特性.

图3 定常解的幅频响应Fig.3 Amplitude-frequency curves of steady-state response

图4 定常解的相频响应Fig.4 Phase-frequency curves of steady-state response

图5 系统的周期轨道Fig.5 Periodic orbits

图5 系统的周期轨道(续)Fig.5 Periodic orbits(continued)

3 系统参数的影响

为确定非线性系数α 对系统响应的影响，固定一组参数µ=0.1，ε=0.1，ω0=1，F1=0.1，F2=8 并改变α 进行数值计算，其中，调谐参数σ 的范围取[-5,5]，也即ω1的范围为[0.5,1.5]，ω2的范围为[1.5,4.5].图6 给出非线性系数α 对系统的影响.结果显示，当α ＞0 时，在一定频率范围内主要影响振幅，刚度逐渐硬化使得响应振幅减小，幅频曲线的弯曲程度增加，改变了系统的频率特性；当α ＜0 时，对振幅、多值性和稳定性均有影响，刚度软化使得响应的共振峰逐渐减小，趋于稳定.

此外，为确定两个激励幅值对系统响应的影响，固定参数µ=0.1，ε=0.1，ω0=1，α=1，F2=16 改变F1、固定参数µ=0.1，ε=0.1，ω0=1，α=1，F1=0.1 改变F2，计算得到系统的幅频曲线分别如图7 和图8 所示.从图中可以看到F1对幅频特性的骨架线影响很小，对幅频曲线的形态影响较大；而F2增大使联合共振的骨架线向高频附近移动，幅频曲线的形态变化不大.

图6 非线性系数α 的影响Fig.6 Effects of the nonlinear coefficient α

图7 F1的影响Fig.7 Effects of excitation amplitude F1

图8 F2的影响Fig.8 Effects of excitation amplitude F2

4 结论

本文利用多尺度法得到了Duffing 系统的主-1/3 次亚谐联合共振的解析解.由Lyapunov 稳定性理论得到了定常解的稳定条件.基于此条件分析系统响应的稳定性，发现系统响应既有主共振的特性又有1/3 次亚谐共振的特性，各个解支的稳定性与仅发生主共振或亚谐共振时相同.讨论了系统参数对定常解的幅频特性和稳定性的影响，发现在一定频率范围内，非线性系数α 分别取正负时对系统响应有截然不同的影响：α ＞0 时，仅影响各个解支的幅值，α ＜0 时，对解的数量、稳定性和幅值均有影响.此外，外激励的幅值F1和F2也分别影响着幅频曲线的形态和骨架线.