三种典型轴向运动结构的振动特性对比1)

刘星光 唐有绮 周 远

（上海应用技术大学机械工程学院，上海 201418）

引言

目前，轴向运动结构的振动问题受到了广泛的关注.随着机械产业的不断发展以及人们对机械产品的生产效率不断深入的研究，特别是起重机的悬臂、传送带、带锯片以及带钢的生产效率的研究，发现轴向运动产生的横向振动对机械产品的生产效率造成一定的影响.如果我们从这些工程问题出发，以数学和物理的视角研究这些轴向运动结构的振动问题，可以提高加工质量和效率，对实际中的相关工程应用给予一定的指导与改进.因此，对轴向运动结构横向运动的分析有着非常重要的工程意义，也有着众多学者的关注[1-12].

在这些运动结构中，Euler 梁、窄板和板是其中较为典型的3 种模型.其中Euler 梁是一维模型，板是二维模型，而窄板作为二者之中的特殊模型.现阶段众多学者对于这3 种模型进行了深入的研究.轴向运动梁是轴向运动结构中最普遍的振动模型，无论是线性还是非线性模型，都已进行了广泛的研究.胡璐等[13]研究了黏性流体环境下V 型悬臂梁的流固耦合振动特性.李彪等[14]研究了轴向运动黏弹性梁在混合边界条件下的非线性振动.高晨彤等[15]分析了考虑剪切效应的旋转功能梯度材料楔形梁的横向弯曲振动.这些研究并没有考虑到梁的长宽比对其频率的影响.

对于窄板来说，它是板的一种特殊形式.Jeronen[16]给出了非零弯曲刚度的真空轴向移动的平板模型，并且确定了线性模型预测的临界速度.Banichuk 等[17]研究了轴向运动平板在两辊之间的不稳定性.Jeronen 等[18]分析了在小圆柱变形的情况下，轴向运动膜和平板与周围轴向运动理想流体相互作用的振动情况.Saksa 等[19]分析了周围流动流体对运动黏弹性板性能的影响.罗骄[20]研究了对边简支部分浸液轴向运动薄板的非线性振动.Banichuk 等[21]研究了匀速运动平板在两辊之间的平面外动力响应，考虑了板的长宽比对频率的影响.

对于板的横向振动，已有众多学者对其进行了深入的研究.邵明月等[22]分析了不同的长宽比对变密度纸带振动复频率的影响.胡宇达和张金志[23]针对磁场环境中轴向运动的导电板进行了建模问题的研究，分析了磁场对动力学系统分岔特性的影响.以上的研究工作并未涉及到对边自由的边界条件.Robinson[24]建立了具有对边夹紧对边自由边界条件和对边简支对边自由边界条件下的运动方程，分析了板的长宽比对振动频率的影响.Robinson 和Adali[25]研究了夹紧简支和简支自由边界条件下截面形状对平板稳定性的影响.文献[26-28]采用数值求解的方法对自由边界条件下的板进行了分析.Kim等[29]建立了平面内均匀轴向张力作用下匀速运动窄板的模态谱元，研究了对边自由边界条件下的频率.Malik 和Bert[30]研究了不同边界条件下长宽比对频率的影响.对于自由边界的板还有两种特殊情况，即板的刚性振动.高维成等[31]通过约束试验数据得出自由--自由结构模态参数，画出了悬臂结构前六阶刚性约束振型图形.姜世杰等[32]运用自由梁理论写出具有自由边界的板的试函数，并算出了其固有频率.但是这些文献并没有考虑自由边界条件下，长宽比对自由边界板频率的影响.

在工程实际中，针对3 种轴向运动结构，不同的物理参数对振动的影响并没有相关的文献去研究.Wang 等[33]利用铁木辛柯梁和窄板样条径向基函数对碳纳米管进行了自由振动分析.Zhong 等[34]采用弯曲振动分析方法，研究了温度在4.2 K～300 K 时空间铝梁和空间铝板的动态力学性能.这些研究只涉及到两种模型，且没有分析长宽比对频率的影响.

针对以上缺乏的研究，本文为工程实际中在不同的物理参数下应该采用何种模型提供了依据.本文采用解析和数值验证的方式进行分析.Shen 等[35]运用谐波平衡法得到的近似解与数值计算结果进行了比较，验证了近似解的正确性.Wen 等[36]和Tang 等[37]采用多尺度法得到的解与数值计算得到的结果进行了比较，验证了多尺度得到的结果的正确性.本文采用微分求积法得到的结果对复模态法得到的结果进行验证.

本文研究了3 种典型轴向运动结构的振动特性的对比.考虑阻尼的影响，给出了其控制方程，并通过复模态方法和数值算例对其进行求解，分析了3 种结构的固有频率随轴速的和长宽比的变化情况，研究了不同轴速、阻尼、刚度和长宽比等参数混合时对窄板和梁的第一阶固有频率的影响，着重分析了长宽比和轴速对窄板和梁的第一阶固有频率的相对误差的影响.通过对比分析，得出3 种结构在长宽比和速度给定时应该选择何种模型的结论，为振动结构的研究提供了重要参考价值.

1 控制方程

考虑轴向运动板、窄板和梁这3 种模型，密度为ρ，截面面积为A，弹性模量为E，截面绕中性轴的转动惯量为I，轴力为P，两支撑之间的长度为L，板的宽度为b，阻尼力的黏性阻尼系数为c，轴速为γ，板的物理模型如图1 所示.

图1 轴向运动板的物理模型Fig.1 The physical model of the axially moving plate

引入无量纲参数

在文献[38-40]的基础上加上阻尼的影响，分别得到3 种典型结构的控制方程.则板的无量纲化微分方程和对边简支对边自由边界条件分别为

窄板的无量纲化微分方程和简支边界条件分别为

梁的无量纲化微分方程和简支边界条件分别为

式中，w(x,y,t)，v(x,t)，u(x,t)分别为板、窄板和梁的横向位移，而D=Eh3/[12(1-µ2)]是板的抗弯刚度，其中µ为泊松比，h为板的厚度.

2 复模态求解

轴向运动板的解可设为

其中Wnm是板的第nm阶模态函数，Anm表示待定的复函数.λnm=δnm+iωnm是板的第nm阶复频率，虚部ωnm是板的第nm阶固有频率，而实部δnm表示振幅随着时间的衰减率.

将式(8)代入板的控制方程(2)和边界条件(3)中，得

假设方程(9)的解为

板的y方向满足自由边界的试函数可设为[41]

其中前两个试函数表示板的刚性位移，θ1，θ2，···，θM-2是下面超越方程的根

取Ym为无阻尼静止的梁的模态函数，其满足正交关系.式(9)等式两端乘以Ym，并在区间[0,1]上积分得

将式(14)中的第2 项和第3 项根据分布积分展开得

将边界条件(10)代入方程(16)中整理得

式(18)是四阶常微分方程，它的解为如下的形式

其中ajn(j=1,2,3,4)是待定常数，将上式代入方程(18)中得

求解方程(21)得

将边界条件(10)代入式(20)可以得到系统的色散方程

由式(20)和式(11)得出板的模态函数为

在本文中，将式(12)中的3 个试函数代入上式求得的模态函数分别表示为Wn1，Wn2和Wn3.

同理，轴向运动窄板和梁的解可设为

其中，Vn和Un分别是窄板和梁的第n阶模态函数，Bn和Cn表示待确定的复函数。λn=δn+iωn是窄板和梁的第n阶复频率，虚部ωn是窄板和梁的第n阶固有频率，而实部δn表示振幅随着时间的衰减率.

把板的方程(26)中的Ym=1 可以得到窄板和梁的模态函数，而板的系数o，p和q替换为窄板的系数e1，e2和e3或者梁的系数f1，f2和f3.其中

3 微分求积法

前面采用复模态法对板、窄板和梁进行了近似求解，本节采用微分求积法对前面得到的近似解析结果进行验证.

采用微分求积法对控制方程进行离散，3 种模型的计算区域为0 ≤x≤1，0 ≤y≤1.假定x方向的网点个数是Nx，y方向的网点数为Ny.在本文中采用与Chen 和Tang[42]相同形式的采样点.

板的控制方程(2)的解可设为

其中Ym(y)分别取式(12)中的3 个试函数，将式(30)代入板的控制方程(2)中，结果乘以Ym(y)并将y从0 到1 进行一次积分，得到

则板的微分求积近似离散为[43]

将上式写成矩阵形式为

其中，M，G和K分别表示质量矩阵、陀螺矩阵和刚度矩阵，它们的维数均为(N-2)×(N-2).X是广义位移矩阵，其维数为(N-2)×1.

同理，窄板的微分求积离散形式为

梁的微分求积离散形式为

将式(36)中的λnm替换为λn，X替换为V和U可以得到窄板和梁的矩阵形式.

若给定E=207 GPa，L=2 m，b=0.5 m，h=0.01 m，ρ=7850 kg/m3，P=6750 N，µ=0.3和c=0.27，板、窄板和梁前四阶固有频率随轴速的变化如图2～图4 所示.其中下文坐标中的ω 表示模态函数为Wn1时的板的频率和窄板的频率.其中图2 中实线和实点分别代表板频率的解析和数值结果；圆圈和加号分别代表窄板频率的解析和数值结果.图3 中实线和实点分别代表板频率的解析和数值结果.图4 中实线和实点分别代表梁频率的解析和数值结果.

图2 板和窄板的频率(ωn1和ωn)随轴速的变化Fig.2 The frequencies of the plate(ωn1)and the panel(ωn)vary with the axial speeds

图3 板频率ωn2和ωn3的解析与数值结果的对比Fig.3 Comparisons of the analytical and the numerical results of the frequencies ωn2and ωn3of the plate

图4 梁频率的解析与数值结果的对比Fig.4 Comparison of the analytical and the numerical results of the frequencies of the beam

从图2～图4 可以看出，当轴速小于27.84 m/s时，3 种模型的频率均随轴速的增大而减小.从图2 中可以看出两者的频率随轴速的变化情况相同，这也说明了当轴速一定时，窄板是板的一种简化形式.从图3 和图4 中可以看出模态函数为Wn1的板和梁的频率随轴速的变化较明显，对于模态函数为Wn2和Wn3时，板的频率变化很小.从数值上看，对于模态函数为Wn1时的板和窄板，轴速等于38.03 m/s 时达到临界点；对于模态函数为Wn2和Wn3的板振动的第一阶固有频率大于梁和窄板的第四阶固有频率.当轴速达到临界轴速27.84 m/s 时，梁的第一阶固有频率开始失稳.由于高频率的现象不易发生，所以模态函数为Wn2和Wn3时板的振动情况不常见.

若假定b=0.5 m，h=0.01 m，γ=1 m/s，P=6750 N，ρ=7850 kg/m3，µ=0.3，c=0.001 和E=207 GPa，3 种模型的前四阶频率随长宽比的变化情况如图5～图7 所示.其中图5 中实线和实点分别代表板频率的解析和数值结果；圆圈和加号分别代表窄板频率的解析和数值结果.图6 中实线和实点分别代表板频率的解析和数值结果.图7 中实线和实点分别代表梁频率的解析和数值结果；虚线和加号分别表示窄板频率的解析和数值结果.

图5 表示模态函数为Wn1的板和窄板的频率随长宽比的变化.很明显，两者的变化情况是相同的，再次说明了窄板是板的一种简化形式，即不考虑y方向的影响，同时从图上可看出固有频率随着长宽比的增大而减小，且在长宽比小于2 时，频率急剧减小，之后减小的幅度逐渐减小.

图5 板和窄板的频率(ωn1和ωn)随长宽比的变化Fig.5 The frequencies of the plate(ωn1)and the panel(ωn)vary with the aspect ratios

图6 表示模态函数为Wn2和Wn3时，板的频率变化情况.从图上可看出随着长宽比的增大，板的振动频率先减小后增大，在长宽比为1.6 时出现转折点.

图6 板频率ωn2和ωn3随长宽比的变化Fig.6 The frequencies of the plate ωn2and ωn3vary with the aspect ratios

图7 表示梁和窄板的频率随长宽比的变化，梁的频率随长宽比的增大而增大，并且随着频率阶数的增加，频率随长宽比的变化更加明显.另外，随着长宽比的增大，窄板的频率逐渐接近于梁的频率，当长宽比等于14.5 时，以窄板为基础，窄板和梁的第一阶频率的相对误差小于10%.

图7 梁和窄板的频率随长宽比的变化Fig.7 The frequencies of the beam and the panel vary with the aspect ratios

选取节点数N为21，图2～图7 中也表示了复模态法和微分求积法的比较.从中可以看出，解析方法和数值方法吻合较好，这也验证了解析结果的正确性.

图8 窄板和梁的轴速和刚度对一阶固有频率的影响Fig.8 The influence of axial speed and the stiffness of the panel and the beam on the first order natural frequency

图8 窄板和梁的轴速和刚度对一阶固有频率的影响(续)Fig.8 The influence of axial speed and the stiffness of the panel and the beam on the first order natural frequency(continued)

给定c=0.27，图8 表示窄板和梁的轴速和刚度对一阶固有频率的影响.在轴速为0，刚度为1 时，第一阶固有频率最大；随着轴速的增大以及刚度的减小，梁先达到失稳状态，即当轴速为14.8 m/s 和刚度为0.15 时，梁的频率先降为0，并且在轴速为18.8 和刚度为0.15 时开始失稳，继续增大速度和减小刚度，频率逐渐增大；而窄板的轴速为18.6 m/s 和刚度为0.1 时，频率降为0.轴速和刚度对梁的第一阶固有频率的影响大于对窄板的第一阶固有频率的影响.

给定ξ=4,h=0.01 m,P=6750 N,E=207 GPa和µ=0.3,图9 表示阻尼系数和轴速对窄板和梁的第一阶固有频率的影响.当速度很大时，随着阻尼的变化，窄板和梁的第一阶固有频率几乎不变；当速度很小时，随着阻尼的变化，窄板的第一阶固有频率几乎不变，而梁的频率逐渐减小，但减小幅度很小.

图9 窄板和梁的阻尼和轴速对一阶固有频率的影响Fig.9 The influence of damping and the axial speed of the panel and the beam on the first order natural frequency

图10 窄板和梁的阻尼和刚度对一阶固有频率的影响Fig.10 The influence of damping and stiffness of the panel and the beam on the first order natural frequency

给定γ=1 m/s，图10 表示了阻尼和刚度对窄板和梁的第一阶固有频率的影响.阻尼一定时，窄板和梁的第一阶固有频率随着刚度的增大而增大且幅度比较大；刚度一定时，窄板和梁的第一阶固有频率随着阻尼的增大而减小且幅度比较小；随着刚度的变化，阻尼对窄板和梁的第一阶固有频率的影响都比较小；随着阻尼的变化，不同的刚度对窄板和梁的第一阶固有频率的影响相差较小.所以刚度对第一阶固有频率的影响大于阻尼对第一阶固有频率的影响.

给定h=0.01 m，P=6750 N，E=207 GPa 和µ=0.3，图11 表示长宽比和轴速对窄板和梁的第一阶固有频率的影响.当轴速一定时，窄板和梁的频率随着长宽比的增大而减小，且长宽比小于2.5 时，长宽比对频率的影响很大，大于2.5 时，长宽比对频率的影响逐渐减小；随着长宽比和速度的增大，梁先达到失稳状态.

图11 窄板和梁的长宽比和轴速对一阶固有频率的影响Fig.11 The influence of the aspect ratio and axial speed of the panel and the beam on the first order natural frequency

给定h=0.01 m，P=6750 N，E=207 GPa 和µ=0.3，图12 表示了窄板和梁的第一阶固有频率的相对误差随着长宽比和轴速的变化情况.当轴速一定且大于12.6 m/s 小于14 m/s 时，相对误差随着长宽比的增大而增大；小于12.6 m/s 时，相对误差随着长宽比的增大而减小.当长宽比达到22.9 以及轴速小于1.2 m/s，相对误差小于0.05；当长宽比大于22.9，误差小于0.05 时，轴速的范围逐渐增大到5.1 m/s.当长宽比较大时，轴速对相对误差的影响比长宽比小的时候大.

图12 窄板和梁的长宽比和刚度对一阶固有频率的相对误差的影响Fig.12 The influence of the aspect ratio and stiffness of the panel and the beam on the relative error of first order natural frequency

4 结论

本文研究的目的是针对不同的物理参数，寻找合适的力学模型，以简化计算过程，更加有利于振动理论的研究.采用复模态方法求解了板、窄板和梁这3 种模型的固有频率和模态函数，并通过微分求积法对复模态法所得的结果进行验证，分析了轴速和长宽比对前四阶固有频率的影响，采用三维图的形式着重分析了轴速、阻尼、长宽比和刚度对频率的影响以及轴速和长宽比对窄板和板的第一阶固有频率的相对误差的影响.通过分析发现：当其他参数一定时，轴速对梁，窄板和模态函数为Wn1时的板的频率的影响比较大，而对模态函数为Wn2和Wn3时的板的频率影响比较小；梁、窄板和模态函数为Wn1时的板的频率与长宽比是反比关系，而模态函数为Wn2和Wn3时的板的频率先减小后增大，且在长宽比为1.6 时出现转折点；窄板和模态函数为Wn1时的板的频率变化相同，这也说明了窄板是板的简化形式；当速度很小时，阻尼对梁的影响大于窄板的，且在各参数变化时，阻尼对第一阶固有频率的影响很小；长宽比很小时，对窄板和梁的第一阶固有频率的影响很大；当长宽大于22.9 且轴速较小时，窄板模型可以简化为梁的模型，即复杂模型可以转化为简单模型.