自适应一致性高阶无单元伽辽金法1)

邵玉龙段庆林,†,,2)高 欣李锡夔张洪武

∗(大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室，大连116024)

†(成都理工大学地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室，成都610059)

∗∗(武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室，武汉430072)

自适应一致性高阶无单元伽辽金法1)

邵玉龙∗段庆林∗,†,∗∗,2)高 欣∗李锡夔∗张洪武∗

∗(大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室，大连116024)

†(成都理工大学地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室，成都610059)

∗∗(武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室，武汉430072)

近来提出的一致性高阶无单元伽辽金法通过导数修正技术大幅度减少了所需积分点数目，并能够精确地通过线性和二次分片试验，显著改善标准无单元伽辽金法的计算效率、精度和收敛性.本文在此基础之上，充分利用无单元法易于在局部区域添加节点的优势，发展了一致性高阶无单元伽辽金法的h型自适应分析方法.根据应变能密度梯度该方法自适应地确定需节点加密的区域，基于背景积分网格的局部多层细化要求生成新的计算节点，同时考虑了节点分布由密到疏渐进过渡的情形.采用相邻两次计算的应变能的相对误差作为自适应过程的停止准则,将所发展自适应无网格法应用于由几何外形、边界外载和体力等因素造成的应力集中问题的计算分析.数值结果表明，所发展方法能够自适应地对高应力梯度区域进行节点加密，自动给出合理的计算节点分布.与已有的标准无网格法的自适应分析相比，所发展方法在计算效率、精度和应力场光滑性等方面均展现出显著优势.与采用节点均匀分布的一致性高阶无单元伽辽金法相比，它大幅度地减少了计算节点数目，有效提高了一致性高阶无单元伽辽金法在分析应力集中等存在局部高梯度问题时的计算效率和求解精度.

无单元伽辽金法，无网格法，自适应分析，应变能密度，应力集中

引言

无单元伽辽金(element-free Galerkin,EFG)法作为一种具代表性的无网格方法，由于具有易于建立高阶近似函数、易于处理大变形和实现自适应计算等优势而引发计算力学界的广泛关注，已被成功应用于金属成型[1-2]、裂纹扩展[3-4]以及板弯曲[5]等众多问题的数值分析与模拟中.然而，EFG方法的计算效率不高这一缺陷仍然阻碍着该方法在实际工程问题中的广泛应用.导致其效率低下的一个主要原因是其需要较多的数值积分点.例如，采用背景三角形积分网格的二阶EFG方法通常要求在每个三角形积分子域内至少使用16个积分点，这严重降低了它的计算效率.近来很多学者对此进行了改进[6-9]，其中由段庆林等[8-9]提出的一致性无单元伽辽金(consistent EFG,CEFG)法通过导数修正技术大幅度减少了所需的积分点数目.例如，二阶的CEFG方法在每个背景三角形积分子域内仅需3个积分点.更重要的是，二阶CEFG方法能够精确地通过线性和二次分片试验，因而同时具有很高的计算精度和效率，已在热传导[10]、动力响应[11]、三维弹塑性[12]以及不可压缩固体的变形分析[13-14]等多种问题中获得成功应用，展现出良好的发展潜力.

本文目的是在CEFG方法的基础之上，充分利用无网格法便于在局部区域添加计算节点的优势，为CEFG发展自适应分析方法，进一步提高它求解局部高梯度问题的计算效率.

自适应方法能够根据解的性态对网格或节点进行局部自动加密，可大幅度减少节点数目和减小计算规模，通过较小的计算量便能得到高精度解，因而在现代工程计算中得到了广泛应用[15-17].无网格法(如EFG法)近似函数的建立不依赖于网格单元，因而在建立节点形函数的意义上无须将新生成节点与周围节点连成网格单元，这为局部加密提供了很大便利.因而，不少学者在无网格法的自适应分析方法方面开展了大量的研究工作.Duarte和Oden[18]首先提出了h,p和h-p型自适应Hp无单元云团法.刘欣等[19]在此基础上，针对平面弹性问题发展了一种显示后验误差指标，对平面裂纹进行了自适应分析.数值结果表明，该自适应方案能够在高应力梯度的裂纹尖端进行自适应网格加密，并具有很好的收敛性和精度.Chung和Belytschko[20]采用缩减影响域的形函数，在EFG方法的框架下提出了一种简单且易于实现的误差分析方法，并成为后续多种自适应无单元方法[21-22]的基础.Hiiussler-Combe和Korn[23]以及Rabczuk和Belytschko[24]将基于Taylor展开的误差估计应用于线弹性断裂的自适应分析，发现基于该误差分析的自适应方法收敛性好，并能够对高应力梯度区域进行网格加密.Liu和Tu[25]采用不同数量的积分点对能量进行数值积分，将它们的差作为评价背景网格是否需要细化的标准，提出了基于背景网格的自适应EFG方法.干年妃等[26]对该方法进行了改进，发展了基于RKPM方法的自适应无网格法，对撞击、挤压成型等具有局部高梯度的问题进行了成功的数值模拟.Luo和Combe[27]使用平均应变能梯度作为网格加密准则，提出了基于应变能密度梯度的自适应EFG方法.张征等[28]将基于应变能的自适应准则应用于接触问题，相对于均匀网格大幅度提高了分析效率.由于重新构造形函数比较耗时，Metsis等[29]提出了一个两级h型自适应无单元方法，仅需要计算所添加节点对刚度阵的贡献，不需要重新计算初始刚度阵.

应指出的是，尽管自适应分析的研究已有如前所述的大量工作，但它们均基于标准的无网格法(如EFG方法)，在每个积分子域内仍然须使用大量积分点，如Chung和Belytschko[20]在每个积分单元上使用了5×5的高斯积分点，Sethuraman等[21]则更是使用了6×6的积分点配置，这仍然严重影响了计算效率.与此不同的是，本文发展的自适应方法是基于已大幅度减少积分点且能精确通过分片试验的一致性无单元伽辽金法,将能展现出更好的计算效率和精度.

1 一致性无单元伽辽金法：积分格式与导数修正

考虑区域为Ω、边界为Γ的二维弹性体，平衡方程和相应的边界条件为

其中，σ为Cauchy应力，b为体力，n为边界的单位外法线矢量，分别为边界上的固定力和位移.弹性本构关系可写为

其中ε为应变，D为弹性模量矩阵.

采用无单元伽辽金法，位移近似为

其中，uI为节点位移参数向量.

为形函数矩阵，NI(x)为节点的无网格形函数，它的计算过程可参见文献[30].采用Nitsche法[31]施加固定位移边界条件，最终的伽辽金离散方程为其中K为刚度阵，f为等效节点载荷向量，β为惩罚系数，KΓu,Kp,fΓu和fp为Nitsche法引入的额外项，具体的推导过程参见文献[8].

由于EFG方法的节点形函数是非多项式的有理函数，为保证计算的稳定性和精度，需要较多的数值积分点，这严重降低了计算效率.针对该问题，本文采用Duan等[8]提出的一致性无单元伽辽金法.对于本文考虑的二阶近似，该方法采用如图1所示的二阶一致三点积分格式 (quadratically consistent 3-point integration,QC3).图1中的黑色实心点表示CEFG法的计算节点，将它们连成背景积分子域，每个子域采用3个域内积分点(紫五角星)，在每条边上使用两个一维高斯点(红花点)用于计算边界积分.

图1 QC3积分方法示意图Fig.1 Schematic diagram of the QC3 integration method

域积分点上形函数的空间导数由如下它与形函数之间的散度定理确定

其中，ΩS是背景积分子域，ΓS为积分子域的边界，是MLS形函数的基底函数向量.本文采用二次近似，即

应用图1积分格式对式(7)进行数值积分得到

求解方程式(11)，可得到3个积分点上的x方向的修正导数NI,x(x)，y方向修正导数NI,y(x)同理可求得.这些导数将被用于计算刚度阵K.

2 自适应方案

2.1 细化区域的确定

本文采用Luo和Hiiussler-Combe[27]提出的基于应变能密度梯度的准则来确定需节点加密的区域，其中应变能密度为

定义应变能密度的平均梯度为

显然，GSED能够识别出应变能密度变化剧烈的区域，如应力集中区域.然而，在识别出的高梯度区域上是否需要进一步细分网格(加密节点)，还需考虑该区域当前的网格分布情况.为此，定义网格密度为

其中，N为面积为A的区域内的节点数.为进一步度量当前计算网格关于应变能密度梯度的密集程度，引入网格强度rd，定义为如下应变能密度的平均梯度与网格密度的比值

将网格强度在全域上的最大和最小值分别表示为

可定义介于Rmin和Rmax之间的两网格强度RC1和RC2作为网格细化的标准，采用两级的方式，即当rd＞RC1时，仅进行一层加密；当rd＞RC2时，进行两层加密.

在本文采用的方法中，为计算网格强度rd，需要计算应变能密度的导数和网格密度.考虑一个节点数为Nk，面积为A的背景积分网格k，节点的应变能密度为

可通过积分网格k内Nk个节点间能量密度的平均变化近似计算应变能密度的导数

2.2 细化方案

由以上阐述的应变能密度梯度准则可确定需要加密的背景积分单元.如图2所示，由于无网格法允许悬空节点的存在(如图2(b)中的点D)，因此可方便地对积分网格直接进行局部细化，并将其边上中点作为新引入的计算节点，以实现节点的加密.对于需二层加密的积分网格，如图3中的网格单元abc，可使用积分网格边上的四等分点作为新节点对该网格进行二次细化，同时还须对共用该网格节点的临近网格进行加密以保证网格分布的光滑过渡.显然，无网格法形函数仅依赖于节点，不依赖于网格，因而允许出现悬空节点，这为计算节点的局部加密提供了极大便利.

图2 一层网格加密示意图Fig.2 Schematic diagram of one-level mesh refinemen

图3 两层网格加密示意图Fig.3 Schematic diagram of two-level mesh refinemen

应注意的是，积分网格的局部加密还影响了式(7)中网格边界积分的计算.如图4所示，按式(7)计算单元acd内3个积分点上的形函数导数时，边ac的积分须使用图示的4个积分点，而非图1所示的2个积分点，这是CEFG方法应用于自适应分析须特别注意之处.

图4 自适应QC3积分方案示意图Fig.4 Schematic diagram of the adaptive QC3 integration scheme

其中δ为介于0和1之间的一个计算参数.通过选取合适的δ，当式(24)得到满足时，即相邻两次计算的应变能相对误差小于δ时，自适应过程终止，此即是本文所采用的自适应停止准则，详见文献[27].

3 数值算例

本节将通过数值算例考察和验证本文发展的自适应CEFG方法的有效性和优越性.所有算例的参数均无量纲化，弹性模量E=1×107，泊松比ν=0.3.为作比较，对同样采用应变能密度梯度自适应准则的标准EFG方法也进行了程序实现，并称之为自适应EFG方法，它在每个三角形积分子域内使用16个积分点，积分点上形函数的导数采用标准形式(即对形函数直接求导)，而非由式(11)求得的修正导数，这是这两种方法的本质区别所在.

3.1 方板圆孔问题

该算例是弹性力学的经典考题之一，计算域尺寸、边界条件和载荷如图5所示.初始的计算节点分布和积分网格(节点典型间距h=0.5)如图6所示.

自适应方案中的两个网格强度参数分别取为RC1=20%Rmax和RC2=80%Rmax，自适应停止指标δ=1×10-4.图7显示了本文方法经过自适应节点加密后的计算节点分布和积分网格.可以看出，本文方法能够准确地对存在应力集中的小孔周边区域进行自适应加密.而且，本文方法能够十分精确地得出图5中A点处的应力集中系数为3.注意到，该问题的解析解表明A点附近的应力集中程度远高于B点附近，相应地，本文自适应方法得到的计算节点分布在A点的密集程度也远高于B点.这些结果表明了本文方法的正确性及其处理局部应力集中问题的有效性.

图5 方板圆孔问题示意图Fig.5 Schematic diagram of the plate with a hole problem

图6 方板圆孔问题的初始配置Fig.6 Initial set-up for the plate with a hole problem

图7 方板圆孔问题的自适应结果Fig.7 Adaptivity for the plate with a hole problem

与已有的CEFG方法相比，本文方法的优势在于所引入的自适应节点加密方案，这一点可由图8看出.显然，要取得同样的高精度，本文发展的自适应CEFG方法所需的计算节点数比CEFG方法要少得多，因而可大幅度减少CPU时间.

图8 方板圆孔问题的位移误差--节点数曲线Fig.8 Displacement error-number of nodes curve of the plate with a hole problem

与同样采用自适应技术的EFG方法相比，本文方法在计算精度和计算效率方面具有显著优势，这集中反映在表1中.而且，如图9所示，本文发展的自适应CEFG方法得到的应力场要比自适应EFG方法的好得多.这些数值结果表明本文方法的优越性.

图9 方板圆孔问题σyy应力场比较Fig.9 Comparison of σyystress fiel of the plate with a hole problem

表1 方板圆孔问题的两种自适应方法比较Table 1 Comparison of the two adaptive methods for the plate with a hole problem

3.2 受压半无限平面问题

该算例也是弹性力学的经典考题，其解析解见文献[32].如图10所示，计算域取为3×3区域，上边界的固定位移和右边界的载荷均按解析解施加.

初始的计算节点配置取为节点典型间距h=0.25的均匀分布，自适应停止指标δ=5×10-5.图11显示了本文自适应方法得到的计算节点分布和相应的积分网格.显然，它能自适应地对下边界受压区域进行局部的节点加密，得到合理的计算节点分布，因而能比未采用自适应技术的CEFG方法节省大量的计算节点，如图12所示.

图10 受压半无限平面问题示意图Fig.10 Schematic diagram of the pressure-loaded half plane problem

图11 受压半无限平面问题的自适应结果Fig.11 Adaptivity for the pressure-loaded half plane problem

图12 受压半无限平面问题的位移误差--节点数曲线Fig.12 Displacement error-number of nodes curve of the pressure-loaded half plane problem

表2比较了本文发展的自适应CEFG方法与已有的自适应EFG方法计算该考题的误差和消耗的CPU时间，显然，本文方法具有更好的精度和效率.而且，如图13所示，本文方法能得到更好的应力场.

表2 受压半无限平面问题的两种自适应方法比较Table 2 Comparison of the two adaptive methods for the pressure-loaded half plane problem

3.3 变体力板

该算例考察本文方法对于非均匀体力造成局部高梯度问题的有效性.如图14所示，考虑一4×4的平板受到如下的非均匀体力

由以上的解析解可以看出，随着到中心原点处距离的增加，位移和应力均急剧地下降为0，因而在中心附近造成了局部高梯度的存在.

图13 受压半无限平面问题σxx应力场比较Fig.13 Comparison of the σxxstress fiel of the pressure-loaded half plane problem

图14 变体力板示意图及初始节点分布Fig.14 Schematic diagram of the plate with non-constant body force problem and its initial node distribution

如图 14所示，初始节点分布均匀，典型间距h=0.2，自适应停止指标所有边界均按解析解施加位移固定边界条件.

图15显示了本文方法得到的节点分布和相应的积分网格，它能够自适应地在中心附近进行局部节点加密.两种自适应方法的计算结果比较如表3所示.显然，本文方法具有更好的计算精度和效率.图16显示了两种自适应方法得到的应力场，也可以看出，本文自适应CEFG方法更加准确.

图15 变体力板问题的自适应结果Fig.15 Adaptivity for the plate with non-constant body force problem

表3 变体力板问题两种自适应方法比较Table 3 Comparison of the two adaptive methods for the plate with non-constant body force problem

图16 变体力板问题σxx应力场比较Fig.16 Comparison of the σxxstress fiel of the plate with non-constant body force problem

4 结论

本文在已有的一致性高阶无网格法的基础之上，充分利用无网格法易于实现自适应计算的优势，采用应变能密度梯度准则驱动自适应过程，发展了自适应一致性高阶无单元伽辽金法.数值结果表明，该方法在分析应力集中等局部高梯度问题时，大量减少了所需的节点数目，显著提高了一致性高阶无网格法分析该类问题的计算效率.与已有的标准无网格法的自适应分析相比，所发展方法在计算效率、精度、应力场光滑度等方面也均展现出了显著优势.

应说明的是，对于由几何突变造成的应力集中问题(如算例1)，容易判别出应力集中区域因而可以事先进行手动加密.然而，对于从几何外形上无法判别应力集中区域的问题(如算例3)，自适应分析则十分有用.再考虑到局部高梯度区域随计算发生演化的问题，如裂尖高梯度应力场随裂纹扩展而移动等，所发展的自适应一致性高阶无单元伽辽金法在分析此类问题时应具有显著的优势.当然，它在这些复杂问题中的具体应用仍有赖于深入研究.

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ADAPTIVE CONSISTENT HIGH ORDER ELEMENT-FREE GALERKIN METHOD1)

Shao Yulong∗Duan Qinglin∗,†,∗∗,2)Gao Xin∗Li Xikui∗Zhang Hongwu∗

∗(State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment，Dalian University of Technology，Dalian116024，China)

†(State Key Laboratory of Geohazard Prevention and Geoenvironment Protection，Chengdu University of Technology，Chengdu610059，China)

∗∗(State Key Laboratory of Water Resources and Hydropower Engineering Science，Wuhan University，Wuhan430072，China)

The recently developed consistent high order element-free Galerkin(EFG)method not only dramatically reduces the number of quadrature points in domain integration but also accurately passes the linear and quadratic patch tests,and remarkably improves the computational efficiency,accuracy and convergence of the standard EFG methods.On this basis,this work presents the h-adaptive analysis for consistent high order EFG method by taking advantage of the convenience of the EFG method in adding approximation nodes locally.The proposed method adaptively determines the region which needs nodal refinemen according to the gradient of the strain energy density.The generation of the new approximation nodes is based on the multi-level local mesh refinemen of the background integration mesh.The gradualtransition between the regions with and without nodal refinemen is also considered.The relative error of the strain energy in two successive computation is adopted as the stop-criterion of the adaptive process.The proposed adaptive meshfree method is applied to the analysis of stress concentration caused by geometry,external boundary loads and body forces.Numerical results show that the developed method is able to refin the region with high stress gradient adaptively and to generate reasonable distribution of approximation nodes automatically.In comparison with the existing adaptive schemes of the standard EFG method,the proposed method shows remarkable advantages on computational efficiency, accuracy and the smoothness of the resulting stress fields In comparison with the consistent high order EFG method using uniform nodal distribution,the proposed adaptive method dramatically reduces the number of computational nodes. As a consequence,it significantl improves the computational efficiency and accuracy of the consistent high order EFG method for the analysis of problems with local high gradients such as stress concentration.

element-free Galerkin method，meshfree/meshless methods,adaptive analysis，strain energy density,stress concentration

O343.1

A doi：10.6052/0459-1879-16-252

2016-09-07收稿，2016-11-04录用,2016-11-07网络版发表.

1)国家自然科学基金 (11232003,11372066)、中央高校基本科研业务费专项资金 (DUT15LK07)、辽宁省教育厅重点实验室基础研究(LZ2014002)、水资源与水电工程科学国家重点实验室开放基金(2015SGG03)和地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室开放基金(SKLGP2016K007)资助项目.

2)段庆林，副教授，博士，主要研究方向为无网格法、材料破坏分析与模拟等.E-mail：qinglinduan@dlut.edu.cn

邵玉龙,段庆林,高欣,李锡夔,张洪武.自适应一致性高阶无单元伽辽金法.力学学报,2017,49(1)：105-116

Shao Yulong,Duan Qinglin,Gao Xin,Li Xikui,Zhang Hongwu.Adaptive consistent high order element-free Galerkin method.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(1)：105-116