用具有负定非对称矩阵的梯度系统构造稳定的广义Birkhof f系统1)

陈向炜张 晔梅凤翔

∗(商丘师范学院物理与电气信息学院,河南商丘476000)

†(苏州科技大学数理学院,江苏苏州215009)

∗∗(北京理工大学宇航学院,北京100081)

用具有负定非对称矩阵的梯度系统构造稳定的广义Birkhof f系统1)

陈向炜∗,2)张 晔†梅凤翔∗∗

∗(商丘师范学院物理与电气信息学院,河南商丘476000)

†(苏州科技大学数理学院,江苏苏州215009)

∗∗(北京理工大学宇航学院,北京100081)

Birkhof f系统是一类比Hamilton系统更广泛的约束力学系统,可在原子与分子物理,强子物理中找到应用.非定常约束力学系统的稳定性研究是重要而又困难的课题,用构造Lyapunov函数的直接方法来研究稳定性问题有很大难度,其中如何构造Lyapunov函数是永远的开放问题.本文给出一种间接方法,即梯度系统方法.提出一类梯度系统,其矩阵是负定非对称的,这类梯度系统的解可以是稳定的或渐近稳定的.梯度系统特别适合用Lyapunov函数来研究,其中的函数V通常取为Lyapunov函数.列出广义Birkhof f系统的运动方程,广义Birkhof f系统是一类广泛约束力学系统.当其中的附加项取为零时,它成为Birkhof f系统,完整约束系统和非完整约束系统都可纳入该系统.给出广义Birkhof f系统的解可以是稳定的或渐近稳定的条件,进一步利用矩阵为负定非对称的梯度系统构造出一些解为稳定或渐近稳定的广义Birkhof f系统.该方法也适合其他约束力学系统.最后用算例说明结果的应用.

广义Birkhof f系统,梯度系统,负定矩阵,稳定性

引言

1927年Birkhof f在其名著《动力系统》中提出了一类新型的积分变分原理和运动微分方程[1],被分别称为Pfaf f-Birkhof f原理和Birkhof f方程.近年来对Birkhof f系统动力学的研究已取得一些重要进展,这些进展主要集中在该系统的积分理论[2]、动力学逆问题[3]、稳定性[4]、对称性[5]等.1993年梅凤翔研究了Birkhof f方程增加一个附加项的情形,称为广义Birkhof f方程[6].广义Birkhof f系统动力学的研究也非常活跃,主要集中在该系统的动力学逆问题[7]、积分理论[8]、对称性摄动[9]、平衡稳定性[10]等.

梯度系统特别适合用 Lyapunov 函数来研究[11-12].文献 [11-12]主要涉及定常梯度系统.实际上,也可研究非定常梯度系统,其中矩阵或函数可包括时间.有关约束力学系统与梯度系统的关联研究已取得重要进展,如文献[13-32].专著[32]涉及通常梯度系统,斜梯度系统,具有对称负定矩阵的和半负定矩阵的梯度系统等.本文提出一类梯度系统,其矩阵是负定非对称的.适当选取负定矩阵使这类梯度系统能够较好地研究解的稳定性.由这类梯度系统来构造解为稳定的或渐近稳定的广义Birkhof f系统.

1 具有负定矩阵的梯度系统

微分方程写成形式

其中aµ为变量,V为某函数,cµν为系数矩阵.这里相同指标表示求和,矩阵cµν是负定非对称的,按方程(1)求,得

为研究解的稳定性,如果V=V(t,a)在解的邻域内正定,总希望负定或半负定,这首先希望二次型

是负定的或半负定的.因为矩阵cµν是负定的,不能保证二次型(3)负定或半负定.例如,对m=2的情形

其次,函数V应选为正定的.对m=2的情形,可选

其中式(5)正定,式(6)正定非渐减,式(7)正定渐减.

2 广义Birkhof f系统

广义Birkhof f系统的微分方程为[33]

其中B=B(t,a)为Birkhof f函数,Rρ=Rρ(t,a)(ρ=1,2,··,2n)为Birkhof f函数组,Λρ=Λρ(t,a)(ρ=1,2,··,2n)为附加项,而

广义Birkhof f系统是相当广泛一类约束力学系统.当取Λρ=0(ρ=1,2,··,2n)时,它成为Birkhof f系统,而完整约束系统和非完整约束系统都可纳入Birkhof f系统.

3 构造解为稳定的广义Birkhof f系统

对给定的矩阵(cµν)和函数V,如果存在函数B,Rρ,Λρ(ρ=1,2,··,2n)满足条件

则求得的广义Birkhof f系统的解可以是稳定的或渐近稳定的.方程(10)是对4n+1个变量的2n个方程,解不是唯一的.当n=1时,方程(10)成为

4 算例

例1已知梯度系统为

试求与之相应的广义Birkhof f系统.

解：方程(1)给出

它是常负的,因此解a1=a2=0是稳定的.于是所构造出的广义Birkhof f系统的解也是稳定的.式(11)给出

广义Birkhof f系统(13)和(14)的解a1=a2=0是稳定的.

例2已知梯度系统为

试求与之相应的广义Birkhof f系统.

解：方程(1)给出

它在a1=a2=0的邻域内负定,而V正定且渐减,因此,解a1=a2=0是一致渐近稳定的.于是所构造出的广义Birkhof f系统的解也是一致渐近稳定的.式(11)给出

等等.广义Birkhof f系统(16)和(17)的解a1=a2=0是一致渐近稳定的.

例3已知梯度系统为

试求与之相应的广义Birkhof f系统.

解：方程(1)给出

它在a1=a2=0的邻域内是负定的,而V正定且渐减,因此,解a1=a2=0是一致渐近稳定的.于是所构造出的广义Birkhof f系统的解也是一致渐近稳定的.方程(11)给出

它有解

当然,还有其他解.

5 结论

对非定常力学系统用构造Lyapunov函数的方法来研究稳定性问题有很大困难,其中如何构造Lyapunov函数是永远的开放问题.梯度系统特别适合用Lyapunov函数来研究,其中的函数V通常取为Lyapunov函数.本文利用矩阵为负定非对称的梯度系统构造出一些解为稳定或渐近稳定的广义Birkhof f系统.所举例子是简单低阶的.对复杂高阶的,构造起来要困难得多,但方法是一样的.本文的方法也适合其他约束力学系统.

1 Birkhof fGD.Dynamical Systems.Providence：AMS College Publisher,1927

2 Zhang HB,Chen LQ,Gu SL,et al.The discrete variational principle and the firs integrals of Birkhof fsystems.Chinese Physics B,2007, 16(3)：582-587

3 张永发,梅凤翔.Birkhof f系统动力学逆问题的两种提法和解法.北京理工大学学报,1996,16(4)：352-356(Zhang Yongfa,Mei Fengxiang.Two ways of formulation and solutions of the inverse problem of the dynamics of birkhoffian system.Transactions of Beijing Institute of Technology,1996,16(4)：352-356(in Chinese))

4 傅景礼,陈立群,薛纭等.相对论Birkhof f系统的平衡稳定性.物理学报,2002,51(12)：2683-2689(Fu Jingli,Chen Liqun,Xue Yun, et al.Stability of the equilibrium state in relativistic Birkhof fsystems.Acta Physica Sinica,2002,51(12)：2683-2689(in Chinese))

5 张毅.相对论性力学系统的Birkhof f对称性与守恒量.物理学报, 2012,61(21)：214501(Zhang Yi.Symmetry of Birkhoffians and conserved quantity for a relativistic mechanical system.Acta Phys Sin,2012,61(21)：214501(in Chinese))

6 梅凤翔.Birkhof f系统的Noether理论.中国科学(A辑),1993, 23(7)：709-717(Mei Fengxiang.Noether theory of Birkhof fsystem.Scientia Sinica(Series A),1993,23(7)：709-717(in Chinese))

7 梅凤翔,解加芳,冮铁强.广义Birkhof f系统动力学的一类逆问题.物理学报,2008,57(8)：4649-4651(MeiFengxiang,XieJiafang, Gang Tieqiang.An inverse problem of dynamics of a generalized Birkhof fsystem.Acta Physica Sinica,2008,57(8)：4649-4651(in Chinese))

8葛伟宽,梅凤翔.广义Birkhof f系统的时间积分定理.物理学报, 2009,58(2)：699-702(Ge Weikuan,Mei Fengxiang.Time-integral theorems for generalized Birkhof fsystem.Acta Physica Sinica, 2009,58(2)：699-702(in Chinese))

9 Li YM.Lie symmetries,perturbation to symmetries and adiabatic invariants of a generalized Birkhof fsystem.Chinese Physics Letters,2010,27(1)：010202

10 张毅.自治广义Birkhof f系统的平衡稳定性.物理学报,2010, 59(1)：20-24(Zhang Yi.Stability of equilibrium for the autonomous generalized Birkhoffian system.Acta Physica Sinica,2010,59(1)：20-24(in Chinese))

11 Hirsch MW,Smale S.Dif f erential Equations,Dynamical System, and Liner Algebra.New York：Academic Press,1974

12 McLachlan RI,Quispel GRW,Robidoux N.Geometric integration using discrete gradients.Philosophical Transactions of the Royal Society A,1999,357(1754)：1021-1045

13 楼智美,梅凤翔.力学系统的二阶梯度表示.物理学报,2012, 61(2),024502(Lou Zhimei,Mei Fengxiang.A second order gradient representation of mechanics system.Acta Physica Sinica,2012, 61(2),024502(in Chinese))

14 Chen XW,Zhao GL,Mei FX.A fractional gradient representation of the Poincar´e equations.Nonlinear Dynamics,2013,73(1)：579-582

15 梅凤翔,吴惠彬.一阶Lagrange系统的梯度表示.物理学报,2013, 62(21)：214501(Mei Fengxiang,Wu Huibin.A gradient representation of first-orde Lagrange system.Acta Physica Sinica,2013, 62(21)：214501(in Chinese))

16 Mei FX,Wu HB.Skew-gradient representation of generalized Birkhoffian system.Chinese Physics B,2015,24(10)：104502

17 梅凤翔,吴惠彬.广义Birkhof f系统与一类组合梯度系统.物理学报,2015,64(18),184501(Mei Fengxiang,Wu Huibin.Generalized Birkhof fsystem and a kind of combined gradient system.Acta Physica Sinica,2015,64(18)：184501(in Chinese))

18 吴惠彬,梅凤翔.事件空间中完整力学系统的梯度表示.物理学报,2015,64(23)：0234501(Wu Huibin,Mei Fengxiang.A gradient representation of holonomic system in the event space.Acta Physica Sinica,2015,64(23)：0234501(in Chinese))

19 Mei FX,Wu HB.Two kinds of generalized gradient representations for holonomic mechanical systems.Chinese Physics B,2016,25(1)：014502

20 Chen XW,Zhang Y,Mei FX.An application of a combined gradient system to stabilize a mechanical system.Chinese Physics B,2016, 25(10)：100201

21 Hirsch MW,Smale S,Devaney RL.Dif f erential Equations,Dynamical Systems,and an Introduction to Chaos.Singapore：Elsevier, 2008

22 梅凤翔.关于梯度系统.力学与实践,2012,34：89-90(Mei Fengxiang.On gradient system.Mechanics in Engineering,2012,34：89-90(in Chinese))

23 梅凤翔.分析力学下卷.北京：北京理工大学出版社,2013(Mei Fengxiang.Analytical Mechanics II.Beijing：Beijing Institute of Technology Press,2013(in Chinese))

24 Tom´a˘sB,RalphC,EvaF.Everyordinarydif f erentialequationwitha strict Lyapunov function is a gradient system.Monatsh Math,2012, 166：57-72

25 Marin AM,Ortiz RD,Rodriguez JA.A generalization of a gradient System.International Mathematical Forum,2013,8：803-806

26 陈向炜,李彦敏,梅凤翔.双参数对广义Hamilton系统稳定性的影响.应用数学和力学,2014,35(12)：1392-1397(Chen Xiangwei, Li Yanmin,Mei Fengxiang.Dependance of stability of equilibrium of generalized Hamilton system on two parameters.Applied Mathematics and Mechanics,2014,35(12)：1392-1397(in Chinese))

27 梅凤翔,吴惠彬.广义Birkhof f系统的梯度表示.动力学与控制学报,2012,10(4)：289-292(Mei Fengxiang,Wu Huibin.A gradient representation for generalized Birkhof fsystem.J of Dynam and Control,2012,10(4)：289-292(in Chinese))

28 梅凤翔,吴惠彬.广义Hamilton系统与梯度系统.中国科学：物理学力学天文学,2013,43(4)：538-540(Mei Fengxiang,Wu Huibin. Generalized Hamilton system and gradient system.Scientia Sinica Physica,Mechanica&Astronomica,2013,43(4)：538-540(in Chinese))

29 Lin L,Luo SK.Fractional generalized Hamiltonian mechanics.Acta Mechanica,2013,224(8)：1757-1771

30 Luo SK,He JM,Xu YL.Fractional Birkhoffian method for equilibrium stability of dynamical systems.International Journal of Non-Linear Mechanics,2016,78(1)：105-111

31 陈向炜,曹秋鹏,梅凤翔.切塔耶夫型非完整系统的广义梯度表示.力学学报,2016,48(3)：684-691(Chen Xiangwei,Cao Qiupeng,Mei Fengxiang.Generalized gradient representation of nonholonomicsystemofChetaev’stype.ChineseJournalofTheoretical and Applied Mechanics,2016,48(3)：684-691(in Chinese))

32 梅凤翔,吴惠彬.约束力学系统的梯度表示(上下).北京：科学出版社,2016(Mei Fengxiang,Wu Huibin.Gradient Representations of Constrained Mechanical System Vol 1,2.Beijing：Science Press, 2016(in Chinese))

33 梅凤翔.广义Birkhof f系统动力学.北京：科学出版社,2013(Mei Fengxiang.Dynamics of Generalized Birkhof fSystem.Beijing：Science Press,2013(in Chinese))

STABLE GENERALIZED BIRKHOFF SYSTEMS CONSTRUCTED BY USING A GRADIENT SYSTEM WITH NON-SYMMETRICAL NEGATIVE-DEFINITE MATRIX1)

Chen Xiangwei∗,2)Zhang Ye†Mei Fengxiang∗∗

∗(Department of Physics and Information Engineering，Shangqiu Normal University，Shangqiu476000，Henan，China)

†(School of Mathematics and Physics，Suzhou University of Science and Technology，Suzhou215009，Jiangsu，China)

∗∗(School of Aerospace，Beijing Institute of Technology，Beijing100081，China)

The Birkhof fsystem is a more extensive constrained mechanical system than Hamilton system,which can be applied to atomic and molecular physics,and hadron physics.It is an important and difficult project to study the stability of non-steady mechanical system,and it is very difficult to study the stability by using the direct method of constructing Lyapunov function,here how to construct the Lyapunov function is always an open question.This paper gives an indirect method which is called the gradient system method.A kind of gradient systems with non-symmetrical negative-definit matrix is proposed,and the solution of the gradient system can be stable or asymptotic stable.The study of the gradientsystem is particularly suitable by using the method of Lyapunov functions,in which the functionVis usually taken as the Lyapunov function.Firstly the equations of motion of the generalized Birkhof fsystem are listed.The generalized Birkhof fsystem is a kind of extensive constrained mechanical system,holonomic and nonholonomic constraint systems can be incorporated into the system.When the additional terms of the system are equal to zero,it becomes the Birkhof f system.Then the conditions under which the solutions of the generalized Birkhof fsystem can be stable or asymptotically stable are given.Further the generalized Birkhof fsystems whose solution is stable are constructed by using the gradient system with non-symmetrical negative-definit matrix.The method is also suitable for the study of other constrained mechanical systems.Lastly some examples are given to illustrate the application of the results.

generalized Birkhof fsystem,gradient system,negative-definit matrix,stability

O316

A doi：10.6052/0459-1879-16-280

2016-10-10收稿，2016-11-16录用,2016-11-24网络版发表.

1)国家自然科学基金资助项目(11372169,11572034,11272050).

2)陈向炜,教授,主要研究方向：分析力学.E-mail：hnchenxw@163.com

陈向炜,张晔,梅凤翔.用具有负定非对称矩阵的梯度系统构造稳定的广义Birkho ff系统.力学学报,2017,49(1)：149-153

Chen Xiangwei,Zhang Ye,Mei Fengxiang.Stable generalized Birkho ffsystems constructed by using a gradient system with nonsymmetrical negative-definit matrix.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(1)：149-153