一类二维非自治离散系统中的复杂簇发振荡结构1)

陈振阳 韩修静毕勤胜

(江苏大学土木工程与力学学院，江苏镇江212013)

一类二维非自治离散系统中的复杂簇发振荡结构1)

陈振阳 韩修静2)毕勤胜

(江苏大学土木工程与力学学院，江苏镇江212013)

簇发振荡是多时间尺度系统复杂动力学行为的典型代表，簇发振荡的动力学机制与分类问题是簇发研究的重要问题之一，但当前学者们所揭示的簇发振荡的结构大多较为简单.研究以非自治离散Duffing系统为例，探讨具有复杂分岔结构的新型簇发振荡模式,并将其分为两大类，一类经由Fold分岔所诱发的对称式簇发，另一类经由延迟倍周期分岔所诱发的非对称式簇发.快子系统的分岔表现为典型的含有两个Fold分岔点的S形不动点曲线，其上、下稳定支可经由倍周期(即Flip)分岔通向混沌.当非自治项(即慢变量)穿越Fold分岔点时，系统的轨线可以向上、下稳定支的各种吸引子(例如，周期轨道和混沌)进行转迁，因此得到了经由Fold分岔所诱发的各种对称式簇发；而当非自治项无法穿越Fold分岔点，但可以穿越Flip分岔点时，系统产生了延迟Flip分岔现象.基于此，得到了经由延迟Flip分岔所诱发的各种非对称簇发.特别地，文中所报道的簇发振荡模式展现出复杂的反向Flip分岔结构.研究结果表明，这与非自治项缓慢地反向穿越快子系统的Flip分岔点有关.研究结果丰富了离散系统簇发的动力学机理和分类.

离散Duffing系统，复杂的簇发振荡模式，延迟Flip分岔，反向Flip分岔结构

引言

诸如神经元的簇放电活动[1-3]、化工生产中液体的流动特性[4]、反应物的反应速率[5-6]和浓度[7]的变化、湍流的脉动分析[8]、生物代谢过程中的变构效应[9]、环境因素对农作物生长的影响[10]等实际问题，很难用单一时间尺度的动力学模型来描述，必须采用含多个时间尺度的耦合模型加以刻画.与一般的非线性系统相比，多时间尺度耦合系统具有独特的复杂动力学行为，比如所谓的簇发振荡(bursting oscillations).簇发振荡的基本单元被称为振荡簇，所谓振荡簇，即去极化波形上的一系列动作电位[11]，故对簇发振荡而言，其特征在于在每一演化周期中，小幅振荡与大幅振荡的交替出现.现有的研究表明，簇发振荡通常是不同时间尺度耦合作用的产物[12]，而其中的耦合作用机制可用Rinzel的快慢分析法[13]加以解释.该方法随后被Izhikevich[1]用在簇发的分类研究中，在理论上极大拓展了不同时间尺度之间各种可能的耦合作用机制.基于Rinzel的快慢分析和Izhikevich的分类工作，国内外学者从理论[14-15]、数值[3,16]和实验[3,17]等方面对不同时间尺度的耦合系统，尤其是其中的多时间尺度簇发振荡模式，做了系统、深入的研究，取得了丰硕的成果.

近年来，基于离散系统的多时间尺度耦合效应逐渐受到了学者们的广泛关注.Channell等[18]指出，采用Poincar´e映射可将连续时间系统约化为一维Poincar´e映射；然后，通过对Poincar´e映射的分析来揭示原系统中的簇发振荡的动力学特性和转迁机制.Izhikevich等[19]指出，用离散映射去实现连续系统中的簇发振荡在理论上是可行的.随后，Courbage等[20]提出了一个二维映射，以此再现了真实神经系统中包括簇发在内的各种放电模式.而Maslennikov等[21-22]的研究进一步表明，离散映射是研究单个神经元乃至复杂神经网络的有效工具.基于前人的研究工作，特别是Rinzel的快慢分析法，文献[19]利用分岔理论系统地探讨了一维和二维离散系统中各种可能的簇发振荡模式，并对它们进行了分类.

然而，需要指出的是，到目前为止，大部分已报道的离散簇发振荡模式均较为简单.这主要表现在两个方面，一是与连续的尖峰(repetitive spiking)相对应的激发态的分岔模式较为简单.对于连续尖峰内部仍有分岔的情形，相关文献少有涉及；二是所报道的激发态通常是周期轨道,对于激发态是非周期(例如，混沌)的情形，鲜有报道.基于此，考虑受扰动的Duffing映射[23]

其中a,b是实参数,Zn是慢变的扰动项.为了便于分析，假设Zn是周期扰动，即Zn=Fcos(ωn),其中F为扰动项的振幅，而频率ω远低于系统的固有频率ω0，即ω≪ω0.本文以系统(1)为例，旨在探讨复杂的簇发振荡模式及其诱发机制.说明系统在由激发态向沉寂态转迁之前可能会发生多次分岔，因此簇发振荡可以呈现出复杂的分岔结构.此外，激发态不仅可以是周期振荡，也可以是混沌态，因此簇发振荡可以展现复杂的振荡形式，即在簇发振荡中能够观测到混沌式的振动簇.

1 快子系统的分岔分析

由于扰动项的频率远远低于系统的固有频率，因此在较慢的尺度上演化，而未受扰的Duffing映射则在相对较快的尺度上演化.显然，受扰系统(1)是一个典型的快慢系统，它由快、慢子系统耦合而成.快子系统由如下映射给出

其中，β=Zn是控制参数；而慢子系统(慢变量)则由Zn=Fcos(ωn)刻画.

一般说来，簇发振荡因轨线在快子系统的吸引子之间相互转迁而产生，这种转迁是由慢变量穿越快子系统的分岔点加以调控[124].因此，快子系统的稳定性和分岔行为对簇发振荡的产生起决定性作用.基于此，本部分探讨快子系统(2)的稳定性和分岔行为.

为了直观地了解系统的分岔行为，图1给出了快子系统关于参数β的单参数分岔图，其中参数b固定在b=0.35.图中FB±代表不动点F±的Fold分岔;PD±n-2n(n=1,2)代表上、下半支周期n到周期2n的Flip分岔.如图所示，当β从0出发穿越FB-时，吸引子F-与排斥子F0碰撞、消失，即发生了Fold分岔.随着β的不断增大，吸引子F+因倍周期(即Flip)分岔逐渐演化为混沌,而当β从0出发不断减小时，可以观测到类似的动力学演化行为.

为了进一步揭示系统的分岔行为，图2给出了快子系统在平面(β,b)上的两参数分岔集，其中各分岔曲线的含义与图1相同.注意到快子系统具有对称性：(Xn,Yn,β)→(-Xn,-Yn,-β)，即快子系统的稳定性和分岔行为关于β=0对称.因此，如果β=β1时，快子系统存在某种稳定性或分岔行为，那么当β=-β1时，快子系统必然存在着同样的稳定性或分岔行为(见图1和图2).

图1 快子系统关于单参数β的分岔图Fig.1 One parameter bifurcation diagram of the fast sub-system with respect to β

图2 快子系统在(β,b)平面上的分岔集Fig.2 Bifurcation set of the fast system on the plane(β,b)

如图 2所示，A,B,C分别是 Fold分岔曲线和倍周期分岔曲线的交点，它们的纵坐标依次是bA=0.319,bB=0.237,bC=0.221.过点A,B,C作三条水平线，它们将参数平面划分为I,II,III,IV四个区域，对应着快子系统不同的动力学行为.

易知，图1所示的分岔图是区域I中分岔行为的典型代表，其特征是在Fold点附近可以观测到由两个不动点吸引子构成的双稳态.因此，Fold分岔将诱发从一个不动点吸引子(如F+)到另一个不动点吸引子(如F-)的转迁.然而，如图2所示，当参数b不断减小时，Fold分岔值逐渐增大，而各Flip分岔值不断减小.特别地，当Fold分岔曲线落在两条Flip分岔曲线之间时，Fold点附近的双稳态会发生定性的变化.因此，由Fold分岔所诱发的转迁必然也会随之定性地改变.基于此，接下来我们探讨几类典型的转迁模式.

情形1：从不动点向周期2吸引子的转迁.这种转迁模式对应着参数b属于区域II时的情形.图3(a)给出了区域II中典型的分岔行为.可见，Fold分岔点附近的双稳态已经发生了定性的变化，即不动点与周期2轨道共存.因此，Fold分岔诱发了系统从不动点吸引子向周期2轨道的转迁.

情形2：从不动点向周期4吸引子的转迁.当参数b属于区域III时，可以得到另一种不同的转迁模式，即由Fold分岔所诱发的从不动点吸引子向周期4轨道的转迁.图3(b)给出了区域III中典型的分岔图.由于不动点吸引子与周期4轨道在Fold点附近共存，因此Fold分岔诱发了从不动点向周期4吸引子的转迁.由于不动点吸引子经由Flip分岔通向混沌，因此在的左侧区域以及的右侧区域存在着间距越来越狭窄的无数条Flip分岔曲线.这些Flip曲线与周期2n(n≥3)等具有较高周期的轨道相对应，并逐渐将周期轨道以Flip分岔的方式引向混沌.因此，随着参数b进入IV区并不断减小，可以得到从不动点向高周期轨道2n(n≥3)甚至是混沌吸引子的转迁.

情形3：从不动点向周期8吸引子的转迁.当b=0.22时，图3(c)给出了区域IV中的一种典型的分岔转迁行为.可见，在Fold分岔点附近，不动点吸引子与周期8吸引子共存，因此由Fold分岔诱发了从不动点向周期8轨道的转迁.

图3 映射(2)关于参数β的典型单参数分岔图Fig.3 Typical one parameter bifurcation diagrams of the map(2)with respect to β

情形4：从不动点向混沌吸引子的转迁.在区域IV内继续调整b的值，可得如图3(d)所示的向混沌吸引子转迁的模式.在Fold分岔点附近，系统处于不动点吸引子与混沌吸引子共存的双稳态，进而会出现由Fold分岔所诱发的向混沌吸引子的转迁.

2 对称式簇发

前面已经探讨了快子系统的分岔行为，分析表明：由于在Fold点附近不动点吸引子可与多种周期轨道甚至混沌共存，因此Fold分岔可以诱发从不动点向不同类型吸引子的转迁.基于此，本部分进一步探讨与这些转迁相关的各种簇发振荡模式.

2.1 对称式“Fold/反向Flip”簇发

当b位于II区时，系统能够产生对称式“Fold/反向Flip”簇发.不失一般性，考虑b=0.25的情形来解释这种簇发振荡的产生机理.注意到当Zn=Fcos(ωn)处于 βFB+与βFB-之间时，系统处于双稳态，因此要实现轨线在不同吸引子间的转迁,就必须使Zn能够穿越βFB±.由数值计算可知，βFB-=0.356，故这里选取Zn=0.38cos(ωn)，其振幅略大于βFB-.图4(a)给出了系统在该参数条件下的簇发行为.为进一步阐明系统轨线随慢变量的变化趋势，在此将Zn视为广义变量,给出相应的转化相图[25-26],并将其与分岔图叠加，如图4(b)所示.

图4 不同的对称簇发Fig.4 Dif f erent symmetric bursting

图4 不同的对称簇发(续)Fig.4 Dif f erent symmetric bursting(continued)

从图4(b)中可以看出，当Zn从0出发逐渐增大至βFB-时,原本处于下半支的轨线会由于Fold分岔而转迁到上半支的周期2吸引子，从而使系统进入激发态.Zn在到达最大值0.38后，开始逐渐减小，并“反向”地穿过使得激发态终止，系统进入沉寂态F+;随着Zn继续减小，直至越过FB+，双稳态再次被破坏，轨线跃迁到下半支的周期2吸引子;在此之后，系统通过与前述过程相似的方式再次回到沉寂态，并进入下一个周期的演化.此过程中，系统由沉寂态进入激发态是通过Fold分岔，而激发态的终止则是通过反向Flip分岔.根据文献[1]中的分类方法，同时考虑到对称性，这种簇发行为可以归类为对称式“Fold/反向Flip”簇发.

2.2 对称式“Fold/二重反向Flip”簇发

当b位于III区时，可以得到另一种不同的簇发形式.考虑b=0.23的情况，此时βFB-=0.369.选取Zn=0.37cos(ωn),显然Fold分岔将会发生，这预示着簇发将会出现.

图4(c)给出了含二重反向(double inverse)Flip分岔结构的簇发模式，相应的转化相图为图4(d).当Zn越过FB-后，轨线会跃迁到周期4吸引子，该吸引子随后经过二重反向Flip分岔演变为F+.紧接着系统经历与之对称的演变，并进入下一周期.按之前的分类方法，这种激发态为周期4轨道的簇发模式可命名为对称式“Fold/二重反向Flip”簇发.

2.3 对称式“Fold/多重反向Flip”簇发

由备注2知，若b位于IV区,系统可产生激发态为周期8等高周期轨道乃至混沌的簇发振荡.如取b=0.22,F=0.381,通过数值模拟可发现，系统在通过Fold分岔由沉寂态转迁到周期8轨道后，经由多重反向Flip分岔演变到沉寂态.对该簇发振荡模式，可将其称作对称式“Fold/多重反向Flip”簇发,见图4(e)和图4(f).

2.4 对称式“Fold/级联反向Flip”簇发

根据前面所做的分析，在区域IV中继续调整b的值，可以得到激发态为混沌乃至周期窗口的簇发模式.图5给出了混沌激发态的簇发振荡模式，其中b=0.215，F=0.4，快子系统分岔行如图3(d).当Zn越过Fold分岔点后，系统转迁到混沌状态，随后系统又经过一系列反向Flip分岔回到沉寂态，故可将其命名为对称式“Fold/级联反向Flip”簇发.

图5 对称式“Fold/级联反向Flip”簇发,b=0.215,Zn=0.4cos(0.001n)Fig.5 Symmetric“Fold/a cascade of inverse Flip”bursting,b=0.215,Zn=0.4cos(0.001n)

进一步的数值模拟显示，在快子系统分岔图中,存在着一些使系统展现出周期性的孤立区间，将混沌区分割成若干段，这意味着可能存在与不动点共存的周期窗口.例如，取a=1.975,b=0,F=0.38时,快子系统的单参数分岔图为图6(a),簇发行为则如图6(b)所示.当Zn越过FB±后，系统从沉寂态转迁到周期3轨道，并迅速进入混沌，之后又通过一系列反向Flip分岔演变为沉寂态，从而产生一种分岔结构不同于图5(a)的混沌簇发模式.

图6 另一种混沌簇发,a=1.975,b=0,Zn=0.38cos(0.001n)Fig.6 Another chaotic bursting,wherea=1.975,b=0,Zn=0.38cos(0.001n)

3 非对称式簇发

前面探讨了由Fold分岔所诱发的几种复杂簇发振荡模式及其动力学机理，这些簇发振荡模式的产生离不开慢变量对Fold分岔点的周期穿越，即要求慢变量具有足够大的振幅.本文接下来的内容，将探讨慢变量振幅相对较小，即慢变量无法穿越Fold分岔点时，系统可能存在的簇发振荡模式.

3.1 “延迟Flip/反向Flip”簇发

图7给出了b=0.2时,快子系统关于β的单参数分岔图，其中Fold分岔值和各Flip分岔值分别是我们以此为例，探讨簇发振荡模式的产生.由于慢变量无法穿越Fold分岔点，因此轨线无法在快子系统的上、下稳定支之间来回转迁，即轨线必然会沿某一稳定支(可以是上半支，也可是下半支)，这由轨线的初值决定演化[27].

图7 b=0.2时快子系统关于β的分岔图Fig.7 Bifurcation diagram of fast subsystem with β forb=0.2

图8(a)给出了Zn=0.27cos(0.001n)时系统的一种簇发振荡模式.为了揭示其中的动力学机制，图8(b)进一步给出了该簇发的转换相图与分岔图的叠加.由图8(b)可知，当慢变量不断增加、穿越Flip分岔点时，系统出现了有趣的延迟分岔现象.延迟分岔，又称为慢过效应(slow passage ef f ect)或记忆效应[28-29](memory ef f ect)，是吸引子的一种延迟失稳现象[30-31]，即当吸引子失稳变成排斥子时，系统的轨线继续在排斥子上停留了一段时间，然后再离开排斥子的现象.由于延迟的作用，该参数组合下出现了排斥子F+与周期2轨道间的滞后.因此，当延迟结束时，轨线得以迅速向该周期2吸引子转迁，从而导致激发态的出现.

当Zn不断减小，“反向”越过Flip分岔点时，数值计算表明：系统在Zn=0.126处由周期2振荡进入沉寂态.将其与Flip分岔值相比，尽管仍能观察到一定的延迟，但相应延迟量明显小于“正向”通过时的情形.因此，这里只考虑“正向”穿越时的延迟行为，而对“反向”的延迟忽略不计.考虑到系统因延迟Flip分岔从沉寂态进入激发态，随后又由反向Flip分岔从激发态返回沉寂态，故可以将这种簇发振荡模式命名为“延迟Flip/反向Flip”簇发.

图8 “延迟Flip/反向Flip”簇发，b=0.2,Zn=0.27cos(0.001n)Fig.8“Delayed F lip/inverse Flip”bursting,b=0.2,Zn=0.27cos(0.001n)

我们已经看到，延迟 Flip分岔可以引起系统从排斥子向吸引子的灾难性转迁(catastrophic transition)，由此得到了由延迟Flip分岔诱发的簇发振荡.接下来，我们简要地分析由延迟Flip分岔诱发的其它几类典型的簇发振荡模式，它们与慢变量穿越Flip分岔点以及混沌区域有关.

3.2 “双重延迟Flip/双重反向Flip”簇发

当F=0.34时，系统可产生“双重延迟Flip/双重反向Flip”式簇发.在Zn越过之后，延迟效应使得轨线继续停留在不动点上，直至轨线才迅速地转迁到周期2轨道.随后，在Zn=0.337处,轨线离开已经失稳的周期2轨道，跃迁到周期4轨道.当Zn达到最大值后，通过双重反向Flip分岔，系统又回到沉寂态，并进入下一周期，数值模拟结果如图9.

图9 “双重延迟Flip/双重反向Flip”簇发,b=0.2,Zn=0.34cos(0.001n)Fig.9“Delayed double Flip/double inverse Flip”bursting,b=0.2,Zn=0.34cos(0.001n)

3.3 “多重延迟Flip/多重反向Flip”簇发

如图10，取F=0.35，系统可产生“多重延迟Flip/多重反向Flip”形式的簇发.分岔延迟使得轨线在Zn=0.219处离开不动点，突然转迁并一直保持在周期2轨道上.直到Zn=0.343时，延迟效应使系统离开已经失稳的周期2轨道，直接跃迁到周期8.当Zn到达最大值后，激发态经由多重反向Flip分岔逐级演变为沉寂态，随后系统进入下一周期.

图10 “多重延迟Flip/多重反向Flip”簇发,b=0.2,Zn=0.35cos(0.001n)Fig.10“Delayed multiple Flip/inverse multiple Flip”bursting,b=0.2,Zn=0.35cos(0.001n)

3.4 “级联延迟Flip/级联反向Flip”簇发

当F=0.38时，轨线先在Zn=0.222处转迁到周期2，随后出现的第二次分岔延迟则使系统在Zn=0.351处直接进入混沌态.随着Zn到达最大值，系统又通过一系列反向Flip分岔回到沉寂态，进而进入下一周期，数值模拟如图11所示.依据前面所采用的分类方法，将其称为“级联延迟Flip/级联反向Flip”簇发.

4 结论

图11 “级联延迟Flip/级联反向Flip”簇发,b=0.2,Zn=0.38cos(0.001n)Fig.11“A cascade of delayed Flip/a cascade of inverse Flip”bursting,b=0.2,Zn=0.38cos(0.001n)

本文以离散Duffing系统为例，探讨了由于慢变激励的存在而诱发的具有复杂分岔结构的簇发振荡模式.在S形不动点曲线的Fold分岔点附近，不动点吸引子可与诸如2n周期或混沌等不同类型的吸引子共存.研究表明，若慢变激励振幅充分大，以致慢变量能越过Fold分岔点时，吸引子的共存会因Fold分岔而被破坏.于是，系统向原先共存的吸引子转迁，由此产生了由Fold分岔所诱发的各类对称式簇发.另一方面，当慢变激励无法越过Fold分岔点时，延迟分岔现象形成了不稳定的2n轨道与稳定的2n+1(n=0,1,2,··)轨道间的滞后.基于此，得到了由延迟Flip分岔所诱发的各种非对称式簇发.特别的，本文所报道的簇发其“激发态”大多由两次以上的反向Flip分岔才过渡到“沉寂态”，从而导致簇发具备多级反向Flip分岔这类复杂的结构.然而，需要指出的是，本文的研究主要针对簇发动力学机制的定性分析，仍有一些与簇发相关的重要问题需进一步探讨，例如簇发中延迟现象的本质以及延迟量的计算等问题.

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COMPLEX BURSTING OSCILLATION STRUCTURES IN A TWO-DIMENSIONAL NON-AUTONOMOUS DISCRETE SYSTEM1)

Chen Zhenyang Han Xiujing2)Bi Qinsheng
(Faculty of Civil Engineering and Mechanics，Jiangsu University，Zhenjiang212013，Jiangsu，China)

Bursting oscillations are the archetypes of complex dynamical behaviors in systems with multiple time scales, and the problem related to dynamical mechanisms and classification of bursting oscillations is one of the important problems in bursting research.However,up to now,most of the structures of bursting revealed by researchers are relatively simple.In this paper,we take the non-autonomous discrete Duffing system as an example to explore novel bursting patterns with complex bifurcation structures,which are divided into two groups,i.e.,symmetric bursting induced by Fold bifurcations and asymmetric bursting induced by delayed Flip bifurcations.Typically,the fast subsystem exhibits an S-shaped fi ed point curve with two Fold points,and the stable upper and lower branches evolve into chaos by a cascade of Flip bifurcations.When the non-autonomous term(i.e.,the slow variable)passes through Fold points,transitions to various attractors(e.g.,periodic orbits and chaos)on the stable branches may take place,which accounts for the appearance of Fold-bifurcation-induced symmetric bursting patterns.If the non-autonomous term is not able to pass through Fold points,but to go through Flip points,delayed Flip bifurcations can be observed.Based on this,delayed-Flip-bifurcation-induced asymmetric bursting patterns are obtained.In particular,the bursting patterns reported here exhibit complex structures containing inverse Flip bifurcations,which has been found to be related to the fact that the nonautonomous term slowly passes through Flip points of the fast subsystem in an inverse way.Our results enrich dynamical mechanisms and classification of bursting in discrete systems.

discrete Duffing system,complex bursting patterns,delayed Flip bifurcations,inverse Flip bifurcation structures

O322

A doi：10.6052/0459-1879-16-267

2016-09-22收稿，2016-11-06录用,2016-11-11网络版发表.

1)国家自然科学基金(11572141,11632008,11502091,11472115,11402226)和江苏大学青年骨干教师培养工程资助项目.

2)E-mail：xjhan@mail.ujs.edu.cn

陈振阳，韩修静，毕勤胜.一类二维非自治离散系统中的复杂簇发振荡结构.力学学报,2017,49(1)：165-174

Chen Zhenyang,Han Xiujing,Bi Qinsheng.Complex bursting oscillation structures in a two-dimensional non-autonomous discrete system.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(1)：165-174