基于可信性理论的电-气综合能源系统最优能流

段家豪，陈佳佳，杨自娟，陈文钢，尹文良

（山东理工大学电气与电子工程学院，淄博 255000）

随着化石能源枯竭和环境污染问题日益严重，传统能源与能源网络已逐渐无法满足当前经济社会的发展需求[1]。电-气综合能源系统IENGS（integrated electricity-natural gas system）可实现能源的转化、存储及再分配，具有良好的发展前景和经济价值[2]。研究表明，IENGS 的能量耦合和协调运行可以提高能源利用率，降低系统运行成本[3]。在此背景下，最优能流OPGF（optimal power-gas flow）作为IENGS规划、运行、安全性分析等问题的基础，引起了广泛的关注。目前，关于确定性OPGF 的研究较为成熟，研究成果也相对较多，但均未考虑可再生能源不确定性对系统运行的影响[4-5]。实际上，在未来高比例分布式风力发电接入的情景下，风电的不确定性将给IENGS 的安全运行带来极大的挑战[6]。因此，在OPGF 计算中研究风电不确定性对IENGS系统的影响具有重要意义。

国内外学者在含不确定性风电的IENGS 能流计算方面开展了一系列富有成效的研究工作。文献[7]基于随机优化构建了一种电-气互联系统的OPGF 框架，采用蒙特卡洛采样研究了不同场景风电出力对IENGS 系统运行的影响。考虑随机优化存在重复采样、计算量大等问题[8]，文献[9]提出一种两阶段鲁棒OPGF 模型，该模型利用列约束生成法识别最坏情况下的不确定性场景。然而，鲁棒优化不允许任何违规行为发生，往往导致结果过于保守且成本高昂[10]。文献[11]利用Weibull 分布表征风电出力的不确定性，基于机会约束优化研究了电-气互联系统的OPGF问题。机会约束优化结果的可靠性依赖于精确的不确定性分布参数（如分布的均值和方差），而实际中有限的风电历史数据难以获取精确的分布参数[12]。可信性理论是研究模糊现象数量规律的一个新的数学分支，它建立在严密的公理化基础之上。基于可信性理论的模糊机会约束优化能够在风电历史数据不足的情况下，通过定义可信度水平，将违规行为控制到允许范围内，实现风险和成本的权衡[13]。因此，本文拟采用模糊机会约束对电力系统的不确定性建模，并基于可信性理论推导出模糊机会约束的清晰等价类，将模型松弛为凸优化问题。

另一方面，由于IENGS电力网络与天然气网络高度耦合，电力网络风电功率的不确定性通过耦合设备（燃气轮机和P2G设备）传递至天然气网络，威胁整个IENGS 的安全稳定运行。目前文献主要集中于基于燃气轮机单向耦合的随机OPGF问题[14-16]。而文献[17-18]研究表明P2G 设备的接入可以有效提高系统应对风电不确定性的能力，然而，在考虑P2G设备作为灵活性资源时，均未研究风电出力不确定性通过耦合设备对天然气网络的影响。当风电出力预测误差偏大时，由于天然气网络可获取耗气量的限制，耦合设备无法满足电力网络的供需平衡。因此，在OPGF 中如何分析与应对风电不确定性对天然气网络能流的影响，仍是一个亟待解决的问题。

针对上述问题，本文提出一个基于可信性理论的模糊机会约束-区间最优能流FCC-IO OPGF（fuzzy chance constraint-interval optimization OPGF）计算方法，旨在大规模风电接入的情况下，缓解风电不确定性对IENGS运行的影响。首先，本文建立了IENGS 的确定性能流模型，在此基础上，基于可信性理论建立了风电不确定性的可信性分布函数，构建了电力网络模糊机会约束FCC（fuzzy chance constraint）模型，并推导了模糊机会约束的清晰等价类。进而建立了天然气网络P2G 设备和燃气轮机区间优化IO（interval optimization）模型，以定量分析风电不确定性对天然气网络能流的影响。然后，将模型松弛为混合整数二阶锥规划问题，从而实现模型的快速求解。

1 IENGS 确定性能流模型

配电网和天然气网络之间通过燃气轮机和P2G 设备耦合形成IENGS，实现不同系统能量的双向传递。其中：燃气轮机以天然气为燃料向配电网供电，相当于电力网络的电源或天然气网络中的负荷；分布式风力发电向配电网提供电能；P2G 设备则将多余风电转化为天然气，并储存在储气装置中，因此，P2G 相当于天然气网络的气源或电力网络的负荷。电-气综合能源系统结构如图1所示。

图1 电-气综合能源系统的结构Fig.1 Structure of integrated electricity-natural gas system

1.1 目标函数

IENGS 的OPGF 目标是最小化总运行成本F，包括系统购电成本、天然气井产气成本、弃风惩罚成本和储气维护成本，表示为

1.2 配电网DistFlow 潮流约束

配电网的拓扑结构为辐射状，可以通过线性化支路流DistFlow模型来描述[18]。该潮流模型广泛用于配电网优化运行等相关工作，表示为

式中：χ(j)为节点j安装的燃气轮机集合；δ(j)为以节点j作为始端节点的支路末端节点的集合；ψ(j)为连接到节点j的P2G设备集合；Pg,t为t时刻第g台燃气轮机输出的有功功率；Pa,t为t时刻第a台P2G 设备消耗的有功功率；和分别为t时刻的节点j的有功和无功负荷；Pij,t、Pjk,t和Qij,t、Qjk,t分别为t时刻线路ij、jk段的传输的有功和无功功率；和分别为t时刻上级电网注入到根节点的无功功率及其最大、最小限值；Uj,t和分别为t时刻节点j的电压幅值及其上限、下限；U0,t和Ui,t分别为t时刻根节点和节点i的电压幅值；rij和xij分别为线路ij的电阻和电抗；和分别为t时刻上级电网传输有功功率的最大和最小限值。其中，式（2）～式（3）为节点的功率平衡约束，式（4）为节点电压的计算公式，式（5）为节点电压的限制约束，式（6）～式（8）设备的功率极限约束。

1.3 天然气网络运行约束

天然气网络中的传输管道按照有无气体压缩机可分为主动和被动管道[2]。天然气网络的约束具体表述为

式中：η(n)和μ(n)分别为安装在节点n处的P2G设备和燃气轮机的集合；δ(n)为以节点n为始端节点的支路末端节点的集合；λ(p)为被动管道的集合；λ(c)为含压缩机的主动管道的集合；Ga,t和Gg,t分别为t时刻第a台P2G设备的产气量和第g台燃气轮机的耗气量；为t时刻n节点的天然气负荷；Gmn,t和分别为t时刻以节点n为末节点的管道mn的传输流量和其最大传输限制；Gnr,t为t时刻以节点n为始端节点的管道nr的传输流量；πn,t和为t时刻节点n气压平方和其上限、下限；πm,t和为t时刻节点m气压平方和其上限、下限；Cmn为被动管道的Weymouth 常数；为天然气井产气的上限、下限值；Γmn为压缩机的压缩比；和为t时刻第s台储气装置的出、进气量和其最小、最大限值；Es,t和为t时刻的第s台储气装置的储气量和其最大、最小限值。Es,0、Es,τ为初始时刻0、最终时刻τ的第s台储气装置的储气量。其中，式（9）为节点流量平衡式，式（10）为被动管道的Weymouth 方程约束，式（11）为管道的输气限制约束，式（12）为气井的产气限制约束，式（13）～式（14）为节点气压约束，式（15）为主动管道上气体压缩机两端的节点压力约束，式（16）～式（20）为储气装置运行约束。

1.4 耦合设备约束

燃气轮机和P2G 设备作为连接配电网和天然气网络的能源枢纽，使IENGS实现了能量的双向传递。因此，IENGS在运行过程中应考虑耦合设备的运行约束。燃气轮机的运行约束

P2G设备在运行过程中的约束限制分别为

2 IENGS 的模糊机会约束-区间最优能流模型

2.1 考虑风电不确定性的电力网模糊机会约束模型

由于现实中风电出力无法准确预测，风电的预测误差是不可避免的。因此，t时刻实际风电出力可以表示为：，其中，ωw,t为t时刻第w台风机的预测误差。t时刻风电总预测误差表示为，其隶属度函数μt采用柯西分布表征[19]为

式中：Eω+和Eω-分别为受不确定性影响的风电实际出力高于预测值的正误差统计平均值和风电实际出力低于预测值的负误差统计平均值；σ为权重。

由文献[19]得，风电预测误差的可信性分布函数Cr 为

在实际系统运行中，受风电出力不确定性的影响，为确保发电量始终等于需求量，文献[20-22]采用线性仿射控制策略，即考虑参与控制的所有发电机以成比例的方式响应不确定性风电波动，不同发电机按照各自的比例参与系数分摊风电不确定性引起的功率失配量。在电-气综合能源系统中，由于燃气轮机和P2G 设备相较于传统发电机具有灵活性和快速响应能力，因此，由燃气轮机、P2G设备代替传统发电机提供备用补偿风电预测误差所引起的系统功率不平衡。考虑到P2G 设备在风电预测误差为正时，P2G 转换量应增加；而在风电预测误差为负时，P2G转换量应减小。燃气轮机的出力与P2G 呈现相反的变化特征。燃气轮机和P2G 设备的有功功率可以建模为

为保证燃气轮机和P2G 设备能够平抑风电不确定性，本文基于可信性理论构建模糊机会约束为

式中，ε为事件发生的可信度，一般取0.95～0.99。

求解模糊机会约束式（31）和式（32）所获得的能流解，可以确保在风电不确定性变量Ωt下能流解满足给定的可信度ε，将违规行为控制至允许范围内，并且通过调整可信度ε，实现IENGS 运行风险和成本的权衡。

此外，由于模糊机会约束式（32）、式（33）中含有不确定性变量Ωt，无法直接求解，本文将推导出其确定性清晰等价类。根据文献[23]，可以得到以下定理。

定理1：假设ξ为一维模糊变量，其隶属函数为μ。如果函数g(x,ξ)的形式为g(x,ξ)=h(x)-ξ，其中x和g(·) 分别是决策向量和约束，则Cr(g(x,ξ)≤0)≥ε，当且仅当h(x)≤K时，有

因此，结合式（29）、式（30），当ε≥1/2 时，根据定理1，燃气轮机和P2G 设备的模糊机会约束式（32）、式（33）可以转化为便于直接求解的清晰等价类约束，即

2.2 考虑风电不确定性的天然气网络区间优化模型

燃气轮机和P2G 设备作为电-气耦合设备，连接配电网和天然气网络。由于燃气轮机和P2G 设备补偿风电预测误差时会产生功率波动，不确定性将从电力网络传递至天然气网络。因此，天然气网络应具有足够的灵活性以应对燃气机组和P2G 设备的功率波动。

当考虑风电出力不确定性时，燃气轮机和P2G设备的功率在模糊机会约束式（35）确定的区间范围内变化，根据式（21）和式（24）可将燃气轮机和P2G 设备的功率上、下限转换为天然气上、下限。燃气轮机的天然气上限可转化为

同理可以得到考虑风电不确定性的燃气轮机和P2G设备的天然气输出区间，表示为

因此，根据燃气轮机和P2G设备的天然气输出区间，区间优化方法可用来描述天然气网络约束。结合式（9）～式（13），考虑不确定风电的天然气网络约束可表示为

根据式（9）和式（38）可得，t时刻考虑风电预测误差的天然气网络状态变量的变化量满足

根据式（44），当t时刻的Δg,t最大、Δa,t最小时，天然气井需要响应燃气轮机和P2G设备的功率波动而增加供气量，因此取最大值；反之，取最小值。同理，由于配气网络中天然气井一般位于网络的首端节点，所以当取最大值时，管道流量的变化量Δmn,t取最大值，而从节点n流向下游节点的管道流量变化量Δnr,t与燃气轮机和P2G 功率变化无关。此外，根据式（39），若为正，则Δm,t的最大值在Δmn,t取最大值时取得，而Δn,t的最大值在Δmn,t取最小值时取得。根据上述分析，将天然气网络不确定性区间变量均替换为其上下界，转化成仅含确定性变量的常规优化问题，即

结合式（37），约束式（45）中Gup和Πup分别代表Δg,t取式（37）的上界、Δa,t取式（37）的下界时，所对应约束式（38）～式（43）的等式和不等式约束。约束式（46）中Glo和Πlo代表Δg,t取式（37）下界、Δa,t取式（37）上界时，所对应约束式（38）～式（43）的等式和不等式约束。xup和xlo则分别表示2种情况下的天然气网络的状态变量。

考虑式（39）是非线性的，给模型的求解带来困难，本文采用二阶锥松弛的方法对式（39）进行松弛。首先，定义控制t时刻mn段天然气管道潮流方向的二进制变量xmn,t∈{0,1}，当xmn,t=1 时，表示Gmn,t≥0；当xmn,t=0 时，表示Gmn,t<0。因此，式（39）可以表示为

然后，设辅助变量zU,t和zD,t满足以下约束条件

因此，式（47）可以转化为

设置辅助变量Ht，令其满足约束

将式（52）分别替换式（45），式（46）中的对应的Weymouth 方程约束。同理，式（10）也可按照该方法进行松弛。

综上所述，所提出FCC-IO OPGF模型可以表示为混合整数二次规划问题，即

式中：F为最小化总运行成本，也是FCC-IO OPGF模型的目标；式（2）～式（22）、式（24）、式（25）为电-气综合能源系统确定性能流约束；式（31）和式（34）为电力网络模糊机会约束的清晰等价类约束；式（45）、式（46）为天然气网络的区间优化约束；式（48）、式（49）、式（51）、式（52）为天然气Weymouth方程的混合整数二阶锥约束。

基于FCC-IO OPGF模型，配电网络能够有效应对风力发电的不确定性，天然气网络也能够通过灵活可控的燃气轮组和P2G 设备缓解风力发电不确定性对天然气系统的影响，保证IENGS系统的安全稳定运行。

3 算例分析

本文的测试系统为IEEE 33 节点配电网和20节点比利时天然气网耦合形成的IENGS系统，具体拓扑如图2所示。其中：电网中节点E1与上级电网相连，被称为根节点，节点E11和节点E31分别接入容量为1.2 MW 的分布式风机；天然气网络节点G1和G8 分别连接两个天然气井作为天然气网络气源，节点G7连接储气装置；3台电-气耦合设备被连接到IENGS，包括2台容量为1 MW的燃气轮机GT1和GT2，1台容量为1 MW的P2G设备。图3为电力、天然气总负荷和风机的日前预测曲线，其中电力有功负荷的峰值为3.72 MW，气网负荷峰值为53.1 kcf/h；售气价格和储气维护成本参考文献[9]分别设置为2.0和0.2$/(kcf∙h-1)；弃风价格设置为80$/(MW∙h)。1 in3=0.028 316 8 m3。

图2 电-气综合能源系统配网Fig.2 Distribution network of integrated electricitynatural gas system

图3 电力、天然气负荷和风电的日前预测曲线Fig.3 Day-ahead forecasting curves of electricity load,natural gas load and wind power

风电预测误差的可信性分布参数为：σ=2.33，。

本文通过设置3 个场景算例来验证所提模型的有效性。场景1 为不考虑风电不确定性的基础算例，即在IENGS中采用确定性OPGF 模型；场景2为仅考虑风电不确定性对配电网影响，在IENGS中使用配电网的模糊机会约束模型和天然气网络的确定性模型；场景3 为本文所提出的FCC-IO OPGF模型。

3.1 风电不确定性对配电系统运行影响分析

图4为95%的可信度下不同场景的燃气轮机出力情况。场景1 的燃气轮机出力在风电出力低谷期达到最大值，此时还需向电网购电才能满足电力负荷的要求。若该时段风电的出力突然降低，系统需要燃气轮机和P2G设备提供备用调节，然而场景1的燃气轮机出力达到峰值，则可能会造成功率失衡影响配电网的安全运行。场景2 考虑了风电的不确定性，各个设备的有功功率出力发生显著变化。在负荷高峰时段（例如：08：00—15：00 时段），场景2的燃气轮机出力较场景1总体降低了18.8%，其原因是燃气轮机的出力受到可信度约束，保证燃气轮机具有足够的调节容量，使其能够在规定的可信度下响应风电不确定性的变化。同理，场景3中燃气轮机的出力也整体降低，以确保燃气轮机的调节能力能够平抑风电的不确定波动。

图4 95%可信度下不同场景的有功出力对比Fig.4 Comparison of active power output under different scenarios at 95% credibility level

图5为不同场景的P2G设备消耗功率对比。由图可见，在低电力负荷和高风电输出时段（例如：00：00—08：00 时段），P2G 设备的消耗功率达到最大，原因是P2G 将剩余风电转换为天然气，提高了能源利用效率。此时，若风电出力突然增大，场景1的P2G设备可能由于其容量限制而丧失调节能力，从而无法消纳风电的向上波动量。但场景2 和场景3 由于可信性约束限制了P2G 的出力，以使P2G在风电出力的高峰时段具有满足规定可信度的调节能力，能够缓解风电的不确定风险。

图5 95%可信度下不同场景的P2G 功率对比Fig.5 Comparison of P2G power under different scenarios at 95% credibility level

3.2 风电不确定性对天然气网络能流影响分析

上述分析验证了本文提出的模型在配电系统中平抑风电不确定性的能力。但实际上，由于耦合设备的存在，风电出力不确定性通过电-气耦合设备传递到天然气网络，对天然气网络产生影响。因此，要求气源应保有一定的灵活性以应对燃气机组和P2G设备功率的突然变化。

在处理配电网中不确定性风电出力时，场景3的仿真结果与场景2 几乎相同，但场景3 在应对传递至天然气网络的不确定性时与场景2 存在明显差异。不同可信度下不同场景的气源供气对比如图6 所示，场景1 和场景2 在燃气机组高功率输出时段（例如：17：00—23：00 时段），天然气源满足其最大天然气产量限制，天然气网络的运行非常紧张，无法适应燃气机组和P2G设备功率的任何增量变化。这导致当风力发电量偏离预测值时，天然气网络燃气机组因容量受限难以提供备用，配电网和天然气系统都将面临较高的运行风险。而在不同可信度下，场景3的气源在燃气机组高功率输出时段没有达到其最大容量限制，而是留有一定的可调节容量裕度。由图6（d）可见，随着可信度的增大，场景3的天然气源可调节容量也逐渐增大，这证明模型所设置的约束是有效的。

图6 不同可信度下不同场景的气源供气对比Fig.6 Comparison of gas well output under different scenarios at different credibility levels

值得注意的是，图6（c）中，在99%可信度水平的情况下，场景2的气源出力在气负荷高峰期没有达到峰值，原因是在99%的可信度水平下场景2 的可信性约束为保证燃气轮机具有充足的向上可调节容量，限制了燃气轮机的出力，以降低气源的出气量，但相应的代价是成本的上升。而在图6（c）中，场景3 的气源所留的调节容量最高，这说明场景2所留气源容量增加的灵活性仍不能满足99%可信度所代表的安全等级。这也进一步证实了所提FCC-IO OPGF模型的有效性。

此外，场景3 中燃气机组和P2G 的功率与场景2 的几乎相同，因为场景3 中对气源供气计划的调节主要是通过储气装置实现的，而不全是减小燃气轮机的出力或者增大P2G的出力，这有效降低了系统运行成本。95%可信度下储气装置的配置对场景3 的影响如表1 所示。与不采用储气装置相比，当场景3考虑储气成本，采用储气装置时，IENGS成本降低了13.32%，原因是如果没有储气设备，要达到给定的置信水平则必须降低燃气轮机的出力，此时为满足负荷的需求就需要增大向电网购电，而购电的成本相对较高，从而造成系统成本的提升。

表1 95%可信度下储气装置的配置对场景3 的影响Tab.1 Influence of gas storage equipment configuration on Scenario 3 at 95% credibility level

95%可信度下场景2和3的储气装置充放气曲线如图7 所示，储气装置在天然气负荷低谷期（例如：00：00—08：00时段）充气，在天然气负荷高峰期（例如：08：00—15：00时段）放出。值得注意的是场景3 在负荷低谷期的充气量远远高于场景2 的，并且在08：00—24：00时段持续放气，原因是场景3中天然气网络的区间约束强制储气装置在负荷低谷时，除了使用P2G 设备中价格低廉的天然气外，还额外从天然气源中充气（从图6中可看出，在低负荷期间场景3 的天然气源的供气最高），以保证在负荷高峰期时天然气源具有满足给定可信度的可调节容量，从而缓解天然气网络高峰时的用气压力。若不考虑储气装置，在用电高峰期时，需要同时满足电、气负荷的需求，但气源出力是有限的，为保证供需平衡，只能增大上级电网的购电，造成系统成本的上升。

图7 95%可信度下场景2 和3 的储气装置充放气曲线Fig.7 Charging and discharging curves of gas storage equipment under Scenarios 2 and 3 at 95% credibility level

3.3 耦合设备响应风电不确定变化的分配方案

图8 和图9 分别为在不同可信度下场景3 的燃气轮机和P2G 的功率情况。在本文所提模型中，P2G 和燃气轮机的功率受到参与因子和可信度的共同影响，其中：参与因子作用是将风电预测误差引起的总功率不平衡量按照成本最小原则在燃气轮机和P2G 设备之间进行分摊以应对风电的不确定性；而可信度则代表了风险的概念，在给定可信度后，当燃气轮机和P2G的出力在可信度和参与因子决定的优化区间内，则IENGS运行风险在可接受水平之下。

图8 不同可信度下场景3 的燃气轮机输出功率曲线Fig.8 Curves of gas turbine output power under Scenario 3 at different credibility levels

图9 不同可信度下场景3 的P2G 设备消耗功率曲线Fig.9 Curves of P2G equipment power consumption under Scenario 3 at different credibility levels

图10 为不同可信度下场景3 的各耦合单元的参与因子分配。可以发现3个明显特征：①同一台设备在不同可信度水平下的参与因子可能不同，这受到系统所要求的安全性（可信度）和经济性（运行成本）的双重影响。②P2G设备在风电低谷和负荷高峰时段（例如：11：00—20：00 时段）内不参与调节，因为在风电低谷期，没有多余的低成本风电转化给P2G设备，P2G相当于一个纯粹的电负荷。因此，在这一时段，风电的不确定性波动所产生的功率失衡全由燃气轮机承担，这样更符合经济性的原则。③在99%的可信度下，各个耦合设备的分配因子较之前的可信度水平更能体现多设备协调作用以应对风电的不确定性，这是由于单一的设备无法满足如此高的安全水平，必须依靠多种设备协调运作。因此，在15：00—20：00 时段的风电低谷时段，P2G 设备也参与调节，因为系统的安全性是首要要求。

图10 不同可信度下场景3 的参与因子分配Fig.10 Participation factor distribution under Scenario 3 at different credibility levels

表2比较了不同可信度下3个场景算例的系统总成本，其中系统总成本由式（1）计算得到。正如预期，随着可信度水平的提升，IENGS 的成本会增加，原因是可信度ε的值代表风险水平。较高的ε表示对约束违反的容忍度较低，因此需要更保守且成本更高的调度决策。一般来说，风险和成本是相互矛盾的一对指标。放松风险约束则会降低总系统成本，但如果风险约束放宽得太多，可能会导致频繁违反可信度约束的限制。此外，表2 中，可信度水平越高，成本的增量越高。例如：场景3在97%可信度下的系统成本仅比95%可信度下的高3.16%，而99%可信度下系统成本较97%可信度下的高12.25%。因此，IENGS调度人员有必要根据实际需求选择合适的可信度，以在系统的安全性和经济性之间做出权衡。

表2 不同可信度下的各场景系统运行成本Tab.2 System operating costs under different scenarios at different credibility levels

4 结 论

针对IENGS 运行过程中面临的风电不确定性问题，本文基于可信性理论提出了FCC-IO OPGF模型，并对模型中约束进行松弛，将模型转化为混合整数二阶锥规划问题。算例结果表明以下结论。

（1）正如预期，FCC-IO OPGF 模型采用可信度量化风险，随着可信度的提升，耦合设备的可调节能力增强，IENGS的不确定性风险下降。

（2）FCC-IO OPGF模型借助储气装置对气源产气量进行调节以提升天然气网络的灵活性，相较于不使用储气装置的情况，IENGS 运行成本减少13.32%。

（3）FCC-IO OPGF模型可以获得不同可信度水平下耦合设备响应风电不确定变化的分配方案。通过调整可信度，调度人员可以在IENG 运行的安全性和经济性之间进行权衡。

未来工作将以本文模型为基础，深入研究IENGS的动态特性以及实时控制方法。