暂态振荡信号频率检测的M orlet小波谱峭度法

张巧革，刘志刚，陈刚

（西南交通大学电气工程学院，成都 610031）

暂态振荡信号频率检测的M orlet小波谱峭度法

张巧革，刘志刚，陈刚

（西南交通大学电气工程学院，成都 610031）

针对电力系统暂态振荡信号频率检测中存在的检测过程复杂、易受噪声影响且通用性不强的问题，提出了一种基于Morlet复小波谱峭度的暂态振荡信号频率检测方法。采用Morlet复小波对含噪暂态振荡信号进行小波分解获得小波系数；利用小波系数绝对值计算信号的谱峭度；最后，通过最大值检测方法实现对暂态振荡的频率检测。针对谱峭度对噪声适用范围不明确的问题，提出并定义相似度函数，用于分析算法对噪声的敏感程度。仿真实验表明，该方法通用性较强，且计算过程简单，检测精度可以满足实际需求。

谱峭度；暂态振荡信号；Morlet复小波变换；频率检测

暂态振荡是一种常见的电能质量暂态扰动现象，其产生的原因有多种，其中最主要的就是电容器的投切。暂态振荡常会导致电子设备的损坏、运行设备的破坏，给电能质量敏感用户造成不可估量的损失[1]。由于暂态振荡持续时间短，振荡频率高，目前对其针对性研究不是很多，还未引起足够的重视[2]，给其检测和识别带来一定的困难。

短时傅里叶变换STFT（short-time Fourier transform）、小波变换和Prony算法是电力系统中常用的信号处理方法。但这些方法应用于暂态信号分析时，都有其不足之处。STFT的时频窗口没有自适应性，且参数选择困难，不适合分析暂态振荡信号的瞬变过程；小波变换虽然有时频局部化的特点，但小波基不易选择；Prony算法对噪声非常敏感且需事先判断信号发生的时刻。文献[1]结合小波分析时频局部化特点和Prony算法可以准确获取振荡模式的优点，提出基于特定频带的Prony暂态振荡检测方法，能够检测出暂态振荡信号的幅值和频率。文献[3]结合STFT和小波分析的优点，提出基于特定频带的STFT的方法，可准确得到暂态信号中主要谐波频率分量的频率和幅值。文献[4]提出基于聚类模态分解EEMD（ensembleempiricalmode decomposition）的希尔伯特-黄变换HHT（Hilbert-Huang transform）电能质量扰动检测方法，能够检测暂态振荡的频率。但是，上述方法计算过程复杂且对噪声比较敏感，不适用于含噪信号。

谱峭度的概念最早由Dwyer提出，用来检测含噪信号中的瞬态成分[5]。随后，Vrabie定义谱峭度为一个过程距离高斯性的度量，并在文献[6]中将其应用到滚动轴承故障诊断中。Antoni在文献[7]中系统定义了谱峭度，提出了基于STFT的谱峭度，论证了其具有检测加性噪声中非平稳信号的能力。石林锁和Sawalhi先后提出基于Morlet小波变换的谱峭度法，并将其应用到机械故障诊断中[8，9]。由于谱峭度分析非平稳暂态信号时具有良好的性质，本文将其应用于电力系统暂态振荡信号频率检测中，基于Morlet小波变换谱峭度算法的基础，提出并定义一种相似度函数，用来衡量算法对噪声的敏感性，分析谱峭度的适用范围。研究了Morlet小波参数对计算结果的影响和该算法检测暂态振荡频率的适用性、稳定性和有效性。

1 基本理论

1.1 谱峭度定义

谱峭度[7]SK（spectral kurtosis）是反映信号经时频分解后原始信号在某个频率成分上峭度值大小的指标。它可以指示一系列暂态信号的存在及其在频域内的位置，可以用来分析非平稳信号。

非平稳情况下，信号x（t）的Wold-cramer分解的频域表达式[9]为

其中H（t，f）是随时间变化的，可解释为频率f处的复包络。

过程Y（t）的四阶谱累积量定义为

式中，S（f）为谱瞬时矩，即

于是，谱峭度可定义为

1.2 基于小波变换的谱峭度

小波变换继承和发展了短时傅里叶变换的局部化思想，能在时间域和频率域同时对信号进行局部化分析，因此在各个领域得到了广泛关注[10～12]。

Morlet小波是一种连续复小波，其基小波定义为复指数函数与高斯函数的乘积。其采用的Gauss窗是时-频面积最小的窗函数，时频域局部化性能好，对称性好，且其变换结果可同时反映信号的幅值和相位关系[13]。因此，选Morlet小波对原始信号进行连续小波分解。

信号x（t）的连续小波变换表示为Wx（a，b）。以Morlet复小波函数为母函数的小波变换可表示为

在一个给定的尺度a上对信号进行小波变换，得到小波系数，再利用小波系数的绝对值，根据式（6）计算每个频率点对应的峭度，便可得到信号的谱峭度。

基于小波变换的谱峭度计算公式为

2 算法原理与步骤

2.1 谱峭度算法的选择

谱峭度的计算建立在时频分析的基础上，目前已有的计算谱峭度的算法主要有：基于STFT的谱峭度法、基于小波变换的谱峭度法和基于Wigner-Ville分布WVD的谱峭度法。其中基于STFT的谱峭度法，受限于时频分辨率的折中问题，信号噪声较大时效果不理想；基于WVD的谱峭度具有许多良好的性质，但由于电力系统暂态振荡信号是基频信号和振荡信号的叠加，故其对于叠加信号的交叉项无法完全消除，从而影响分析效果；基于小波变换的谱峭度具有较高的分辨率，且其尺度变换能够满足暂态振荡信号频率检测的需要，故选用基于小波变换的谱峭度法。

2.2 相似度函数的定义

非平稳随机过程可表示为

如果式（7）中N（t）为独立于Y（t）的加性高斯噪声，则N（t）的谱峭度可表示为

式中：KZ（f）和KY（f）分别为Z（t）和Y（t）在f处的SK值；ρ（f）为噪声-信号功率比，ρ（f）=S2N（f）/ S2Y（f）。

为了描述KZ（f）和KY（f）的相似性，本文提出并定义一种相似度函数ε，用于分析算法对噪声的适用范围。由式（8）知，ρ（f）越小，KZ（f）和KY（f）的相似性越高，反之亦然。故相似度函数应满足以下性质：

（1）ε取值应在0～1范围内，且ε的值越大，表示KZ（f）和KY（f）的相似程度越高。

（2）当没有噪声时，ρ（f）为零，KZ（f）与KY（f）完全相同，相似度为1。噪声越大，KZ（f）和KY（f）的相似程度越低，ε的取值越小。

（3）ε的值随噪声变化的越快，说明谱峭度对噪声越敏感，反之亦然，故可由ε随噪声的变化率来反映谱峭度对噪声的敏感程度。

基于以上考虑，相似度函数定义为

2.3 算法步骤

谱峭度算法步骤如下。

（1）选用Morlet小波作为小波基，设置带宽、中心频率、小波时间窗长度等参数，对采集到的含噪信号进行小波变换，得到小波系数矩阵；

（2）小波系数矩阵取绝对值后，对每一行先求二阶累计量，再求其四阶累计量；

（3）根据式（6）计算每一行的SK值，每个SK值对应一个频率点；

（4）根据式（9）计算不同噪声条件下相似度函数ε，绘制相似度曲线，分析算法对噪声的敏感程度；

（5）绘制频率-谱峭度曲线，根据曲线特征，利用最大值检测法检测暂态振荡信号的频率；

（6）误差分析，稳定性和准确性研究。

3 仿真分析

3.1 暂态振荡信号仿真与小波变换参数选取

1）暂态振荡信号的产生

本文采用文献[14，15]中的数学模型产生暂态振荡仿真信号，暂态振荡模型为

利用式（10）产生基频为50Hz、峰值为1.7 p.u.、振荡频率为500 Hz、持续时间2个周期、信噪比为20 dB的典型的暂态振荡信号，如图1所示。

2）小波变换参数的选取

以图1中的信号为例，研究带宽和小波分解尺度对谱峭度计算结果的影响。

首先，固定fc=2，m=500，取fb从1到9，对图1中的信号求基于小波变换的谱峭度（采样频率fs=2 kHz），检测结果见表1，部分谱峭度如图2所示。

图1 暂态振荡信号波形Fig.1 Curve of transientoscillation signal

表1 不同带宽的检测值及检测误差Tab.1 Detection valuesand detection errors in differentbandw idth

图2 不同带宽的谱峭度对比Fig.2 Conparison of SK in differentbandw idth

表1中：fce为检测频率；fshi为暂态振荡频率；误差e=|fce-fshi|/fshi。由表1和图2可知，fc和m固定时，带宽fb越大，谱峭度最大值越小。在一定范围内，带宽对检测精度基本无影响。

取fc=2，fb=6，令m的取值范围为100～800，分别计算谱峭度，检测结果见表2。

表2的数据表明，小波分解尺度对检测结果几乎无影响，当m过小或过大时，误差很小。

实验结果表明，只要在合适的范围内，带宽和小波分解尺度的取值对结果的影响不大。从计算量和检测精度两方面综合考虑，取fb=6，m=500，对算法的检测精度和适用性进行研究。

表2 不同分解尺度的检测值及检测误差Tab.2 Detection valuesand errors in different wavelet scales

3.2 相似度曲线的计算及分析

根据谱峭度计算公式和相似度函数定义，对图1所示的信号加入从小到大的白噪声，根据式（6）和式（9）计算不同噪声下相似度函数的值，噪声-相似度曲线如图3所示。

图3 相似度曲线Fig.3 Sim ilarity curve

由图3可知，没有噪声或噪声非常小（信噪比较大）时，ε的值接近于1且衰减很快，这说明噪声很小时，谱峭度对噪声的变化比较敏感；当噪声大到一定程度时，相似度函数值很小并且达到稳定，说明，此时谱峭度值受噪声影响较小。由此推断：噪声很小时，算法不稳定，噪声达到一定的水平后，算法准确度较高且较稳定。

3.3 准确性及适用性研究

为了探究该算法的准确性及适用性，分别从暂态振荡信号幅值、频率、噪声大小、暂态振荡持续时间和叠加谐波等方面进行仿真分析。

1）改变暂态振荡信号幅值

改变图1中仿真信号的幅值，其他参数不变，当幅值α从0.1 p.u.增大到0.8 p.u.时，所测得的误差随幅值的变化如图4所示。

图4表明，振荡幅值很小时（约小于0.22 p.u.），检测结果误差很大，几乎不可用。但当振荡幅值大于0.22 p.u.时，平均误差只有1.07%。这说明，算法对振荡幅值很小的暂态振荡信号不适用。因为小波变换本身会受噪声影响，暂态振荡幅值很小时，对小波分解系数影响很小，即使用谱峭度也很难得到准确检测结果。

图4 误差随幅值的变化Fig.4 Error variation w ith am plitude change

2）改变暂态振荡信号频率

改变图1中信号的频率，其他参数不变，当频率从300Hz增大到900Hz时，所测得误差随频率的变化如图5所示。

图5 频率变化时的误差分布Fig.5 Error variation w ith frequency change

图5中最大误差为5.48%，平均误差1.98%，随频率变化误差随机波动，因每次所加的都是随机噪声，故检测结果会有所变化，跟频率基本无关。

3）改变信噪比

保持图1中仿真信号的参数不变，信噪比从10 dB增大到30dB，所测得的误差分布如图6所示。

图6 误差随噪声的变化Fig.6 Error variation w ith SNR change

由图6可知，信噪比变化时，误差随机波动，在一定的噪声范围内检测结果较好。但随着噪声的减小（信噪比增大）检测误差整体上越来越大。这说明在一定的范围内，算法的准确度不受噪声影响，但噪声非常小时，该方法效果不理想。这是因为噪声小时谱峭度对噪声变化比较敏感，这与图3分析的结果一致。

4）改变暂态振荡信号持续时间

改变图1中仿真信号的振荡持续时间，变化范围20～60ms（即T～3T），保持其他参数不变，取100组数据，检测结果如图7所示。由图7知，暂态振荡持续时间改变时，误差随机变化，变化范围小于4.0%，平均误差为1.21%。这说明算法对暂态振荡持续时间不敏感，适用于时间变化的各种情况。

图7 持续时间改变时的误差分布Fig.7 Error variation w ith duration change

5）叠加谐波

在电力系统中，谐波也是一种常见的扰动，谐波信号的数学模型为

式中，i为谐波的次数，电力系统中的谐波通常为奇次谐波，且超过7次的谐波幅值很小，故i= 3，5，7，…，且αi∈[0.05，0.3]p.u.。

在图1中的仿真信号中，叠加3、5、7次谐波，各次谐波的幅值在0.05～0.30 p.u.间随机产生。取100组数据进行检测，检测结果如图8所示。

图8 叠加谐波后的误差分布Fig.8 Error variation w ith harmonic supplement

图8中平均误差为2.29%，最大误差小于4.0%。这说明叠加谐波后该算法仍然适用。

综合以上分析结果可知，基于Morlet复小波变换的谱峭度法对大部分含噪暂态振荡信号都适用，且准确度较高，检测结果较稳定，检测精度能够满足实际需要。

4 结语

本文将基于Morlet小波变换的谱峭度应用于暂态振荡信号频率检测中，克服了小波变换受噪声干扰大、小波基难以选取的缺点。提出并定义一种相似度函数，用来衡量文中算法对噪声的敏感程度，理论与仿真结果一致。算法过程简单，无需对信号进行去噪滤波等预处理。大量的仿真结果表明，算法对Morlet小波的参数不敏感，对大部分常见的暂态振荡信号都适用，在一定的范围内，准确度不受噪声的影响，对叠加谐波的复合扰动信号仍然适用。

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Frequency Detection of TransientOscillation SignalUsing M orletW avelet Based on SpectralKurtosisM ethod

ZHANGQiao-ge，LIU Zhi-gang，CHENGang
（SchoolofElectricalEngineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

The existedmethods of frequency detection of transientoscillation signal in power system are intricate and susceptible to noise and abominable in versatility.To overcome these disadvantages a novelmethod based on Morlet wavelet-based-spectralkurtosis（SK）is proposed in this paper.In thismethod，theMorletwavelet transform is initially adopted to obtain the wavelet coefficients.Then the wavelet-based-SK is calculated via the absolute value of the waveletcoefficients.Finally，the transientoscillation frequency is detected by themaximum of the SK.In order to analyze the influence on the detection results caused by noise，the similarity function is proposed and defined in the paper. The simulation results indicate that thismethod isapplicable and effective tomostof the common oscillation signals.In addition the calculation process issimple，and theaccuracy canmeet theactualneeds.

spectralkurtosis；transientoscillation signal；Morletwaveletcomplex transform；frequency detect

TM712

A

1003-8930（2013）05-0001-06

张巧革（1987—），女，硕士研究生，研究方向为现代信号处理理论及其在电力系统中的应用。Email：zqg0424@126.com

2012-07-23；

2012-08-22

国家自然科学基金资助项目（U1134205，51007074）；教育部新世纪优秀人才支持计划项目（NECT-08-0825）；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（SWJTU11CX141）

刘志刚（1975—），男，教授，博士生导师，研究方向为现代信号处理与智能计算及其在电力系统中的应用。Email：liuzg_cd@126.com

陈刚（1986—），男，硕士研究生，研究方向为现代信号处理理论及其在电力系统中的应用。Email：chengangdadada@163.com