伏安法测电阻实验中量程转换对测量精度的影响

梅诗雨，刘瑞琪，吴超浩，赵 颖

(北京科技大学 自然科学基础实验中心，北京 100083)

伏安法测电阻实验是一个基本的电学实验，准确测量电阻的伏安特性曲线是本实验的基本要求[1]。很多研究者都对伏安法测电阻的误差进行了分析，探讨了伏安法测电阻实验中的误差来源，分析了误差产生的原因、种类，以及减小或消除误差的方法，并对各种方法的测量结果进行了定量的说明和比较[2,3]。在文献[4]中，介绍了最小二乘法的原理和伏安法测电阻中电流表内接法和外接法的原理,给出了最小二乘法在伏安法测电阻实验数据处理中的应用。易德文等人导出了在物理实验中用伏安法测电阻时安培表采用内、外接法的判定条件,并在实验上给予了验证[5]。在实验中，需首先对被测电阻大小做预估，然后选择内接法还是外接法，对于实验精度的改良则多以改良仪器测量方式为主。在考虑电压和电流相关系数的影响下,给出了伏安法测电阻实验中待测电阻的不确定度表示[6]。张洁等人[7]改进了传统电压表的面板设计，使电压表不仅能测两端的电压，还能测量自身的电流，使电压表分流，再利用电压表的电流测量功能，测出自身分流电流的大小，从而可以准确得出被测电阻的电流与两端的电压。高伟吉提出了还原法[8]，即还原电流法和还原电压法，以消除电流表的分压，电压表的分流，达到减少误差的目的。郎成等人[9]设计了一种补偿原理应用在伏安法测电阻实验中的新方法，用此方法既减小了实验的系统误差又使学生在实验综合应用能力方面得到了的提高。在伏安法测电阻实验的改进中[10],提出了三种消除电表内阻的方法：双安单伏法、电桥伏安法和电流补偿法。在替代式伏安法测量的误差分析[11]中，介绍了传统替代法与替代式伏安法的不同线路连接方式，并分析其优势。许多文献都用了补偿法测电阻来消除误差[12-14]。敬晓丹[12]用补偿法测量中电阻,并用Matlab计算软件处理数据。文献[13]介绍了补偿伏安法测量电阻的原理,对传统伏安法与补偿伏安法的不确定度进行了比较,简述了其优点。

在线性和非线性电阻的伏安特性大学物理实验中，为了充分利用电流表的灵敏度，一般需要改变量程。当量程改变以后，电流表的内阻也改变了。一般情况下，都忽略了这种内阻改变对测量结果的影响。上述方法均未考虑到改换量程对测量精度带来的影响,也并未提出相应的修正方法。伏安法测电阻实验的数据处理也是很值得研究的一个方面。在更换量程后，需要考虑非等精度测量的标准不确定度[15]。

因此，文章致力研究电流表量程改变对测量结果的影响，提出了分段修正函数方法，应用该方法可以自洽地处理量程改变对测量结果带来的影响。

1 电流表量程改变引起的误差分析

文章研究适合电流表内接方法的伏安法测电阻的情况。电路图如图1所示。

图1 电流表内接电路

所选用仪器有：伏安计(0.5级，额定电流为1 mA,量程为0～7.5伏)，毫安计(0.5级，额定电压为26～30 mV，量程为0～25、0～50、0～100毫安)、SPS3203D型稳压电源、待测金属膜电阻(阻值≈150Ω，额定功率2 W)。电阻两端电压U读数满足公式：

(1)

其中Vm、Im为电流表的额定电压，额定电流。Vm/Im为电流表内阻。在测量电阻阻值时，实验采取的方法是利用电压与电流的线性关系，拟合曲线，得出斜率k,满足公式：

(2)

但是在实际测量过程中，由于待测电阻阻值约为150Ω，电流表中途经历改换量程过程(先由0～25 mA变为0～50 mA，再变为0～100 mA)，即Vm/Im改变，导致改换量程后，伏安特性曲线斜率k并不相同。该实验使用最小二乘法处理数据。根据最小二乘法公式U=kI+b系数满足如下公式：

(3)

(4)

图2 最小二乘法拟合不同量程所测得的伏安特性曲线示意图

2 电流表量程改变产生误差的修正

下面将研究电流表内阻因量程的改变而改变引起的上述问题的解决方法。解决思路是：参考电流表内阻公式发现电流表内阻是一个分段函数，在绘图前利用该分段函数，通过对测量得到的数据Ui进行处理，提前消除电流表内阻对斜率k的影响，再利用最小二乘法处理修正后的数据，即可修正电流表内阻改变带来的误差。修正公式如下：

(5)

其中Im为随Ii取值改变而改变的分段函数：

(6)

此时得到的公式已经不再受电流表内阻的影响，再利用最小二乘法作U′～I值即为待测电阻阻值R，如图3所示。

图3 修正后伏安特性曲线示意图

3 修正函数的应用讨论

为了讨论分段修正函数(6)的合理性，进行了电阻伏安特性实验。在内接法情况下，得到测量数据如表格1(电流表量程25 mA)和表格2(电流表量程为50 mA)。由于电压值过大，误差很小，故很难从实际与修正后的伏安特性曲线中看出更换量程前后的误差。

表1 量程为25 mA时测得的电压和电流

表2 量程为50 mA时测得的电压和电流

为直观展现该误差，绘制局部放大图，如图4(a)和(c)所示。对实际值进行最小二乘法可得两个量程的斜率分别为：

(a)实际伏安特性曲线

k25 mA=0.201 3

(7)

k50 mA=0.195 4

(8)

这说明高量程测得的电阻值比低量程偏小。在量程转换处(25 mA处)，两种量程测得电压分别为5.0554 V与5.044 3 V，即低量程边界值大于高量程边界值，这与图2描述情况完全相符，说明电流表量程的改变确实影响了测量精度。用分段函数对数据进行修正[如图4(b)和(d)]：

(9)

其中，

修正后两斜率变为：

k25 mA=0.200 1

(10)

k50 mA=0.194 8

(11)

修正后，二者斜率均减小，这是由于它们都减去了电流表的内阻。而小量程斜率变化大，大量程斜率变化小，是因为随着量程的增大，电流表内阻在减小，故小量程减去的数值更大。如此，二者之间的斜率得到了修正。

4 结 语

文章研究了电流表量程改变引起的其内阻改变对测量结果的影响，分析了电流表在量程转换时带来的误差对电阻伏安特性曲线绘制精度的影响，并提出了解决该问题的方法。将电流表量程进行修正，得到与电流表内阻无关的表达式(6)，该修正方法能够在考虑到所有数据的情况下同时去除电流表自身内阻值，即由此公式修正后画出的伏安特性曲线可消除电流表量程变换带来的影响。最后，对该方法进行了实验验证，在完全忽略内阻改变的影响时，量程转变前后的两条曲线与理论推导中的预测一致，证明曲线确实存在受量程转换带来的影响。通过分段函数发进行修正后，两条曲线斜率更加接近，故该修正能够在一定程度上提高数据处理的精度。