几组特殊形状永磁体的磁场及梯度COMSOL分析

宋 浩，黄 彦，邓志扬，朱泉水

（南昌航空大学，江西 南昌 330063）

在电磁学中，通电直导线、环形线圈（如亥姆赫兹线圈）以及通电螺线管等可以定量地计算出它们的周围空间的磁场大小及分布，并有十分形象的图形表示。但是特殊形状的磁体及组合的静磁场分布的定量计算是十分复杂的，因此也无法准确而形象地描绘出磁场分布图[1]。在实际的应用研究中，往往要构造一些特殊形状和组合的永磁体达到科学研究实验和工业应用所需磁场分布要求，比如科学史上著名的原子空间取向量子化实验——史特恩—盖拉赫实验[2]、工业应用较为广泛的磁悬浮陀螺[3，4]。尽管工程电磁场计算提供了各种数值计算方法，方便程度和功能与目前计算机的有限元模拟软件如ANSYS、ANSOFT Maxwell、COMSOL等仍无法比拟。因为COMSOL Multiphysics具有优秀的多物理场耦合功能，且目前利用此软件在静磁场分布公开发表的文献较少，文章中特列举了几组形状比较特殊的永磁体及其组合，利用COMSOL模拟它们周围空间磁场分布并分析磁场梯度的变化。

以下模型都是在COMSOL的 “磁场，无电流”的应用模式下进行模拟的。它的外部环境条件为：温度T＝293.15K，绝对压力PA＝1atm。在静磁学中没有电流存在，可以通过使用标量磁势解决。由▽×H ＝0，可以定义磁标量势Vm，H ＝ - ▽Vm。磁化的本构关系为B＝μ0（H＋M），又因为▽- B＝0，本构关系变形可以得出：，此式给出了标量磁势与磁化强度的关系[5]。所以“静磁场，无电流”的应用模式的稳态方程另外，由磁场中零磁标势面选取的任意性[6]，为了计算的方便，一般选在磁体的对称平面上。在满足边界条件时，对模型设置合适的网格划分，将采用有限元法[7－9]，将相应的边值问题最终归结为一组多元的代数方程求解，能很快地计算出模型中空间各点的磁感应强度等物理量。

1 圆柱体永磁体磁场力探测模拟和实验

一块圆柱形永磁体周围分布磁场，用一个尺寸很小的圆柱形磁体去试探这个磁场，当小磁体所受的磁场力与自身重力相等（F＝mg）时，小磁体相对大圆柱磁体的上表面距离h。利用模拟和实验的方法分别获得这个距离，以进行模拟和实验的比较。

1.1 COMSOL模拟

大圆柱形磁体（中心带孔），外半径R1＝0.038m，内半径r1＝0.002 5m，高为h1＝0.032m，底面处于XY面；小圆柱磁体（中心带孔），外半径R2＝0.006 7m，内半径r2＝0.001m，高为h2＝0.006 4m，小磁体悬浮在大磁体的正上方。外部边界为半径0.1m、高度0.25m的圆柱，网格最大单位0.005m。磁体外部、边界以内的所有材料均是空气。整个模型内部磁通量守恒，大圆柱磁体的磁化强度M大小为750kA／m，方向为沿Z轴的正向。小圆柱磁体的磁化强度大小与大圆柱相等，但方向相反，其所受电磁力方向与重力相反。选择经过大圆柱磁体中心且平行底面的平面作为零磁标势面。磁体的密度为ρ＝7 500kg／m3。计算电磁力的方程为[8－9]中I为二阶单位张量。计算的是小磁体表面所受的沿着Z轴正向电磁力的积分。模拟示意图如图1。

图1 平衡点附近磁场分布图（磁感应强度单位特斯拉T，以下各图相同）

1.2 实验验证

由于在真实情况中，自然状态下的静磁悬浮是不稳定的，为防止小磁体发生翻转，将表面涂有润滑油直径约2mm的铜杆穿入大磁体和小磁体中并保持与磁体的Z轴重合。实验模型在几何与物理特性参数上尽量与模拟保持了一致。小磁体从铜杆上自由垂落，等待小磁体自然稳定在某个高度，用直尺测出小磁体与大磁体上表面的平衡距离并记录，见表1。

表1 实测小磁体的平衡距离

实测小磁铁平衡距离为13.30±0.17cm，模拟结果与之相差0.5cm左右，主要差别的来源：（1）实验中大小磁体的磁化强度比模拟的标准磁化强度值偏大；（2）模拟的网格不够精细，但是精细的网格又会导致计算量急剧增加；（3）实验测量时，小磁体受到翻转磁力矩的作用对细铜杆产生侧向压力，有可能产生与重力相反的纵向静摩擦力，相应会增加小磁体与大磁体表面间距。因此，模拟数据是可信的，模拟的方法是正确的。

2 特殊形状永磁体

图2 相对放置磁体的磁场

2.1 两块相同的相对放置磁体

几何形状完全相同的两块磁体，长0.06m，宽为0.01m，之间的气隙距离可调。外部边界长、宽都为0.3m。磁体磁化强度大小为750kA／m，沿着Y轴正方向。除磁体外其余部分为空气。零磁标势面选在两磁体的气隙中心水平线上。模型图见图2（a）。通过对称操作，可以推广到圆柱体模型。

从图2（b）可以看出，磁体的表磁分布是中心小两端大；两块磁体的气隙中心平面的磁场分布是中心变化小，两端急剧减小；中心平面上存在一个区域磁场分布比较均匀，并且这一区域沿Y方向一定范围内磁场分布也是较均匀的，可认为这个空间范围是匀强磁场。图2（c）表示磁场分布的均匀性与气隙有关，气隙较小时在中心平面会出现“阱”形磁场分布。

不同气隙间距时磁感应强度的均匀性由表2给出，这里在中心平面上中心附近[-0.01，0.01]磁场的不均匀度为

表2 不同气隙的磁场不均匀度

从表2看出，本模型在气隙2.5cm处不均匀度最接近零，随着气隙的增加不均匀度会以较大的绝对值非单调变化。当气隙距离为2.5cm时，改变磁体长度L，磁体表面中心点及气隙中心点的磁感应强度变化见表3。它反映出中心沿Y轴的磁场分布的均匀性与磁体尺寸有关，但并不表现单调的变化函数关系。

表3 中心纵向磁场分布

2.2 环形磁体

圆环的内外半径分别为0.03m和0.02m，高0.02m。外部边界为半径为0.1m，高为0.1m的圆柱体。环形磁体的磁化强度大小为750kA／m，方向为沿Z轴正向。除环形磁体外，其它区域均为空气。模拟图形见图3（a）。

图3 环形磁体的磁场

从图3（b）～（c）可看出，磁体的表磁大于其它空气空间磁场，环内磁场显“阱”形分布，并且距中心越近这种分布越明显，环内Z轴上的磁场最小。从图3（d）看出，在Z轴上随着高度绝对值增加磁场逐渐衰减致零，在[0.01，0.02]或[-0.02，-0.01]这一区域，Z轴上磁场变化近似线性关系，也就是这一区域磁场梯度可看成常数。

2.3 具有磁回路的磁体

长为0.06m，宽度0.01m的长方形。中间气隙间距为0.025m。磁轭上下对称，上部矩形长为0.1m，宽0.02m，左边矩形为长0.02m，宽0.085m。外部边界为：长0.2m，宽为0.2m的长方形。模型位于中心。两块长方磁体的磁化强度大小为750kA／m，方向为沿着Y轴的正向。磁轭材料为铁。其它区域部分为空气。选取过气隙中心平行磁体的表面的平面零磁标势面，见图4。

图4 磁回路的磁场

此模型磁体与两块相同磁体相对放置的一样，只是将它们与磁轭一起组成了回路。整个磁感线在磁场的回路中，在气隙区域，边界磁感线发生弯曲，减少了磁场损失。气隙中心磁场分布与图2（a）模型相似，但磁感应强度大小提高了约2倍。同时由磁体表面的磁感应强度的变化可知，靠近磁轭的一面会受到磁轭的影响，使其磁感应强度最大值小于另一端。

将下磁体改为三角磁体，底部长方体长为：长0.08m，宽0.02m。三角顶端高0.03m。上磁体改为一个长0.12m，宽0.06m的长方形和下底边重合的长0.1m，宽0.04m的长方形的布尔差运算组合成的凹槽。紧挨凹槽的长方形长为：0.02m，高0.01m。上方的矩形从右到左为：长0.05m，宽0.02m。长0.08m，宽0.02m的矩形，与下方的完全一样。长0.02m，宽0.12m。外部边界：边长为0.3m的正方形。模型位于正方形的中心区域。底座的长方形和三角形磁体的磁化强度大小仍是750kA／m，方向沿着Y轴的正向。磁轭及凹槽是铁。其余部分均为空气。模型图形见图5（a）。

图5 凹槽与三角磁体的磁场

图5（a）中，在凹槽与三角磁体相对的气隙中，部分磁感线从三角形顶端附近流向了凹槽内部，另外三角形两端的磁感线则回到了磁体的底部。相对上一模型的方形磁体，气隙内部的磁感线减少，磁感应强度减小。但是，若是减小凹槽内表面到三角顶端的距离，则可以将磁感线大部分集中到凹槽内。从图（b）可以看出，随着凹槽到三角磁体的距离增加，三角磁体顶端表磁减小不明显，但凹槽内表面表磁却减小明显。在凹槽内表面到三角磁体顶端沿Y轴的磁感应强度分布中，有一段磁场增加平缓，可以近似看成是恒磁场梯度，这一范围比图3（d）模型要大得多。

3 结 论

通过COMSOL“静磁场，无电流”的应用模式给出了相对放置的永磁条、具有磁回路结构的磁轭磁极、环形磁体的磁场分布图。对于两块完全相同的永磁体相对放置，通过调节气隙间隙和改变磁体的长度，能产生一个较大的匀强磁场区域。环形磁体特征是产生“阱”形磁场，而沿Z轴存在磁场变化近似线性关系的小范围区域。在垂直轴线上对于磁轭、磁体、磁极等组成回路的组合，因减少了磁场在环境中的损耗，将绝大部分磁感线约束在了回路中，提高了气隙中的磁场大小。利用三角形磁体与凹槽的组合的磁轭回路结构，在气隙区域Y轴上产生了较大区域的近似恒梯度磁场。

在需要静磁场设计的大学物理实验和演示实验中，如亥姆霍兹线圈磁场分布测量、自旋磁悬浮、超导磁悬浮演示、磁力混沌演示、磁性液体浮力原理演示、能量转化轮、原子空间取向量子化演示等，静磁设计都是实验仪器制作甚至演示是否成功的关键。希望能为物理实验仪器的自制，在磁场设计方面提供一个简便有效的方法实例。

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