“几何画板”绘制机械振动的关系图示

王明美

（合肥师范学院，安徽 合肥 230601）

按振动系统的受力或能量转换情况，振动可分为自由振动和受迫振动。自由振动又可分为无阻尼自由振动和阻尼振动。最基本的振动是谐振动。任何复杂的振动都可看作有若干个谐振动的叠加［1－4］。几何画板绘制图示有多种方法，常用的参量函数轨迹法包括三个重要步骤，即在合适的坐标系上设置参量、设置函数、构造轨迹，应用实例可详见文献［2－3］，以下将此法用于绘制机械振动的各种关系图示。

1 谐振动中的位移与时间关系的图示

谐振动中的位移与时间的关系为

以下是《几何画板5.05》的操作步骤。

（1）新建画板文件。使用菜单命令“文件／另存为”，将画板文件保存为“机械振动模拟.gsp”。

（2）设置直角坐标系。选择“自定义工具／蚂蚁坐标系／直角坐标系［无参数］”，单击选择［系统初始化］，出现x0y坐标系，设置为第一象限，隐藏刻度线，隐藏刻度值。

（3）设置自变量。用“点工具”在x轴上作点P，选中A，执行菜单命令“度量／横坐标”，出现自变量x的取值，此例中的自变量为角频率w。

（4）设置参量。振幅A、角频率w、初相位a。用线段工具作线段A，选中线段，执行菜单命令“度量／长度”出现线段A的长度取值，将线段的标签改为A，并测出长度。使用“数据／新建参量”，分别新建另两个参数，角频率w＝1，初相位a＝60可以不用单位。

（5）设置函数y。执行菜单命令“数据／计算”，在“新建计算”对话框中输入函数

（6）作出函数的点。选中自变量x的取值和应变量y函数，使用菜单命令“绘图／绘制点（x，y）”得P点。

（7）作图。选中A点和P 点，使用菜单命令“构造／轨迹”，现在可以将横坐标的标签改为t，纵坐标的标签改为x，隐藏不需要显示的点和线，完成图1中的谐振动位移与时间的关系。

图1 谐振动位移与时间的关系图示

2 阻尼振动的位移与时间关系的图示

阻尼振动的位移与时间的关系为

使用参量函数轨迹法。取φ0＝0，设置参数为A0＝5、δ＝1和w＝5，函数有三个，图中的实线对应的函数是， 虚线对应的函数是作图1的步骤，分别作出三条函数图线，最后将横坐标和纵坐标的标签分别改为t和x，见图2。

3 不同阻尼下的阻尼振动和阻尼过大时的非周期运动的图示

用实线、虚线和点状线分别表示欠阻尼（δ＜ω0）振动、过阻尼δ＞ω0和临界阻尼δ＝ω0时的位移与时间的关系图示。

使用参量函数轨迹法。取φ0＝0，设置参数为A0＝6、δ＝1和ω0＝6，函数有三个，欠阻尼振动的函数是过阻尼的函数是临界阻尼的函数是按照制作图1的步骤，分别作出三条函数图线，最后将横坐标和纵坐标的标签分别改为t和x，见图3。

4 受迫振动的位移与时间曲线

受迫振动的位移与时间的关系为

图3 不同阻尼下的阻尼振动和阻尼过大时的非周期运动

使用参量函数轨迹法。取φ0＝0，φ＝0设置参数为A0＝3.20、A＝3.30、δ＝0.2、w0＝10和Acos（50ωdx）。按照制作图1的步骤，作出函数图线，最后将横坐标和纵坐标的标签分别改为t和x，见图4。

图4 受迫振动的位移与时间的关系图示

5 受迫振动的速度振幅值与外力频率的关系图线

受迫振动的速度振幅与外力频率的关系为

式中γm为速度振幅值，F0为驱动外力的幅值，m为振子的质量，ω0为振子的固有角频率，φd为驱动外力的角频率，δ为阻尼系数。

使用参量函数轨迹法分别作出阻尼较大、阻尼较小的三条实线。设置参数为F0／m＝8、ωd，函按照作图1的步骤，分别作出三条函数图线，最后将横坐标和纵坐标的标签分别改为γm和ωd，见图2。

为了绘制时的两条虚线，需要用到分段函数法，设此时的函数分别为

当ω＜ωd时

当ω＞ωd时

最后，在ω＝ωd处设置一条虚线，见图5。

图5 受迫振动的速度振幅值与外力频率的关系

用几何画板绘图，不仅操作简单，形象直观，而且利用修改参数形成动态图示演变效果，有利于教学。参数函数轨迹法作为常用绘图法具有操作步骤少、易于操作、而效果明显的特点［5－6］。

［1］程守洙，江之永.普通物理学（下册）［M］.6版.北京：高等教育出版社，2006：1，4，21，23，24.

［2］安宝生.中小学教师信息技术培训［M］.北京：北京师范大学音像出版社，2001：241－251.

［3］刘胜利.几何画板与微型课件制作［M］.北京：科学出版社，2001.

［4］喻力华，陈昌胜.用matlab软件模拟振动实验［J］.大学物理实验，2011，24（3）：79－81.

［5］刘成华.运用几何画板探究动态物理问题的策略研究［J］.物理通报，2007（10）：43－45.

［6］戴湘云，韩建光.几何画板中的交互功能［J］.山东教育，2003：54－55.