基于MATLAB的静电场模拟

毕 升，叶红军

（空军工程大学，陕西 西安 710051）

随着科学研究和工程技术中对于静电场的应用以及人们对于静电应用和静电现象研究的日益深入，近年来对于各类静电场电位和电场强度的分布的了解也是越来越迫切［1］。电场强度E和电位V是两个用来描述静电场的基本物理量，由于标量在计算中和测量上要比矢量简单得多，所以静电场的模拟实验中对静电场的研究往往通过描绘出其电势分布来进行。但是即便是这样，想直接测量出静电场的分布仍然是相当困难的。首先，静电场是指对于观察者静止的电场，场区不能有电荷运动，所以不能用伏特计直接测量其电势。其次，当探针放入待测的静电场内时，由于静电感应，探针会产生感应电荷，这些电荷产生的电场叠加在原电场上，将会使原电场发生明显的畸变，测量将会失去意义。基于以上两点原因，传统的静电场模拟实验中实际利用静电场和稳恒电流场具有相似的空间分布这一原理而进行模拟的。因此，模拟实验中实验结果得到的是近似的电场分布图，而本文中的利用计算机（MATLAB为代表）模拟实验则是从严格的静电场公式出发，建立静电场模型，运用计算机（MATLAB）强大的图形功能，获得了更为准确的静电场等位线和电力线分布图，从而更加成功地模拟了静电场。

1 静电场概述

静电场是由静止电荷（相对于观察者静止的电荷）激发的电场［2－3］。根据静电场的高斯定理，静电场的电场线起始于正电荷或无穷远处，终止于负电荷或无穷远处，因此静电场是有源场；又从安培环路定理来说，在静电场中沿任何闭合路径移动电荷，静电场所做的功为零，故静电场又是保守场。由于静电场是无旋场（位场），故用标量电位φ来表征静电场，它的单位是伏特（voltage）。电位亦称电势。电位是相对的，某点P的电位为从该点到某一参考点M（该点处电势为零）移动单位正电荷时，电场对其所做的功。参考点通常位于无穷远处，或者出于实用考虑，取地球表面为参考点。

2 传统的静电场模拟实验

静电场的分布主要取决于电荷的分布［4］。由于带电体周围的静电场分布在科学研究和工程技术中具有重要作用，因此对静电场的研究的必要性由此可见。电位的分布常用来描绘静电场，在传统实验中，通常采用稳恒电流场模拟静电场的方法，即测量出与静电场相对应的稳恒电流场的电位分布，从而确定出静电场的分布。

静电场与稳恒电流场是两种不同本质的物理场，但是在一定条件下两者的数学形式（遵守的规律）相同，都遵守高斯定律，引入电位U之后，电场强度

对于静电场，电场强度在无源区域内满足一下数学关系

而对于稳恒电流场，电流密度j在无源区域内也满足以下积分关系

由此可见E和j在各自的区域内满足相同的数学规律。在相同边界条件下，具有相同的解。因此我们可以用稳恒电流场模拟静电场。在模拟条件上要保证电极形状一定，电极电位不变，空间介质均匀。

3 MATLAB计算软件及其利用该软件模拟静电场

MATLAB是一种高效的科学计算语言［5－6］。它将高性能的计算与可视化集成在一起，并提供了大量的内置函数及工具箱，从而被广泛地应用于科学计算、控制系统、信息处理等领域的分析、仿真和设计工作。其典型应用主要有科学计算、算法开发、数据采集、建模仿真和原型设计、数据分析研究和可视化、科学和工程绘图、应用开发环境。因此用MATLAB是描绘静电场的电场分布的有效工具之一。利用该软件强大的实现数据可视化的功能，可以在能够推导出静电场场强或电势的合法公式甚至是测量出其足够点处多场强或电势值时，便可将静电场的等电位线用二维或三维基本图形和特殊图形绘制出来，从而再利用正交原理将电场分布描绘出来。

利用该软件模拟静电场的最一般方法则是先将电位线或电场线的微分方程通过已有的物理和数学知识推导出来，然后在MATLAB中求解得到的方程并用相关的函数做出对应图形即可。下面就以最简单的等量异号点电荷系和同轴电缆的静电场为例，利用MATLAB将其等电位线和电场线绘制出来以描述其静电场的分布。（其他的静电场类似于此过程）

3.1 等量异号的点电荷系电势的分布：

（1）建立模型：XOY平面上在（2，0）和（－2，0）上分别有一带正点的点电荷和一带负电的点电荷［5］；

（3）利用MATLAB软件进行模拟后得到的结果如图1～2所示：

图1 等量异号点电荷系电势分布

图2 等量异号的点电荷系电场分布图

3.2 同轴电缆的静电场及电势的分布：

（1）建立模型：空间内有以Z轴为中心轴线的一长直圆柱导体A（为方便建立模型，将其半径忽略）和半径为1的长直圆筒导体B；

（2）推导出计算公式：经推导可得出其电势公式 U＝λ／（2π＊ε）＊In（r2／r）.（r2为导体B的半径，r为点到导体A的距离）；

（3）利用MATLAB软件进行模拟运行后的结果如图3～4所示。

4 分析及结论

传统的静电场模拟实验是使用物理模拟法，借助与静电场具有相同数学表达式和边界条件的稳恒电流场来模拟静电场的一般方法。但是，传统的静电场实验通常会存在较大的误差。首先，实验是用稳恒电流场来模拟静电场，由于二者本质上就不是同一性质的物质场，因此便直接决定了误差的产生。其次，在实验过程中由于仪器误差和操作不当又会造成一定的误差。因此，传统的静电场模拟不能够足够准确地模拟出静电场的真实分布。而从一定意义上来说，利用计算机模拟静电场的实验由于省去了稳恒电流场这一中间桥梁便至少从根本上一定程度地削弱了实验的误差。在科学研究和工程技术中利用此方法可以更加准确地掌握静电场从而可以更加广泛地使用某些技术或达到事半功倍的效果。而在普通的物理学习和物理实验中，此方法的介入可以激发学生积极探索的思维。

图3 同轴电缆的静电场电势分布图

图4 同轴电缆的静电场电场分布图

［1］王斌科，傅振堂.大学物理实验［M］.西安：西北大学出版社，2011：67－71.

［2］马文蔚.大学物理［M］.北京：高等教育出版社，2006：232－234.

［3］张瑞杰，王静.静电场模拟描述实验的误差分析和仪器改进［J］.大学物理实验，2012，25（3）：35－47.

［4］周莉英.静电场的计算机模拟［D］.苏州：苏州大学.

［5］张雅男，徐飞，叶影.MATLAB模拟静电场与模拟静电场实验的比较［J］.物理与工程，2008：32－33.

［6］张笑天，杨 奋 强.MATLAB7.x 基 础 教 程 ［M］.西安：西安电子科技大学出版社，2008：46－49.