振荡激波作用下壁板的非线性动力学特性分析

叶柳青　叶正寅

摘要： 冲压发动机内部的激波串往往存在振荡特征，揭示此种状态下壁板的气动弹性特性对结构安全性具有重要指导作用。基于von Kármán 大变形理论和当地一阶活塞流理论，采用 Galerkin 方法建立了振荡激波作用下壁板的非线性动力学方程，通过龙格⁃库塔法对非线性动力学方程进行数值积分求解，在不同的系统参数（即激波强度、激波振荡幅值以及振荡频率）下，取来流动压为分岔参数，研究壁板在振荡激波作用下的分岔及混沌等复杂动力学特性。计算结果表明：与激波位置固定情况相比，壁板在振荡激波作用下表现出更加丰富的动力学行为，其分岔特性更加复杂。极限环幅值随着激波强度和振荡幅值的增大而增大。激波的振荡容易激发出混沌运动，并且通往混沌的道路为准周期道路。激波强度的增大不会改变通往混沌的道路，而当激波振荡幅值大幅度提高时，不仅混沌区域显著增大，通往混沌的道路不再是准周期道路，而是经历更为复杂的过程进入混沌。

关键词： 极限环; 混沌; 分岔; 振荡激波; 当地活塞流理论

中图分类号： O322; V215.3    文献标志码： A    文章编号： 1004-4523（2022）02-0464-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2022.02.022

引 言

冲压/超燃冲压发动机¹是一类结构简单的吸气式发动机，直接利用空气作为燃料氧化剂，其推进剂的比冲（用于衡量火箭或飞机发动机效率的重要物理参数）比火箭发动机高数倍，是下一代发动机的首选。这类发动机结构形式主要为薄壁板结构，其气动弹性主要表现为壁板颤振的方式。壁板颤振是壁板结构在惯性力、弹性力和气动力耦合作用下产生的一种动态失稳现象。不同于机翼颤振导致结构迅速的破坏，壁板颤振振动的幅值一般受到结构非线性的限制不会引发迅速的破坏，而更多的是造成结构的疲劳损伤。虽然不同于机翼颤振一定会造成严重的飞行事故，但是剧烈的壁板颤振将会对壁板结构的疲劳寿命甚至飞行器的飞行性能产生不利的影响。

壁板颤振系统的研究始于20世纪50年代，其分析内容主要有两方面：1）壁板的线性颤振边界分析，即确定壁板颤振发生的临界条件，并研究系统参数对壁板颤振临界速度的影响规律;2）壁板颤振的非线性颤振响应分析，即求解得到非线性颤振响应的幅值和频率，其中特别关注系统响应性质发生转变的情况，如由周期性极限环颤振转变为混沌颤振。由于不同的振动形式，估计壁板疲劳寿命的算法不同，因此研究壁板非线性气动弹性系统中出现的各种复杂的响应也是壁板颤振分析中一项非常重要的内容。Dowell通过改变动压和面内力，研究了简支板的混沌现象。结果表明，对于各向同性简支板，当面内力足够大时，动压超过一定值就会出现混沌现象。不仅考虑热应力，还考虑随着温度的升高材料的机械性能发生改变，叶献辉等研究了熱环境下二维壁板的非线性颤振特性，结果表明，系统呈现出丰富的动力学行为，包括衰减振动、极限环振动、拟周期振动和混沌振动。杨智春等采用带有曲率修正的一阶活塞理论，对超音速气流中受热壁板的动力学行为进行研究。Wang等对黏弹性壁板在壁板两面都受到气动力作用时的分岔特性和混沌响应进行了研究，结果表明，黏弹性阻尼可以有效地抑制混沌运动。

对于冲压/超燃冲压发动机来说，在发动机内部流场中存在着复杂的波系，因此有必要对激波作用的流场中薄壁板的气动弹性特性进行研究。假定激波位置固定在二维壁板的中点不变，Visbal从数值的角度分别研究了无黏流场与黏性流场中受激波作用的二维壁板气动弹性问题。Brouwer等提出了用当地活塞流理论来预测有激波作用的流场中气动力的可行性。Ye等基于当地活塞流理论，建立了激波作用下壁板气动弹性稳定性的理论分析模型，推导出了受热壁板发生气动弹性失稳的边界条件，并分析了激波强度、激波冲击位置对临界颤振动压的影响。采用双向流固耦合算法，李映坤等研究了斜激波冲击作用下曲壁板的气动弹性响应特性。上述的研究都假定激波位置固定不变，但实际上，冲压/超燃发动机内部的激波串往往存在振荡特征。目前仅有少量的文献考虑激波位置随时间发生改变。Miller等基于von Kármán大变形板弯理论、CFD代理模型和热传导理论建立了基于流固热的气动弹性分析模型，可对运动激波作用下的壁板气动弹性响应进行长时间的计算。Brouwer等在流场中设置正弦振动的激波发生器来产生振荡激波，采用CFD和活塞流理论结合的方式进行气动力建模，分别计算了振荡激波主导流场中作用在二维和三维壁板上的非定常气动力。其中气动力的定常部分和非定常分量分别由CFD和活塞理论计算得到。结果发现计算得到的广义气动力与非定常CFD的计算结果吻合较好，由此说明了此方法预测振荡激波流场中气动力的可行性。Dennis等采用风洞实验对在快速移动的激波作用下弹性壁板的气动弹性特性进行了初步的研究，结果表明，与激波位置固定不变的情况相比，弹性壁板在快速移动的激波作用下振动幅值显著提高。对于弹性壁板在振荡激波作用下的分岔及混沌等复杂动力学特性，还鲜有系统性的研究报道。

本文针对振荡激波作用下壁板的非线性动力学问题，基于von Kármán大变形理论及当地一阶活塞流理论，采用Galerkin方法建立了振荡激波作用下二维壁板的非线性动力学方程，通过龙格⁃库塔法对非线性动力学方程进行数值积分求解，分析了系统参数（即激波强度、激波振荡幅值以及激波振荡频率）对壁板分岔特性及混沌运动的影响。其中，为了准确识别和分析壁板在振荡激波作用下的非线性动力学行为，使用相图、Poincaré映射图以及最大Lyapunov指数（Largest Lyapunov Exponent， LLE）来进行判断和分析。研究工作不仅加深了对弹性壁板在振荡激波作用下的非线性动力学行为的理解，研究结论对超声速飞行器壁板设计也有一定的参考价值。