两自由度含弹性约束碰撞振动系统共存吸引子转迁控制研究

李得洋　丁旺才　丁杰　卫晓娟

摘要： 针对碰撞振动系统具有的吸引子共存现象，在不改变原碰撞系统平衡解结构的前提下，采用线性反馈控制方法研究了一类两自由度含弹性约束碰撞振动系统共存吸引子转迁控制问题。建立了两自由度含弹性约束碰撞振动系统的动力学模型，理论推导得到了系统周期运动的存在条件;利用Floquet理论分析了系统的稳定性、分岔及引起吸引子共存的原因;通过设计合理的线性反馈控制器实现了系统共存吸引子的相互转迁;讨论了不同的控制开始状态和控制参数对控制性能的影响。仿真结果表明，所应用的线性反馈控制方法能有效控制此类非光滑碰撞振动系统共存吸引子之间的相互转迁。

关键词： 非线性振动; 非光滑系统; 吸引子共存; 线性反馈控制; 分岔

中图分类号： O322; TB535    文献标志码： A    文章编号： 1004-4523（2021）01-0176-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.01.020

引  言

含间隙^[1?2]的非光滑机械系统常见于各种工程领域中，如运动副、齿轮系统等，该类系统中部件的相互碰撞通常会导致系统动力响应出现复杂而丰富的分岔、混沌和周期共存等非线性现象。在非光滑系统分岔和混沌研究方面，Shaw和Holmes^[3]采用接缝法精确地求解了分段线性振子的动力学响应，并通过复合的全局映射研究了系统周期响应的稳定性问题。Kundu等^[4]构建了4种单自由度弹性约束系统Grazing分岔的范式映射，并研究了擦碰轨道邻域内Poincaré映射的特性。张惠等^[5]研究了含间隙和预紧弹簧碰撞振动系统由于擦边引起不动点处Jacobian矩阵的行列式和迹的变化特性。乐源等^[6]研究了一类三自由度碰撞振动系统的激变和阵发性。也有学者利用Floquet理论和近似求解方法对此类系统的分岔和稳定性进行研究。Leine等^[7]对非光滑系统周期解的不连续分岔作了进一步的研究，分析了伴随基解矩阵的跳跃而发生的各种不连续分岔现象，进而给出了一般意义下的Floquet理论。徐慧东等^[8]应用Floquet理论研究了一类两自由度分段线性非光滑系统周期运动的分岔现象和混沌行为。任传波等^[9]利用数值方法研究了两自由度具有非连续阻尼力分段线性系统的稳定性和分岔。贾启芬等^[10]用KB方法研究了汽车悬架的简化分段线性非线性动力系统的不同参数对共振曲线的影响。在周期共存研究方面，李健等^[11]根据非光滑动力学系统特点，得到了非光滑系统吸引子和吸引域的胞映射计算方法，并在一类单自由度碰振系统上验证了方法的有效性。Antonio S E Chong等^[12]利用数值方法对简谐激励下含间隙碰撞振动系统在分岔点附近周期共存现象进行了研究。

随着非线性理论的深入研究以及工程实际的需求，将不同的周期运动以及共存的不同吸引子之间实现转迁控制引起了学者的兴趣。Jackson等^[13]最早提出了开环控制方法实现不同周期运动之间的转迁，但是该方法无法确定非线性系統的吸引域且对大多数非线性系统无效。为了弥补开环控制方法的不足，开环加闭环（OPCL）控制方法和OPNCL控制方法被相继提出。Shen等^[14]用OPCL方法研究了将Mathieu?Duffing振子从混沌吸引子迁移至任意周期吸引子的控制问题。柴凯等^[15]利用OPCL和OPNCL控制方法实现了非线性隔振系统多个不同拓扑特性的吸引子之间的迁移控制。赵建学等^[16]分别采用开环、闭环和开环加闭环控制方法对准零刚度隔振系统的共存吸引子实现了迁移控制，并对开环加闭环控制方法的稳定性和可行性进行了分析。已有的共存吸引子转迁控制主要侧重于光滑系统，而有关含弹性约束碰撞振动系统共存吸引子转迁控制的相应研究仍然很少，依然有待进一步开展和深入研究。本文以一类两自由度含弹性约束分段线性非光滑系统为研究对象，理论推导了系统n-1周期运动的存在条件;利用数值方法分析了系统周期共存现象，并利用线性反馈控制方法对系统共存吸引子进行转迁控制。通过吸引子转迁控制可实现系统的减振、混沌控制和分岔控制，仿真结果验证了本文方法的可行性和有效性。

1 力学模型及n-1周期运动的存在条件

6 结  论

本文针对两自由度含弹性约束碰撞振动系统的吸引子共存现象，利用线性反馈控制方法对共存吸引子实现了相互转迁控制，同时对线性反馈控制方法的稳定性和可行性进行了分析，可以得到如下结论：

（1）在不改变原系统周期运动特性的情况下，基于原碰撞微分系统的线性反馈控制方法可实现吸引子之间的相互转迁。吸引子之间的相互转迁一方面可使系统工作在振幅较小的周期运动上;另一方面可控制擦边、鞍结等分岔和混沌运动的发生，为系统运动状态控制提供新的思路。

（2）在共存吸引子相互转迁过程中，应选择被控轨道和目标轨道之间距离最小时开始施加控制;合理的控制参数可有效节省反饋控制力和控制时间。利用优化算法对控制参数进行优化是本文继续研究的方向。

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Abstract： In the premise of not changing periodic solutions to the original system and with considering multiple coexistent attractor in the vibro-impact system， attractor migration control of a two-degree-of-freedom vibro-impact system with soft constraints is studied by using the linear feedback control method. Firstly， the two-degree-of-freedom vibro-impact system with soft constraints is established， the existing condition of the  periodic impact motion is deduced. The stability， bifurcation and the cause of the multiple coexistent attractor of the system are analyzed by Floquet theory. Then， the numerical experiments verify that a reasonable linear feedback control method can effectively control the migration of different attractors in such non-smooth vibro-impact systems. Finally， the influence of different control positions and parameters on the control performance is discussed.

Key words： nonlineer vibration; nonsmooth systems; multiple coexistent attractor; linear feedback control; bifurcation

作者简介： 李得洋（1986?），男，讲师。电话：18919195902;E-mail：lideyang666@163.com

通讯作者： 丁旺才（1964?），男，教授。电话：（0931）4956173;E-mail：Dingwc@mail.lzjtu.cn